1、二次根式復習講義知識點一：二次根式的概念【知識要點】二次根式的定義：形如11的式子叫二次根式，其中叫被幵方數，只有當-是一個非負數時，/-:才有意義.【典型例題】【例 1 】下列各式（1） , 1,2）、,=,3）X1、 下列各式中，一定是二次根式的是（）A、. aB、，:TOC、 . a 1D、丁2、 在 苗、疏、聲1、后7、胎中是二次根式的個數有 個【例2】若式子 有意義，則x的取值范圍是Jx - 3舉一反三： 使代數式有意義的x的取值范圍是（）x -4A、x>3B、x3C、x>4D、x3 且 x 羽 使代數式、.-x2,2x-1有意義的x的取值范圍是 3、如果代數式.1有意義

2、，那么，直角坐標系中點 P （m，n）的位*mn置在（） 2,4）.,4,5）、（-；）2。仁,7） a2 -2a 1 ,其中是二次根式的是 （填序號）.舉一反三：A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 3】若 y=、x 一5 +- x +2009，貝U x+y=x5 _ 0解題思路：式子 苗 (a 為),i , x = 5 , y=2009，貝U x+y=20145-xKO舉一反三：1、若 .1 X =(x y)2，則 x y 的值為()A1 B . 1 C . 2 D . 32、若x、y都是實數，且y= -2x -3二3 -2x 4，求xy的值3、當a取什么值時，代數式

3、9;'2a 1 1取值最小，并求出這個最小值。4、已知a是.5整數部分，b是.5的小數部分，求 的值。b + 25、若.3的整數部分是a，小數部分是b，貝V .、3a-b二。2 +丄6、 若17的整數部分為x，小數部分為y，求X 的值知識點二：二次根式的性質【知識要點】71.非負性：. a(a_0)是一個非負數.注意：此性質可作公式記住，后面根式運算中經常用到.2. ( .a)2-0).注意：此性質既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負數或非負代數式寫成完全平方的形式：a = ( a)2(a _0)$ 嘗0)注意：(1)字母不一定是正數.(2)能幵得盡方的因式移到根號外

4、時，必須用它的算術平方根代替.(3)可移到根號內的因式，必須是非負因式，如果因式的值是負的，應把負號留在根號外.4. 公式a2 =|a|與( .a)2 =aa 0)的區別與聯系l-a(acO)(1) ,a2表示求一個數的平方的算術根，a的范圍是一切實數.(2) C.a)2表示一個數的算術平方根的平方，a的范圍是非負數.(3) -,a2和C.a)2的運算結果都是非負的.【典型例題】例 4】若 a-21 "b3 +(c-4 ) =0,則 a-b + c=.舉一反三：1、若.m -3 (n 1)2 =0，貝卩m n的值為2、已知x,y為實數，且、x-1，3y-22 = 0，則x-y的值為(

5、)A. 3 B. - 3 C. 1 D. - 13、 已知直角三角形兩邊x、y的長滿足| x2 4 | + y25y 6 = 0，貝U第三邊長為. 20054、若a_b 1與'-a 2b 4互為相反數，則 a_b 二。at二:二次舉武曲性*2(公式(-.a)2二a(a0)的運用)【例5】 化簡： b3)2的結果為()A、42aB、0C、2a 4 D、4舉一反三：1、 在實數范圍內分解因式:x23二 ； m4m2 4 =2、化簡：3 - . 3 1 - . 3sb :3、已知直角三角形的兩直角邊分別為 .2和.5，則斜邊長為(公式F=；a =抄30)的應用) a(a <0)例 6】

6、已知x ：2 ,則化簡.x2 -4x 4的結果是A x -2B、x 2C、x 2D 2 x舉一反三：1、根式U-3)2的值是()A. -3B. 3 或-3C . 3D. 92、 已知a<0,那么丨一2a丨可化簡為()A . a B . a C . 3a D . 3a3、若 2VaY：3，則2-a 2 、，a-32 等于()A. 5-2a B. 1 -2a C. 2a-5 D. 2a-14、 若a-3 v 0，則化簡“2-6a+9+4-a的結果是()(D)7 2a(A) 1(B)1(C) 2a 75、化簡、4x2 -4x 1 - 2x-3 得()(A)2( B) -4x 4( C) 2(

