1、概率與統計大題總結一、 知識點匯編：1. 線性回歸分析(1) 函數關系是一種確定性關系,而相關關系是一種非確定性關系.回歸分析是對具有相 關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法.(2) 線性回歸分析：方法是畫散點圖,求回歸直線方程,并用回歸直線方程進行預報.其 回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計公式分別為：a = x betf"lx II T. - vl h1 £_1其中土i =|£,日稱為樣本點的中央*注,回歸直線一定過回歸中央*2.相關指蠢門* r 圣"S"* 1 y. i 'I - : - J(1)公式；#=1 一 +：r(2

2、) 0 土史 <1.4J分析,丁越大,意味看殘差平方和越小,也就是說模型即擬合散果越好,在線性回歸模型中,R2表示解釋變量對于預報變量變化的奉獻率.R2越接近于1,表示回歸的效果越好.如果對某組數據可能采取幾種不同的回歸方程進行回歸分析,也可以通過比較幾個 R2,選擇R2大的模型作為這組數據的模型.說明：r只能用于線性模型,R2那么可用于任一種模型.對線性回歸模型來說,R2 r2.3、獨立性檢驗(1) 對于性別變量,其取值為男和女兩種.這種變量的不同“值表示個體所屬的不同類 另U,像這類變量稱為 分類變量.(2) 假設有兩個分類變量 X和Y,它們的值域分別為x1 ,y1和y1, y2其樣

3、本頻數列聯表稱為2X2列聯表:y1y2總計X1aba+ bX2cdc+ d總計a + cb + da+ b+ c+ d22 a b c d ad bc(3) 構造隨機變量 K2 a b c d a c b d利用K2的大小可以確定在多大程度上可以認為"兩個分類變量有關系,這種方法稱為兩個會美變寇的獨立性檢可以利用獨立性桂強來夸察兩個分賣斐星是否有關系,并且膠精強地格出這種判好的可 靠程度 具體做法是：根據觀測數據計苴出隨機的值占其值越大*說朗七了與F有 關系成立的可能性越大.當得封的觀洌段據弟% G 口'都不刁、于s時,可以通過查閱F 哀來確定輪論七了與：有關系的可信程度.#

4、+1火蕓22.70(5*3843£ & HL0 SS20心0.010-OOOU1如：如果k>7.879,就有99.5%的把握認為“ X與Y有關系4、概率事件的關系：事件B包含事件A:事件A發生,事件B 一定發生,記作 A B;事件A與事件B相等：假設 A B, B A,那么事件A與B相等,記作A=B并和事件：某事件發生,當且僅當事件A發生或B發生,記作 A B 或A B ；并積事件：某事件發生,當且僅當事件A發生且B發生,記作 A B 或AB；事件A與事件B互斥：假設A B為不可能事件A B,那么事件A與互斥;對立事件：A B為不可能事件, A B為必然事件,那么A與B

5、互為對立事件.概率公式:古典概型：P(A)A包含的根本領件的個數 :.根本領件的總數幾何概型：P(A)構成事件A的區域長度(面積或體 積等):一: : :試驗的全部結果構成的區域長度(面積或體積等)5、統計案例抽樣方法：簡單隨機抽樣：一般地,設一個總體的個數為N通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本,且每個個體被抽到的時機相等,就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣.注：每個個體被抽到的概率為-;N常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數表法.系統抽樣：當總體個數較多時,可將總體均衡的分成幾個局部,然后根據預先制定的規那么,從每一個局部抽取一個個體,得到所需樣本,這種抽樣方法叫系統抽樣.注：步驟：

