1、二項(xiàng)式定理典型例題 -典型例題一1n例 1在二項(xiàng)式x的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中所有有42 x理項(xiàng)分析： 本題是典型的特定項(xiàng)問(wèn)題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過(guò)抓通項(xiàng)公式解決解： 二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：r12 n 3rrn r1r4Tr 1Cn( x )24xCnrx2前三項(xiàng)的r0,1,2.得系數(shù)為：t11, t2C1n11n,t3Cn211n(n1)，2248由已知：2t2t1t3n11n(n1)，n88通項(xiàng)公式為116 3 rTr 14r0,1,28,Tr1為有理項(xiàng)，故16 3r是4的倍數(shù)，C82rxr0,4,8.依次得到有理項(xiàng)為T(mén)1x4,T51 35x,T9

2、81x212C824xC88x82256說(shuō)明：本題通過(guò)抓特定項(xiàng)滿足的條件，利用通項(xiàng)公式求出了r 的取值，得到了有理項(xiàng) 類(lèi)似地，( 23)100的展開(kāi)式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過(guò)抓通項(xiàng)中r的取值， 得到共有17 頁(yè)系數(shù)和為3n典型例題四例 4（ 1）求(1 x)3(1x)10展開(kāi)式中x5的系數(shù)；（ 2）求(x12)6展開(kāi)式中的常x數(shù)項(xiàng)分析： 本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開(kāi)，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題， （ 1）可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式相乘； （2）可以經(jīng)過(guò)代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解：（ 1）(1x)3(1x)10展開(kāi)式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類(lèi)項(xiàng)：用(1x)3展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)乘

3、以(1x)10展開(kāi)式中的x5項(xiàng)，可以得到C105x5(1x)3展開(kāi)式中的一次項(xiàng)乘以(1x)10展開(kāi)式中的x4項(xiàng)可得到(3x)(C104x4)3C104x5；用(1x)3中的x2乘以(1x)10展開(kāi)式中的x3可得到3x2C103x33C103x5；用(1x)3中的x3項(xiàng)乘以(1x)10展開(kāi)式中的x2項(xiàng)可得到3x3C102x2C102x5，合并同類(lèi)項(xiàng)得(C105C1043C103C102) x563x512（ 2）x2x1xx1112(x2)5xxx1121r由x展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr 1C12r(2)12rC12rx6 r，可得展開(kāi)式xx的常數(shù)項(xiàng)為C692412說(shuō)明： 問(wèn)題（ 2）中將非二項(xiàng)式通過(guò)

4、因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決這時(shí)我們還可以通過(guò)合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題來(lái)解決典型例題五例 5求(1 xx2)6展開(kāi)式中x5的系數(shù)分析：(1x x2)6不是二項(xiàng)式，我們可以通過(guò)1xx2(1 x)x2或1( x x2)把它看成二項(xiàng)式展開(kāi)解： 方法一：(1x x2)6(1 x)x26(1 x6) 6(1x)5x215(1 x)4x4其中含x5的項(xiàng)為C65x56C53x515C14x56x5含x5項(xiàng)的系數(shù)為 6方法二：(1 xx2)61 ( x6x2)1 6( xx2)15( xx2)220( xx2)315( xx2)46(xx2)5( xx2)6其中含x5的項(xiàng)為20(3)x515( 4) x56x

5、56x5x5項(xiàng)的系數(shù)為 6方法 3：本題還可通過(guò)把(1x x2)6看成 6 個(gè)1x x2相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘可得到乘積的一項(xiàng)，x5項(xiàng)可由下列幾種可能得到5 個(gè)因式中取 x，一個(gè)取1得到C65x53 個(gè)因式中取x，一個(gè)取x2，兩個(gè)取1得到C63C13x3(x2)1 個(gè)因式中取x，兩個(gè)取x2，三個(gè)取1得到C16C52x (x2)2合并同類(lèi)項(xiàng)為(C56C63C13C16C52) x56x5，x5項(xiàng)的系數(shù)為 6典型例題六例 6求證：（1）C1n2Cn2nCnnn 2n 1；（2）011121n1(2n 11)Cn2Cn3Cnn 1Cnn 1分析： 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用

6、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過(guò)組合數(shù)公式將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來(lái)，從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)Cn0C1nCn2Cnn2n解：（ 1）kCnkkn!k)! (kn!n(k(n 1)!11k!(n1)!( nk)!1)! ( nk)!左邊nCn01nC1n1nCnn11n(C0n 1C1n 1Cnn11)n 2n1右邊（ 2）1k1n!n!k 1Cnk1k!(nk)!(k1)! ( nk)!1(n1)!1Cnk11n 1 ( k 1)! (n k )!n 1左邊11121n1n 1Cn 1n 1Cn 1n 1Cn 11(C1n 1Cn2

