1、加強數形結合，提高解題能力. 蔣集九年制學校 陳業龍數和形是數學中最基本的概念，是整個數學發展中的兩大基石。在數學的解題過程中，數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法，在內容上互相聯系，方法上互相滲透，在一定條件下互相轉化。正如數學家華羅庚說得好：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離”。一、 數形結合的意義 2XVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

2、VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV5例1，化簡:x-2+x-5的值。分析：x的值未知，可以通過畫數軸，分類討論的方法。當

3、x<2時，原式=-(x-2)-(x-5)=-x+7;xY10當x=2時, 原式=0-x+5=-x+5=3;當2<x5時, 原式=x-2-x+5=3;當5<x時, 原式=x-2+x-5=2x-7; 借助數軸，直觀形象，使學生易學易懂。例2：比較x2與x的大小。分析；若用代數方法，學生感到茫然，若結合形來考慮簡單得多。設函數Y=x2-x,畫出它的圖像，如圖，通過觀其形，可直接得出：當x<0或x>1時Y>0,即x2-x>0,x2>x;當x=0或x=1時，Y=0,即x2-x=0, x2=x ；當0<x<1時，Y<0,即x2-x<0

4、, x2<x.ADCB2.降低解題難度，提供簡捷的解體途徑0-4cos100的值。分析：此題表達式雖然簡單但似乎無從下手，注意到三角形的邊角關系，可構造如圖所示的三角形ABC，使C=900, A=100,BC=1,D為AC上一點，且使BDC=300,則BD=2, 且ABD=200在0=BD·sin100，AD=BD·sin200/sin100,又AC=ctg100, ctg100-4cos100=AC-AD=CD= 。集合與集合之間的關系，集合中的交、并、補、差運算等問題較抽象，如果利用數形結合，借助圖形進行思考，可使各集合之間的關系直觀明了，使抽象的集合運算建立在直

5、觀的形象思維之上。0xy例如：已知二次函數的圖象的開口方向，對稱軸位置以及與Y軸的交點如圖所示，判斷點（ac,-b+c）在第幾象限。分析：由圖象可知a>0,-b/(2a)<0,c<0,于是可得b>0,ac<0,-b+c<0,因此點（ac,-b+c）在第三象限。4.激發興趣，提高學習效率利用數形結合思想方法，可以提高學生學習興趣，降低問題的難度，使學生可以看得到，摸得到，聽得到，有圖有數，激發學生的形象思維，抽象思維能力，有利于學生的發展。二.數形結合思想，在初中數學中的應用 數形結合思想是指數（量）與形（圖）結合起來分析、研究、解決問題的一種思想策略。著名數

6、學家華羅庚先生說：“數與形，本是相倚依，怎能分作兩邊分，數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”這充分說明了數形結合思想在數學研究和數學應用中的重要性。數形結合思想，可以使抽象復雜的數量關系，通過幾何圖形直觀地表現出來；也可以使圖形的性質，通過數量間的計算、分析，達到更加完整、嚴密、準確。因此我們在研究解決數學問題時要善于由形思數，由數思形，數形結合。EABCDFVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

7、VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV例如：如圖ABC中（AB>AC），AD平分ABC,AD的中垂線和BC的延長線交于點E，設CE=a, DE=b,BE=c,試證：關于x一元二次方程ax2-2bx+

8、c=0有兩個相等的實數根。分析：本題以幾何圖形為背景，討論一元二次方程根的情況，是初中數學中常見題型，從方程的角度思想要證明方程有兩個相等的實數根，既要證明=4b2-4ac=0,即要證明b2=ac。另外從題設考慮圖形相關性質，即要證明DE2=CE*BE這里要考慮相似三角形,于是連接AE,可證AECBEA從而使命題獲證.解:連接AE,EF是AD的中垂線,AE=DE, EAD=EDA而EAC=EAD-CAD, EBA=EAD-BAD,又,AD平分BAC , CAD=BAD, EAC=EBA, AECBEA,得=,由AE=DE,從而得DE2=CE*BE,即b2=ac, =(-2b)2-4ac=0,則