6、編號；分段；在第一段采用簡單隨機抽樣方法確定起始的個體編號； 按預先制定的規那么抽取樣本.分層抽樣：當總體有差異比較明顯的幾局部組成時,為使樣本更充分的反映總體的情況,將總體分成幾局部,然后根據各局部占總體的比例進行抽樣,這種抽樣叫分層抽樣.注：每個局部所抽取的樣本個體數 D亥局部個體數 N注：以上三種抽樣的共同特點是：在抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等頻率分布直方圖與莖葉圖：用直方圖反映樣本的頻率分布規律的直方圖稱為頻率分布直方圖.當數據是兩位有效數字時, 用中間的數字表示十位數, 即第一個有效數字, 兩邊的數字表示個位數, 即第二個有效數字, 它的中間局部像植物的莖, 兩邊像植物 莖上長

7、出來的葉子,這種表示數據的圖叫做莖葉圖.總體特征數的估計:樣本平均數x-(XinX2Xn)- n iXi,1,-、2】1/-、2(XnX) -(XX),樣本方差 s2 -(x1X)2 (x2X)2n樣本標準差 S1(XiX)2(X2X)2(XnX)2=1 n(XiX)2nn i 1大題練習1.本小題總分值12分某中學準備招聘一批優秀大學生到本單位就業,但在簽約前要對他們的師范生素質進行測試.在待測試的某一個小組中有男、女生共10人其中女生人數多于男生人數 ,如果從中隨機選2人參加測試,其中恰為一男一女的概率為-8.1求該小組中女生的人數；32假設此項專業技能測試對該小組的學生而言,每個女生通過

8、的概率為小每個男生通2 過的頻率為；.現對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進行測試,記這 3個人中通過測3試的人數為隨機變量E,求E的分布列和數學期望.d C1o n 8解析1設該小組有n個女生,根據題意,得 一勇一=福,3分解得n= 6或n= 4舍去.5分該小組中有6個女生.6分2由題意知,E的所有可能取值為 0,1,2,3,1.1.11go=3x3x4= 36,7分2,1,1137PE= 1 = c2x 3X 3X 4 +礦 4= 36,8 分PE= 2 = C2X 2X 1X 4 + |2X 4= 4, 9 分P(E=3) = (2)2x 4 = 1.(10 分)0123P_1_r

9、_7_ 41363693.E的分布列為(11 分)-E(&= 0X 31-+ 1X 日+ 2X 4 + 3X 3= 2|.(12 分) 363093 122. (2021江西紅色六校二次聯考)(本小題總分值12分)某企業招聘工作人員,設置A, B, C三組測試工程供參考人員選擇,甲、乙、丙、丁、戊五人參加招聘,其中甲、乙兩人各自獨立參加A組測試,丙、丁兩人各自獨立參加B組1 1測試.甲、乙兩人各自通過測試的概率均為*丙、丁兩人各自通過測試的概率均為 土3 2戊參加C組測試,C組共有6道試題,戊會其中 4題.戊只能且必須選擇4題作答,至少答對3題那么競聘成功.(1) 求戊競聘成功的概率；

10、(2) 求參加A組測試通過的人數多于參加B組測試通過的人數的概率；記A、 B組測試通過的總人數為匕求E的分布列和期望.解析(1)設戊競聘成功為 A事件,那么 P(A) = C4二嚴=岑=3.(3 分)(2)設參加A組測試通過的人數多于參加B組測試通過的人數為 B事件,1 2 ,1. 11,1. 1 1*1.7貝U P(B) = C2x 3X 3X (歹2 + 3X §x 冒2+ §x 3 X C2x §)2 = 30.(6 分)(3) E的所有可能取值為0,1,2,3,4,2 2 111P(E=0) = -x 3X寸 2=9,.12 11 2 2“ 11 1P(藝

11、=1) = c2x - x_x-x-+_x-x c2x-x_=_P( 1 C 3 3 2 2十 3 32 2 3,1/1,1、/1 2/2、/1、/11 1、/2、/ 1、/1 13P( ？= 2) = -X -x -x 一+ -x - X -x 一+ cM-X-X C2x-X-= P( & 2) 3 3 2 2 3 3 2 23 32 2 2 36'11“ 11、 1 2 1 11p(E=3) = - x 3 XC2X / 2+ c2x 廣廣寸成=？1、,1、,1、,1g 4) = 3 X3 X 2 2=36.(10 分)所以E的分布列為01234p111319336636E