7、D) 4x-4、a2-2a 126、當a v l且a老時，化簡 a _a =J4 _(a + 丄r _ j4 + (a 一丄 J那么化簡丨a b7、 已知a ; 0，化簡求值：*a ，a【例7】如果表示a，b兩個實數的點在數軸上的位置如圖所示，1+ Ja b)2的結果等于()A. 2bB . 2bC. 2aD . 2a舉一反三：實數a在數軸上的位置如圖所示：化簡:a_ +J(a_2)2 =.【例8】化簡1 x JX -8x +1 6的結果是取值范圍是()2x-5， x 的(A)x為任意實數舉一反三：若代數式( )A. a >4 B(B) 1$(C) x>1,(Ty x麗好 的值是常

8、數a w 2 C. 2 w a w 4(D) x W2，貝9 a的取值范圍是D. a=2 或 a = 4【例9】如果aa2 -2a 1 =1，那么a的取值范圍是()A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. aW1舉一反三：1、如果a 、a2-6a 9=3成立，那么實數a的取值范圍是()2、若、(x -3)2 x -3 = 0 ,則x的取值范圍是()(A) x 3( B) x 3(C) x_3(D) x3【例10】化簡二次根式a -a 22的結果是V a(A)、-a_2(B)-二a_2(C) . a - 2(D)_、a_21、把二次根式a -化簡，正確的結果是() aA. ；a

9、B. aC. - aD. . a2、把根號外的因式移到根號內：當b > 0時，°以=; (aT)J1"xM- a知識點三：最簡二次根式和同類二次根式【知識要點】1、最簡二次根式:(1)最簡二次根式的定義：被幵方數是整數，因式是整式；被幵方數中不含能幵得盡方的數或因式;分母中不含根號.2、同類二次根式(可合并根式)幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被幵方數相同，這幾個二次根式 就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個根式。【典型例題】【例11】在根式1) Ja2 +b2 ;2) Jf;3) Jx2 xy;4)27abc，最簡二次根式是(A. 1) 2)B. 3)4)C.

10、1) 3)D. 1) 4)解題思路：掌握最簡二次根式的條件。舉一反三:745a,術2 丄，40b2,廂，對 17(a2 +b2)X 2的最簡二次根式2、下列根式中，不是 最簡一次根式的是(A.73、下列根式不是最簡二次根式的是(A.a2 1B. 2x 12bc. 43ab(2) 2(3) x?y?(4) a _b(a . b)(5)55、把下列各式化為最簡二次根式:(1) 12(2)45a2 b【例12】下列根式中能與.3是合并的是（）A. 8B. 27C.2 5 D.舉一反三:1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（A、-、3和18B、-、3和C、 、0E和ab22、在二次根式：-12 :.

11、23 :：27中，能與3合并的二次根式是。3、如果最簡二次根式. 3a -8與"7 - 2a能夠合并為一個二次根式，則a=.知識點四：二次根式計算一一分母有理化【知識要點】1. 分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2. 有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩 個代數式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下: 單項二次根式：利用、a、a二a來確定，如口：、a與. a , . a b與, a b , ab與,a -b等分別互為有理化因式。 兩項二次根式：利用平方差公式來確定。 如a .6與a ，-, 與、a - . b，a、.x -

12、 b. y與a., x-b. y分別互為有理化因式。3. 分母有理化的方法與步驟： 先將分子、分母化成最簡二次根式； 將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后結果必須化成最簡二次根式或有理式【典型例題】【例13】 把下列各式分母有理化(1)1.48-4 33 7【例14】把下列各式分母有理化(1)2X8x3ya2b2【例15】把下列各式分母有理化:(1)22 -1(2)5、3、5 - .33 33.2-2 3舉一反三:1、已知廠23求下列各式的值:(1)3 (2) xf y2x y2、把下列各式分母有理化:(1)a -b.a ;b.a2 - “ a2a2 一 a-2b- a

13、2 b2 b 、 a2 b2小結：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：；=與 ；1j-J - 與：G -弋；二一H與仃一；知識點五：目：與上.一次根式計算一次根式的乘除【知識要點】1. 積的算術平方根的性質：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積。slabVb （ a 為,b 為）2. 二次根式的乘法法則：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算 術平方根。4a b =需？ . （a 為,b 為）3商的算術平方根的性質：商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式 的算術平方根&卷（a 初，）4. 二次根式的除法法則：兩個數的算術平方根的商，等于這兩個數的商的算術 平方根