7、1Cnn11)11(2n11)右邊n1n說(shuō)明： 本題的兩個(gè)小題都是通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解 此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式， 但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：求29C101028C10927C1082C10210的結(jié)果仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與(12)10的展開(kāi)式接近，但要注意：(1 2)10C100C1012 C10222C10929C101021012 10 22C10229C109210C101012(102C10228C10929C1010)從而可以得到：102C10228C10929C101

8、01(3101)2典型例題七例 7利用二項(xiàng)式定理證明：32 n28n 9是 64 的倍數(shù)分析： 64 是 8 的平方，問(wèn)題相當(dāng)于證明32 n 28n 9是82的倍數(shù)，為了使問(wèn)題向二項(xiàng)式定理貼近，變形32n29n1(81)n1，將其展開(kāi)后各項(xiàng)含有來(lái)解： 32n28n99n 18n 9(8 1)n 18n 98n 1C1n18nCnn1182Cnn18 1 8n 98n 1C1n18nCnn11828( n 1) 1 8n 98n 1C1n1Cnn11828n(8n18n2Cnn11) 64是 64 的倍數(shù)說(shuō)明： 利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)證明整除問(wèn)題，而且可以用此方程求一些復(fù)雜的指數(shù)式除以

9、一個(gè)數(shù)的余數(shù)典型例題八35例 8展開(kāi)2x22x分析 1：用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式53解法1：2x2 x2C50(2 x)5303C52(2x)332C51(2x)42x22x22x2345C53(2x)23C54(2x)3C5532x22x22x232x5120 x2180135405243xx48x732x10分析 2：對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)35(4x33)5解法 2：2x2x232x10110 C50( 4x3)5C51( 4x3)4( 3) C52( 4x3)3( 3)232 xC53(4x3)2( 3)3C54( 4x3)1( 3)4C55( 3)5110(1024x153

10、840 x125760 x94320 x61620 x32437)32x18013540524332x5120 x2xx48x732x10說(shuō)明： 記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式( ab)n的展開(kāi)式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條件對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開(kāi)會(huì)更簡(jiǎn)便典型例題九例 9若將( xyz)10展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（A11B 33C55D 66分析：( xyz)10看作二項(xiàng)式( xy)z10展開(kāi)解： 我們把xyz看成(xy)z，按二項(xiàng)式展開(kāi)，共有11“項(xiàng)”，即(xyz)10z1010C10k(xy)10 kzk( xy)k 0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)z的指數(shù)各不相同，因此

11、再將各個(gè)二項(xiàng)式不同的乘積C10k( xy)10kzk（k0,1,10）展開(kāi)后，都不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng)下面，再分別考慮每一個(gè)乘積C10k( xy)10 kzk（k0 , 1 ,10）其中每一個(gè)乘積展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)由( xy)10 k決定，而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)項(xiàng)故原式展開(kāi)后的總項(xiàng)數(shù)為11109166，應(yīng)選 D典型例題十n例 10若x12的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為20，求nx1n分 析：題中x0，當(dāng)x0時(shí)，把三項(xiàng)式x轉(zhuǎn)化為2x12n12 n1n12nxx；當(dāng)x 0時(shí)，同理x2(1)nx然xxxx后寫(xiě)出通項(xiàng)，令含x的冪指數(shù)為零，進(jìn)而解出n1n12 n解： 當(dāng)x 0時(shí)x2x，其通項(xiàng)為xxTr 1

12、C2rn( x )2 n r(1)r( 1)rC2rn( x)2n 2 r，x令2n2r0，得nr，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為( 1)nC2nn；1n12n當(dāng)x0時(shí)，x2( 1)nxx，x同理可得，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為( 1)nC2nn無(wú)論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為( 1)nC2nn令( 1)nC2nn20，以n1 , 2 , 3 ,，逐個(gè)代入，得n3典型例題十一10例 11x13的 展 開(kāi) 式 的 第 3 項(xiàng) 小 于 第 4 項(xiàng) ， 則x的 取 值 范 圍 是x_分析： 首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出展開(kāi)式的第3 項(xiàng)和第 4 項(xiàng)，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可110解： 使x有意義，必須x0；x31213依題意，有T3T4，

13、即C102(x)8C103( x)73x3x109 x10 981（x0）213213x解得0 x856489x的取值范圍是x0 x856489應(yīng)填：0 x856489典型例題十二例 12已知( xlog2x1)n的展開(kāi)式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為項(xiàng)？若展開(kāi)式的倒數(shù)第二項(xiàng)為112，求x的值解 ： 設(shè) 連 續(xù) 三 項(xiàng) 是 第k、k1、k2項(xiàng) （k N且kk 1kk 1 ，CnCnCn1 2 3即n !n !n!1)( nk1) !1)(nk(kk ! (nk) !(k1) !111123k )(nk1)(nk)k (k1)(nkk(n k)1k1(n k )(n k 1)2n k 121)2(k1