12、( 3 = 0X 1 + 1 X3+ 2X 籍 + 3X 6 + 4X如3.(12 分) 9336636 33. 2021石家莊一模本小題總分值12分1現有甲、乙、丙三人參加某電視臺的應聘節目非你莫屬?,假設甲應聘成功的概率為2,乙、丙應聘成功的概率均為 20<t<2,且三個人是否應聘成功是相互獨立的.1假設乙、丙有且只有一個人應聘成功的概率等于甲應聘成功的概率,求t的值；2記應聘成功的人數為E,假設當且僅當E為2時概率最大,求 E8的取值范圍.t t 1 . 一解析 1由題怠礙2xx 1 一五=2,解得t= 1.3分2 E的所有可能取值為0,1,2,3,1 t t 2t2P(E=

13、 0) = (1 - 7)(1 - -)(1 - Z) = Z1 t t 4t2-2)x 2X (1 -夕=亍,2 228P(E= 1) = |x (1 - j)x (1-；)+ 2X (1P( E= 2) = 2 x 1 x 2 x (1 -項 + (1 - 2)x1、/1、/1 t2 P( E= 3) = 2X 2X 2= o.2 2 2 8故E的分布列為0123P2-t 284 t284tt2 8t28(7分),1所以 E(&= t + 2.(8 分)t 1 t2+ 4t 2由題意得 P(A 2) P(E= 1)= >0, P(E= 2)- P(E= 0) =4>0,

14、P(= 2) P( E2t- t2 =3) = 丁 >0.又由于0<t<2,所以t的取值范圍是1<t<2.11分一 35所以2<E&<2.12 分4.本小題總分值12分周先生的船艙中裝有 6條小魚和1條大魚,由于在海上漂流,他方案從當天開始,每天從該船中捕捉1條魚(每條魚被抓到的概率相同)并吃掉來維持生計.假設大魚未被捕捉,那么它 每天要吃掉1條小魚.(1) 求這7條魚中至少有6條被周先生吃的概率；(2) 以E表示這7條魚中被周先生吃掉的條掉,求E的分布列及其數學期望.解析(1)設周先生能吃到的魚的條數為E,4 一 ,一,.一,-,1假設周先生

15、要吃到7條魚,那么必須在第一天吃掉大魚,P(E= 7)=假設周先生要吃到6條魚,那么必須在第二天吃掉大魚,P(E= 6) = ¥ *=親.11故周先生至少吃掉 6條魚的概率是 P(亨6) = P( 6) + P( 7) = .(4分)35周先生能吃到的魚的條數E可取4,5,6,7,最壞的情況是只能吃到4條魚：前3天各吃掉1條小魚,其余3條小魚被大魚吃掉,第 4天吃掉大魚,其概率為p(p4) = |X 5 X 3=蕓,(6 分)64 18p(E=5) = 7 x 5 x 3= 3561.由(1)知 P(R 6)=耘,P(R 7) = 1.(8 分)35/所以E的分布列為(10 分)故

16、E(3 =35354567P1635_8_35_6_35176 6 ,35 +7 X 1 s"八' -=5.(12 分)5. (2021北京)(每題總分值13分)李明在10場籃球比賽中的投籃情況統計如下(假設各場比賽相互獨立):場次投籃次數命中次數場次投籃次數命中次數主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512(1) 從上述比賽中隨機選擇一場,求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；(2) 從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場,求李明的投籃命中率一場超過0.6,場不超過0.6的概率