9、方程ax2-2bx+c=0有兩個不相等的實數根。例如：在數學活動中，小梅為了求的值，設計如圖所示的圖形。請你利用這個圖形求的值為圖4請利用圖5再設計一個能求的值幾何圖形。分析：本題難度很大，在初中中等以上學生才能理解，而通過畫圖，可以使多數學生都能理解，而且形象生動。圖5 3.由數思形，數形結合，用形解決數的問題（1）利用數軸理解相反數的概念，便具有了幾何意義，互為相反數的兩個數在數軸上實質上是它們到原點的距離相等，方向相反。一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點與原點的距離。一元一次不等式組的解集是借助數軸找各個不等式解集的公共部分等都充分體現了由數思形思想。例1：已知如圖：a、b、c對應點

10、在數軸上， 化簡-a+c b0ac例1 分析觀察數軸：a>0, c-b>0, a+c>0 原式=a-(c-b)-(a+c) =b-2cABCbca 例2 （2）解直角三角形的應用更是數形結合的典型材料。 例2：已知 a, b, c為Rt ABC 的三邊，其中C=900， 化簡:a-b-c+ 分析這里 a, b, c是直角三角形三邊，具有幾何意義，如圖, 由三角形三邊關系定理：a<b+c, a+b>c, c<a+b, 又C=900，勾股定理：a2+b2=c2. 因此，原式= -（a-b-c) +(a+b-c)+c -(c-a-b) =a+3b（3）平面直角坐標

11、系建立后使有序實數對具有了幾何意義，由點可確定點的坐標，由坐標可確定點，一次函數，二次函數，反比例函數只有利用它們的圖象，才能更深刻地理解它們的性質。 例3：已知拋物線 y=ax2+bx+c(a0)經過A(3,0), B(0,-3), C(-2,5) 三點。例3P（1，-4）B12Q3-1-2AO-1-2-3-4（1）求這條拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為 P，求 ABP 的面積。 分析（1）過程略，拋物線的解析式為 y=x2-2x-3.（2）畫出函數圖像，運用圖像求解（如圖） 頂點P（1，-4），作 PQx 軸， 垂足為 Q。 SABP =SAPQ + S梯形OBPQ - SAOB =

12、3通過以上例子，我們看到了代數問題如何通過幾何直覺產生作用；把代數的形式規律用幾何圖象直觀表示，能夠加強審美能力及綜合應用數學知識的能力。ABP 4.由形思數，形數結合，用數解決形的問題（1）利用數來解決幾何的面積問題。 例4：如圖所示，已知矩形ABCD 的邊BC上一點P, CD邊上一點Q，連結AP，PQ，AQ，得SABP =2，SPCQ =3，SADQ =4，求矩形ABCD的面積。 分析由形思數，形數結合，由于四邊形ABCD是矩形， 可知 ABP，PCQ，ADQ都為直角三角形，又由SABP =2，SPCQ =3， SADQ =4，可以得到它們的對應式子為AB ·BP =4，PC &

13、#183;CQ =6，DQ · AD =8,這樣可利用解方程組的方法來求解。PABCDQyxmn例4 設AB= x，BC= y,BP= m, CQ= n,可列方程組：(1)+(2)+(3), 得xy+ = 18 （4）例5ACEBDFPQR （1）×（3），得xy · m(x-n) = 32 (5) 由（4）代入（5），得xy(18-xy) = 32, 即(xy)2 - 18xy + 32 = 0, 解得：xy=16 或xy = 2(不合題意，舍去) 所以，矩形ABCD的面積是 16 （2）利用數來解決圓的有關求證問題 例5：如圖，已知：O 中三弦AB，CD，EF

14、 兩兩相交于點P，Q，R，并且AP=EQ= RD，CP=QB=RF，求證：RQP 是等邊三角形。分析 此題用純幾何法證明難度較大，可從數量關系上來考慮：設AP =EQ= RD = x，CP=QB=RF = y ,PQ= a, QR= b, RP= c,由相交弦定理，得 化簡，得 將三式相加，得(a+b+c)x = (a+b+c)y, x = y 可得 a = b = c, RQP是等邊三角形。 從以上兩例可以看出，形的直覺缺少嚴格性，形少數時難入微。 總之，數和形是事物的數學特征的兩個相互聯系的側面，通常是指數量關系和空間形式之間的辯證統一。數與形的結合使得代數與幾何緊密相聯，息息相關，使得數