14、)2k( kk( nk)3( nk)3n14，k5所求連續(xù)三項(xiàng)為第5、6、7三項(xiàng)又由已知，13log2x112即xlog2x8C14x兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，(log2x)23，log2x3，x23，或x23說(shuō)明： 當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開(kāi)式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常利用二項(xiàng)式通項(xiàng)，根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解典型例題十三例 13(12x)n的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)分析： 根據(jù)已知條件可求出n，再根據(jù)n的奇偶性；確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)解：T6Cn5(2x)5，T7Cn6(2x)6，依題意有Cn525Cn626n8(12x)8的展

15、開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)5C84(2x)41120 x4設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則有C8r2rC8r 12r 1r6C8r2r5C8r 12r 1r5或r6（r0,1,2,8）系婁最大的項(xiàng)為：T61792 x5，T71792 x6說(shuō)明： (1) 求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得典型例題十四例 14 設(shè)f ( x) (1 x)m(1 x)n(m, nN)，若其展開(kāi)式中關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)和

16、為11，問(wèn)m , n為何值時(shí)，含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值分析： 根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)關(guān)于n的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問(wèn)題解：Cm1C1nnm11Cm2Cn21( m2mn2n)m2n21122110 2mnn211n55(n11)299224nN，n5或6，m 6或5時(shí)，x2項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為25說(shuō)明： 二次函數(shù)y(x11299x115.5，由于5、6距)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，即x2425.5等距離， 且對(duì)nN，5、6距5.5最近，所以(n11299)的最小值在n 5或n 624處取得典型例題十五例 15若(3x1)7a7x7ax6a xa，610求 (1)a1

17、a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6解： (1)令x 0，則a01，令x1，則a7a6aa0271281a1a2a7129(2)令x1，則a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7由得：a1a3a5a71128（47825622）(3)由得：2a0a2a4a61（a6a5a4a3a2a1）2 a7a0a7a6a5a4a3a2a1（）a01128( 4)781282說(shuō)明：（ 1）本解法根據(jù)問(wèn)題恒等式特點(diǎn)來(lái)用“特殊值”法這是一種重要的方法，它適用于恒等式(2) 一般地，對(duì)于多項(xiàng)式g (x)( pxq)na0a1xa2x2anxn，g ( x)的各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)：g(x)的奇

18、數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1 g(1)g ( 1)2g(x)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1g ( 1) g(1)2典型例題十六例 16 填空： (1)2303除以7的余數(shù)_；(2)555515除以8的余數(shù)是_.分析 (1)：將230分解成含7的因數(shù)，然后用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，不含7的項(xiàng)就是余數(shù)解：2303(23)103(8)103(71)103C0710C179C97 C103101010107 C10079C10178C109 2又余數(shù)不能為負(fù)數(shù)，需轉(zhuǎn)化為正數(shù)2303除以7的余數(shù)為5應(yīng)填：5分析 (2)：將5555寫(xiě)成(561)55，然后利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)解：555515(56 1)5515C5505655C5515

19、654C555456C555515容易看出該式只有C55551514不能被8整除，因此555515除以8的余數(shù)，即14除以8的余數(shù)，故余數(shù)為6應(yīng)填：6典型例題十七1n例 17求證：對(duì)于nN1，11nn 1n 11n證明：1展開(kāi)式的通項(xiàng)nr1pnrTr 1Cnnrr ! nr1 n(n1)( n2)(nr 1)r !rr1 (11)(1 2)(1 r1)r !nnn11n 1展開(kāi)式的通項(xiàng)n1TCr1Anr1)rr 1n 1(n 1)rr ! (n1(11)(12)(1r1)r !n1n1n1由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)明顯看出Tr1Tr1，1n所以111nn 1n 1說(shuō)明： 本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)為正

20、項(xiàng)，且有一項(xiàng)相同，證明時(shí)，根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)，采用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明典型例題十八例 18在( x23x 2)5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為（）A160B240C 360D 800分析： 本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的運(yùn)用應(yīng)想辦法將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解解法 1：由( x23x2)5( x23x)25，得Tk 1C5k(x23x)5 k2kC5k2k(x23x)5 k再一次使用通項(xiàng)公式得，Tr1C5k2kC5rk3rx102k r，這里0k5，0 r5k令102kr12kr9，即所以r1，k4，由此得到x的系數(shù)為C54243240解法 2：由( x23x2)5( x1)5( x2)5，知(x1)5