17、；(3)記x為表中10個命中次數的平均數.從上述比賽中隨機選擇一場,記X為李明在這場比賽中的命中次數.比較E(X)與x的大小.(只需寫出結論)思路(1)利用古典概型求概率;(2)利用互斥事件和獨立事件概率計算公式求概率;(3) 直接利用數學期望公式求解.解析(1)根據投籃統計數據,在10場比賽中,李明投籃命中率超過 0.6的場次有5場,分別是主場2,主場3,主場5,客場2,客場4.所以在隨機選擇的一場比賽中,李明的投籃命中率超過 0.6的概率是0.5.(3分)(2)記事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6",事件B為“在隨機選擇的一場客場比賽中李明的投籃命中率

18、超過0.6",事件C為“在隨機選擇的一0.6,一場不超過0.6.個主場和一個客場中,李明的投籃命中率一場超過貝U C= A B U A B, A, B 獨立.(5 分)32根據投籃統計數據,P(A)= 5,P(B)= 5.5 5P(C) = P(A B ) + P( A B)=3x3+2x25 5 5 5 13 八=云.(8分)0.6, 一場不超所以在隨機選擇的一個主場和一個客場中,李明的投籃命中率一場超過 過0.6的概率為g.(9分)(3)E(X)= x .(13 分)6. (本小題總分值12分)我國的高鐵技術開展迅速,鐵道部門方案在A, B兩城市之間開通高速列車,假設列車在試運行

19、期間,每天在8: 00-9: 00,9: 00- 10: 00兩個時間段內各發一趟由 A城開往B城的列車兩車發車情況互不影響,A城發車時間及概率如下表所示:發車時間8: 108: 308: 509: 109: 309: 50概率161312161312假設甲、乙兩位旅客打算從A城到B城,他們到達 A城火車站的時間分別是周六8: 00和周日8: 20.只考慮候車時間,不考慮其他因素1求甲、乙兩人候車時間相等的概率；2設乙候車所需時間為隨機變量E,求E的分布列和數學期望E$.解析 1由題意得,甲、乙兩人的候車時間分別是10分鐘,30分鐘,50分鐘的概率11111111為 P 甲10 = P 甲30

20、 = 3, P 甲50 = 2； P 乙10 = q, P 乙30 = 2, P 乙50 =-X-= 36.4一.一 11 1 1 1117所以甲、乙兩人候車時間相等的概率P=-X 3+ -X 2+誑=無.6分E的所有可能取值為10,30,50,70,90 ,單位：分鐘所以E的分布列為1030507090P1312_1_36118112數學期望 E 3= 10X 1+ 30X1 + 50X 土 + 70X 土 + 90X 土 = 280.12 分3 236181297. 本小題總分值12分A, B, C, D, E,考古工作人員需挖掘考古工作人員在某遺址經過全面勘探、調查和試掘,判定該遺址有F

21、六件珍貴物件,且這六件珍貴物件呈如下列圖的位置在地底埋藏著,出上面的某個物件后才能挖掘其相應位置下面的物件.1假設要求先挖掘物件 A, B, C, E,求物件E第3次被挖掘到的概率；2設物件E第X次被挖掘到,求隨機變量 X的分布列與數學期望.解析1由題意,可將上述問題轉化為：挖掘 4個物件A, B, C, E進行了 4個步驟,且挖掘B步驟一定在挖掘 E步驟前,物件 E可在第2步、第3步或第4步被挖掘到.方法一 分類列舉不考慮D, F:假設E在第2步被挖掘到,那么 B必在第1步被挖掘到,故有 A2= 2種情況；1分假設E在第3步被挖掘到,那么 B在E前選1步被挖掘到,故有 C2a2= 4種情況；

22、3分假設E在第4步被挖掘到,那么有 A3= 6種情況.4分故物件E第3次被挖掘到的概率 P = 4= 1.5分 12 3方法二 排組計數考慮了 D, F:由于B必在E前,即B, E步驟順序一定,故總的可能情況有C2a2a2= 24種.2分假設E在第3步被挖掘到,那么B在E前選1步被挖掘到,故有 C2A2A2= 8種情況,4分故物件E第3次被挖掘到的概率 P =房=1.5分2由題意,可將上述問題轉化為：挖掘6個物件A, B, C, D, E, F進行了 6個步驟,且要求A在D前,B在E前,C在F前.貝U物件E可在第2步、第3步、第4步、第5步、第6步被挖掘到,即 X的所有可能取值為 2,3,4,