15、學更具有生機和活力。中考中數形結合試題舉例例1、（2006長春市）如圖，陰影部分的面積是AAxyBxyC4xy D2xy【分析】采用分割或拼補方法計算,如采用分割的方法,得圖形得面積可分為兩個長方形得面積,得（2x0.5x）··y=3xy0.5xy=xy,故應選A.2.與整式乘法（乘法公式）的驗證的有關數形結合問題例2（1）（2006年荊門）.在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形(ab),再沿虛線剪開,如圖(1),然后拼成一個梯形,如圖(2),根據這兩個圖形的面積關系,表明下列式子成立的是( )(A)a-b=(a+b)(a-b). (B)(a+b)=a+2ab+b

16、.(C)(a-b)=a-2ab+b. (D)a-b=(a-b).（2）（2006年天門）如下圖a，邊長為a的大正方形中一個邊長為b的小正方形，小明將圖a的陰影部分拼成了一個矩形，如圖b。這一過程可以驗證（）A、a2+b2-2ab=(a-b)2; B、a2+b2+2ab=(a+b)2; C、2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b); D、a2-b2=(a+b) (a-b)aabb圖a圖b(第3題圖)【分析】（1）從所給兩個圖形面積相等的關系著手，圖（1）的面積為a-b；圖（2）的面積為（2a+2b）·（a-b）=(a+b)(a-b);則a-b=(a+b)(a-b).，則應選A。（2

17、）從兩個圖形陰影部分得面積著手,得a-b=(a+b)(a-b),應選D.【點評】本題主要考察如何把圖形語言轉化為符號語言，體現了數形結合的思想，同時也體現了新課標發展符號感的理念。例3第3題圖（2006年煙臺市）如圖，有三種卡片，其中邊長為的正方形卡片張，邊長分別為，的矩形卡片張，邊長為的正方形卡片張用這張卡片拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為_【分析】本題的關鍵找到所拼矩形的長和寬,再結合實際進行拼圖.從面積角度出發，16張三種卡片的面積和為a6ab9 b,根據拼接前后的面積不變（無重疊），則知所拼正方形的邊長為“問題情境建立模型解釋應用與拓展”的解決問題的過程.例4.（2006杭州） 三

18、種不同類型的矩形地磚長寬如圖所示, 若現有A類4塊, B類4塊, C類2塊, 要拼成一個正方形, 則應多余出1塊 _ 型地磚; 這樣的地磚拼法表示了一個兩數和的平方的幾何意義, 這個兩數和的平方是 _ . 【分析】：圖形是一種重要的數學語言，它直觀形象，能有效地表現一些代數中的數量關系，對幾何圖形作出代數解釋和用幾何圖形的面積表示代數恒等式是互逆的，一般是從面積方面進行考慮。若則應多余出1塊 為A 型地磚,則這三類地磚的面積為3m2+4mn+2n2,此式不為完全平方式,即不能拼成一個正方形; 若則應多余出1塊 為B 型地磚,則這三類地磚的面積為4m2+3mn+2n2,此式不為完全平方式,即不能

19、拼成一個正方形; 若則應多余出1塊 為C 型地磚,則這三類地磚的面積為4m2+4mn+n2,此式為完全平方式,即不能拼成一個邊長為（2mn）正方形;故應填寫: C ; (2m+n)2=4m2+4mn+n2 (答(2m+n)2或4m2+4mn+n2均可)例5（2005年）.如圖，邊長為a、b的矩形，它的周長為14，面積為10，則a2b+ab2的值為_. 分析: 要求a2b+ab2的值,一般有兩種思路,一是根據已知條件求出a,b具體的值代入計算,但工具現有的知識,求a,b的值比較困難;二是利用因式分解將a2b+ab2進行變化,然后利用整體思想代入求值.顯然利用第二種方法比較簡單,從圖上可以看出矩形的面積是ab,周長是2(a+b),工具已知條件可得2(a+b)=14, ab=10, 所以a+b=7, ab=10. 解: a2b+ab2=ab(a+b)=7×10=70. 例6（2006年河北）觀察下面的點陣圖形和與之相對應的等式，探究其中的規律：（1）請你在和后面的橫線上分別寫出相對應的等式：4×014×13；4&#