21、的展開(kāi)式中x的系數(shù)為C54，常數(shù)項(xiàng)為1，( x2)5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為C5424，常數(shù)項(xiàng)為25因此原式中x的系數(shù)為C5425C5424240解法 3：將( x23x 2)5看作5個(gè)三項(xiàng)式相乘，展開(kāi)式中x的系數(shù)就是從其中一個(gè)三項(xiàng)式中取3x的系數(shù)3，從另外4個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘所得的積，即C513C4424240應(yīng)選 B典型例題十九ax99，常數(shù)a的值為 _例 19 已知的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為x24分析： 利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式解： 在ax9的展開(kāi)式中，x29rrrx123r 9通項(xiàng)公式為T(mén)r 1rar1)ra9 rC9x2C9(x22根據(jù)題設(shè)，3r93，所以r8代入通項(xiàng)公式，得T99ax321

22、6根據(jù)題意，9a9，所以a4164應(yīng)填：4典型例題二十例 20 (1) 求證：13Cn132Cn233Cn3(1)n3n( 2)n(2)若(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，求(a0a2a4)2(a1a3)2的值分析： (1)注意觀察(1x)n1 Cn1xCn2x2Cnnxn的系數(shù)、指數(shù)特征，即可通過(guò)賦值法得到證明 (2)注意到(a0a2a4)2(a1a3)2( a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)，再用賦值法求之解： (1)在公式(1x)n1Cn1xCn2x2Cnnxn中令x3，即有(1 3)n1 Cn1( 3)1Cn2( 3)2Cnn( 3)n1 3 Cn132Cn2

23、( 1)n3n等式得證(2)在展開(kāi)式(2 x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4中，令x1，得a0a1a2a3a4(2x3)4；令x1，得aaa2aa4( 23)4013原式(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(23)4(23)41說(shuō)明： 注意“賦值法”在證明或求值中的應(yīng)用賦值法的模式是，在某二項(xiàng)展開(kāi)式，如(a bx)na0a1xa2x2anxn或( ab)nCn0anCn1an 1bCn2an2b2Cnnbn中，對(duì)任意的xA（a,bA）該式恒成立，那么對(duì)A中的特殊值，該工也一定成立 特殊值x如何選取， 沒(méi)有一成不變的規(guī)律，需視具體情況而定，其靈活性較強(qiáng) 一般取x0 ,1 ,1

24、較多一般地，多項(xiàng)式f (x)的各項(xiàng)系數(shù)和為f (1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為1 f (1)f ( 1)，偶次項(xiàng)系數(shù)和為1 f (1)f (1)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)22C0C1C2Cn2n及C0C2C4C1C3Cnnnnnnnnn賦值法應(yīng)用的范例典型例題二十一例 21若nN，求證明：32n 324n37能被64整除分析： 考慮先將32 n 3拆成與8的倍數(shù)有關(guān)的和式，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)解：32n324n37332n224n3739n124n373(81)n 124n373Cn018n1Cn118nCn218n 1Cnn18Cnn1124n3738n1C118nC218n1(n1)8124n 37nn38n1

25、Cn118nCn218n1Cnn1182(8n9) 24n37382 8n 1Cn118n2Cn218n3Cnn11 3 (8n 9) 24n 37364 8n 1Cn118n2Cn218n3 64，8n 1，Cn118n 2，Cn218n 3， 均為自然數(shù)，上式各項(xiàng)均為64的整數(shù)倍原式能被64整除說(shuō)明：用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題， 大體上就是這一模式， 先將某項(xiàng)湊成與除數(shù)有關(guān)的和式，再展開(kāi)證之該類(lèi)題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但不如用二項(xiàng)式定理證明簡(jiǎn)捷典型例題二十二23x2)n的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992例 22 已知( x3(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最

26、大的項(xiàng)分析： 先由條件列方程求出n(1)需考慮二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；解： 令x 1得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為(1 3)n22n，而展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為Cn0Cn1Cn2Cnn2n，有22n2n992n 5(1)n5，故展開(kāi)式共有6，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、第四兩項(xiàng)2T3C52( x3)3(3x2)290 x6，222T4C53( x3)2(3x2)3270 x3(2)設(shè)展開(kāi)式中第r 1項(xiàng)的系數(shù)最大2104rTr 1C5r( x3)5 r(3x2)rC5r3rx3，C5r3rC5r 13r 1故有C5r3rC5r 13r 131,即r6r1r3.5r1解得7r9rN，22r4，即展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大226T5C54( x3)1(3x2)4405x3說(shuō)明：展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念，因此其求法亦不同 前者