23、5,6.C4C21c2c4C 2PX= 2 = c6c4c2= 15,PX=3= c6c2c2= 15,c3c4c2 1c4c4c2 4pX=4 = c6c4c2= 5,PX=5 = c2c4c2= 15,C1C2C2 1pX= 6 = c6c2c2=3.隨機變量X的分布列為X23456P121411515515310 分所以 EX= 2X 土 + 3X £ + 4X 1+ 5X土 + 6X： = 14.12 分1515515338. 2021成都二次診斷本小題總分值12分節能燈的質量通過其正常使用時間來衡量,使用時間越長,說明質量越好,且使用時間大于或等于6千小時的產品為優質品.現

24、用 A, B兩種不同型號的節能燈做試驗,各隨機抽 取局部產品作為樣本,得到試驗結果的頻率分布直方圖如下列圖：以上述試驗結果中使用時間落入各組的頻率作為相應的概率.1現從大量的A, B兩種型號節能燈中各隨機抽取兩件產品,求恰有兩件是優質品的概率；2A型節能燈的生產廠家對使用時間小于6千小時的節能燈實行“三包.通過多年統計發現,A型節能燈每件產品的利潤y單位：元與其使用時間t單位：千小時的關系如下表：使用時間t單位：千小時t<44 < t<6t法6每件產品的利潤y單位:元一202040假設從大量的A型節能燈中隨機抽取兩件,其利潤之和記為X單位：元,求X的分布列及數學期望.1解析1

25、從A型號節能燈中隨機抽取一件產品為優質品的概率PA = 2.1分從B型號節能燈中隨機抽取一件產品為優質品的概率P(B) = |.(2分)P= C25.從A, B兩種型號節能燈中各隨機抽取兩件產品,恰有兩件是優質品的概率(1)1(1)1 X c2(5)1(|)1 + C*)2X C2(5)2x C2(2)2X 頃5)2 =制(6 分)(2)據題意,知 X的可能取值為40,0,20,40,60,80.(7分). P(X= 40) = c2房)2=洽P(X= 0) = c2(%)1x(|)1=2|,1 ,1 ,1P(X= 20) = C2(布)1X(2)1=而,P(X= 40) = C2(|)2=

26、2|,212P(X= 60) = C2(|)x (-)1 = i, 525P(X= 80) = c2(2)2= 1. X的分布列為X一40020406080P1 1002211104212514(10 分)11421.數學期望 E(X)= 10(-4 X-+ 0+ 2X+ 4X 云 + 6X-+ 8X -) = 52.(12 分) 1001025549. (2021安徽)(本小題總分值12分)某高校共有學生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,為調查該校學生每周 平均體育運動時間的情況, 采用分層抽樣的方法, 收集300位學生每周平均體育運動時間的 樣本數據(單位：小時).

27、(1) 應收集多少位女生的樣本數據？(2) 根據這300個樣本數據,得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數據的分組區間為：0,2, (2,4, (4,6, (6,8, (8,10, (10,12,估計該校學生每周平均體育運動時間超過 4小時的概率.(3) 在樣本數據中,有 60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時,請完成每周平均體育運動時間與性別列聯表,并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運附：K2=動時間與性別有關 .P(K2> k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.8792n ad bca+ b

28、 c+ d a+ c b+ d思路 (1)根據抽樣比計算分層抽樣中應抽取的人數;(2) 利用對立事件或互斥事件的概率公式求運動時間超過4小時的概率；(3) 根據K2的計算公式求解.4 500 解析(1)300 X 15 00Q0 = 90,所以應收集90位女生的樣本數據.(2分)(2) 由頻率分布直方圖,得1 2X (0.025 + 0.100) = 0.75,所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.(5分)(3) 由知,300位學生中有300X 0.75 = 225人的每周平均體育運動時間超過4小時,75人的每周平均體育運動時間不超過4小時.又由于樣本數據中有21