14、。興弋（a初，b>0 ）注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經常從等式的右邊變 形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結果化成最簡二 次根式.【典型例題】【例16】化簡(1) .9 16(2) 16 81(3).5 2-15 9x2y2 ( x 一 0, y 一 0 )(5) ； X. 6 2.,3【例17】計算（1 ）736x256(4)4少(5)2753歷(8)【例18】化簡:(1)(a 0,b _0)64b29a264yr (xZ0,y0)(4)5x169y2(x -0,y0)832例 19】計算：（1廠12<3X . x例 20】能使等式*2.

15、X -2成立的的14x的取值范圍是（A、x 2 B、x00沁乞2 D、無解知識點六：二次根式計算二次根式的加減【知識要點】需要先把二次根式化簡，然后把被幵方數相同的二次根式 （即同類二次根式） 的系數相加減，被幵方數不變。注意：對于二次根式的加減，關鍵是合并同類二次根式， 通常是先化成最簡 二次根式，再把同類二次根式合并.但在化簡二次根式時，二次根式的被幵方 數應不含分母，不含能幵得盡的因數【典型例題】【例 20 】計算（1） -，2；75 2、0.5.；5（3）恐打貳5/245 ；(4)2后-272后一五7而【例21 】(i)3、r = 4 -，：2y2”x_y 4x+4y(3) 1、. 2

16、7a3 -a23° +3aJa _aJl08a ( 4)(2)_a=b_ . a - 一 b va+vba-b1忑-泡-a2(6)xX(-3 Ja3b)壬2(5) J81a48 ) 5aVa + 3(4a5 a知識點七：二次根式計算二次根式的混合計算與求值【知識要點】1、確定運算順序；2、靈活運用運算定律；3、正確使用乘法公式；4、大多數分母有理化要及時；5、在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化;【典型習題】2 <ab5b4、( 72) .3-7.62 + 36、(3 2,5)2 _(45)(4 - .一 5)3、3陽4攔)存5、(2,3 3 .2 - .6)(2、3

17、-3.2'.6 )7、(2、6 -5)10(2.65)118、3m”（伽加卅鳥（m 0）- 4a + 4 *-勿 +1【例21】1.已知：1 ，求"二一；： 的值.F+x + 1，求一 的值（&-何+4臨3. 已知:一，匸，求 一； L 的值.4. 求的值.屛候7-25. 已知八：'是實數，且“I :，求mJ的值.知識點八：根式比較大小【知識要點】1、根式變形法 當a 0,b 0時，如果a b，貝-,b ;如果a ： b，則：o2、平方法 當a 0,b 0時，如果a2 b2，則a b ；如果a2 ： b2，則a ： b。3、 分母有理化法 通過分母有理化，利用

18、分子的大小來比較。4、 分子有理化法 通過分子有理化，利用分母的大小來比較。5、倒數法6、媒介傳遞法 適當選擇介于兩個數之間的媒介值，利用傳遞性進行比較7、作差比較法 在對兩數比較大小時，經常運用如下性質： a_b .0= a b ；8、求商比較法 它運用如下性質：當a>0b>o時，貝y：b【典型例題】例 22】 比較3、5與5、語的大小。(用兩種方法解答)【例23】比較:與丄的大小例 24】比較門5 - 14與門4 - 13的大小。【例25】比較-7 一'6與' 6 一 '' 5的大小例 26】比較“ . a J畔 化簡二次根式號后的結果是 .與-87-3的大小二次根式典型習題集一、概念(一) 二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：近、逅、丄、仮(x>0 )、頁、x4 2、 、- 2 > -、. x y (x> 0，y? >0).x + y(二) 最簡二次根式1 把二次根式* x (y>0)化為最簡二次根式結果是().A . x (y>0) B .、xy (y>0) C 旦(y>0) D .以上 Jyy都不對2. 化簡 Jx4 +x2y2 =. (x > 0)4. 已知xy）O，化簡二次根式xj孚的正確結果為.（三）同類二次根式1. 以下二次根式：,12 ;、,22