29、0份是關于男生的,90份是關于女生的,所以每周平均體育運動時間與性別列聯表如下：(7分)每周平均體育運動時間與性別列聯表男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300結合列聯表可算得 K2= 300X 45>< 60T65 * 30 =票q 4.762>3.841.75 X 225 X 210 X 9021所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關 . (12分)探究 知識：分層抽樣、頻率分布直方圖、獨立性檢驗.水平：根據頻率分布直方圖求概率、分層抽樣計算女生的人數以及根據K2進

30、行獨立性檢驗,考查運算求解水平、分析解決問題的水平、數據處理水平以及邏輯思維運算水平.試題難度：中等.10. (2021山東六校聯考)(本小題總分值12分)為改善城市霧霾天氣造成的空氣污染,社會各界掀起凈化、美化環境的熱潮.某單位計劃在辦公樓前種植 A, B, C, D四棵風景樹,受本地地理環境的影響,A, B兩棵樹種成活1的概率均為2,另外兩棵樹種的成活率都為a(0<a<1).(1)假設出現A, B有且只有一棵成活的概率與C, D都成活的概率相等,求 a的值；2 .當a = 2時,記E為最終成活的樹的數量,求E的分布列和數學期望E(3.3思路 此題以社會熱點問題為命題背景,考查概

31、率的計算、隨機變量E的分布列和數學期望E(3的計算.(1) 根據A, B有且只有一棵成活的概率與C, D都成活的概率相等列出等式即可求出a的值；(2) 考查離散型隨機變量的期望值,求解離散型隨機變量的問題,首先根據題意分別求出隨機變量E的可能取值對應的概率,列出E的分布列,再根據期望公式計算E(3的值.解析(1)由題意,得2X； x (1 -2) = a2,解得a=乎.(4分)依題意,隨機變量E的所有可能取值為 0,1,2,3,4,那么 P(E=0) = C0x (1 - 1)2x C2x (12)2= 土,2336.11 n 21221P(E= 1)= c2xM (1 -2)X C2x(1

32、3)2+ C0X(1 2)2xC2x-x(1 -)=甘,c 121122-1cP( E= 2) = C2x(2)2x C2x(1 )2+ c2x x (1 -)x C2x 3x(1 -)+ c2x(1 -)2x C2X(2)2=炊(3) 36'P( E=3) = C2x (2)2x C2x 3x (1- 3) + C2x ；x (1 -2)x C2x (|)2= 3, P( E= 4) = C2x (；)2x C2x (3)2 = 9.(9 分)所以E的分布列為01234P1361613361319E 3 = 0X £ + 1X 1+ 2 X 11+ 3X1+ 4X 1 =

33、7.12 分 3663639 311. 2021南昌二模本小題總分值12分某公司生產產品 A,產品質量按測試指標分為：指標大于或等于90為一等品,大于或等于80小于90為二等品,小于80為三等品,生產一件一等品可盈利 50元,生產一件二等 品可盈利30元,生產一件三等品虧損 10元.現隨機抽查熟練工人甲和新工人乙生產的這種 產品各100件進行檢測,檢測結果統計如下：測試指標70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)95,100)甲3720402010乙515353573現將根據上表統計得到甲、乙兩人生產產品A為一等品、二等品、三等品的頻率分別估計為他們生產產品 A為一等品、二等品、三等品的概率.1計算新工人乙生產三件產品A給工廠帶來盈利大于或等于100元的概率；2記甲、乙兩人分別生產一件產品A給工廠帶來的盈利和為X,求隨機變量 X的概率分布和數學期望.解析 甲生產一件產品 A為一等品、二等品、三等品的概率分別為W