1、任意四邊形、梯形與相似模型4- 3- 3.任意四邊形、梯形與相似模型題庫page 10 of 8例題精講板塊一 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關系(蝴蝶定理”) Sl：S2 $4：6或者81 S3 S2 s4 AO：OC § S2 : S4 S3蝴蝶定理為我們提供了解決不規則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構造模型，一方面可以使不規則四邊 形的面積關系與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系.【例1】 圖中的四邊形土地的總面積是 52公頃，兩條對角線把它分成了 4個小三角形，其中 2個小三角形 的面積分別是6公頃和7公頃.那么最大的一個三角形的面積

2、是多少公頃？【考點】任意四邊形模型【難度】2星【題型】解答【解析】 在gABE, |CDE中有 AEB CED ,所以ABE , CDE的面積比為(AE EB) :(CE DE).同 理有&ADE, &BCE的面積比為(AE DE):(BE EC) .所以有 abe XSkde = Sade xbce ,也就是 說在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積.即S，BE 6 = SADE 7 ,所以有&ABE與&ADE的面積比為 7:6, sLbe = - 39 21 公頃，S4ade

3、=6 39 18 公頃.6 76 7顯然，最大的三角形的面積為21公頃.【答案】21【例2】 如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對角線 AC、BD分成四個部分， 4AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，ACOD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6. 92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【考點】任意四邊形模型【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】小數報【解析】根據蝴蝶定理求得 SAAOD 3 1 2 1.5平方千米，公園四邊形 ABCD的面積是1 2 3 1.5 7.5平 方千米，所以人工湖的面積是7.5 6.92 0.58平方千米【答案】0.58【例3】 一個

4、矩形分成4個不同的三角形（如右圖），綠色三角形面積占矩形面積的15%,黃色三角形的面積是21平方厘米.問：矩形的面積是多少平方厘米？【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】華杯賽，初賽，第 7題【解析】黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50%,而綠色三角形面積占矩形面積的15%,所以黃色三角形面積占矩形面積的50%- 15%= 35%已知黃色三角形面積是 21平方厘米，所以矩形面積等于21與5%= 60（平方厘米）【答案】60【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：三角形BGC的面積；AG:GC【難度】2星 【題型】解答S BGC

5、12 3,那么 S BGC 6 ；AG: GC 1 2 : 3 61:3.【考點】任意四邊形模型【解析】根據蝴蝶定理,根據蝴蝶定理,【答案】1:3【例4】 四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點0（如圖所示）.如果三角形 ABD的面積等于三角形 BCD的 面積的1 ,且 ao 2 , D0 3 ,那么CO的長度是 DO的長度的 倍.3【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】填空【解析】在本題中，四邊形 ABCD為任意四邊形，對于這種 "不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形.看到題目中給出條件S：abd：S；bcd

6、 1：3 ,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法.又觀察題目中給出的已 知條祚是面初的關系，轉化為邊的關系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改 造這個"不良四邊形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G,面積比轉化為高之比.再 應用結論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結果.請老師注意比較兩種解法，使學 生體會到蝴蝶定理的優勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題.【例5】解法一：AO ：0C SABD : SBDC解法二：作AH BD于H , CG1c S ABD - S BCD ,3OC :0D 6:32倍如圖，平行四邊形1AH

7、 -CG ,31:3 , . OC 2 3 6, OC:OD 6:3BD 于 G .2:1 .2 3 6,ABCD的對角線交于 0點，4CEF、AOEF > AODF > BOE的面積依次是2、4、4和6.求：求OCF的面積；求 4GCE的面積.【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】解答2 8,【解析】根據題意可知，4BCD的面積為2 4 4 6 16,那么ABCO和 CDO的面積都是16所以OCF的面積為8 4 4;由于ABCO的面積為8, 4BOE的面積為6,所以OCE的面積為8 6 2,根據蝴蝶定理，EG：FG S COE : S COF 2 : 4 1:2,所以 S G

8、CE ： S GCF EG: FG 1:2 ,112那 A S gce S cef - 2 1 2333【例6】 如圖相鄰兩個格點間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積為 面積為：3 3 1 2所以S ABO 一 4 7ACD的4:7 ,【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】清華附中，入學測試題【解析】 連接AD、CD、BC .則可根據格點面積公式，可以得到ABC的面積為：1,12,2 4-, _ _ _3.5, ABD 的面積為：2 1 3 .所以 BO:OD S abc : S acd 2:3.524 125 ABD - 3111111【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是【考

9、點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】解答【解析】因為BD:CE2:5，且 BD / CE ,所以 DA: AC 2:5 , S ABCS DBC10【例7】如圖，邊長為1的正方形ABCD中，BECFFD ,求三角形 AEG的面積.ADADBEC BE C【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】解答【關鍵詞】人大附中考題【解析】連接EF .因為BE 2EC , CF FD ,所以 S DEF1(2因為S AED1s5 s ABCD,根據蝴蝶定理,AG : GF1 SABCD 一 S 12 -ABCD 所以S AGD6S GDF6ss ADF74S所以S AGES AEDS AGD- SABC

10、D( ABCD-S-14 -s14 -ABCD2 12ABCD 2S7 SABCD例8即三角形AEG的面積是2 .7如圖，長方形 ABCD中，BE: EC 方形ABCD的面積.2:3 ，DF:FC 1:2,三角形DFG的面積為2平方厘米,求長【考點】任意四邊形模型解答因為 BE: EC 2:3, DF : FC 1:2,所以 SDEF9 1 3s長方形abcd IS長方形abcd.5 3 210例9因為SAED1%方形3g5"5:1,所以S AGD 5sGDF10平方厘米，所以 S AFDdhl|J12平方厘米.因為S.AFD6形ABCD'所以長方形ABCD的面積是72平方厘

11、米.72如圖，已知正方形 角形BDG的面積.ABCD的邊長為10厘米,E為AD中點,F為CE中點，G為BF中點,ADG【考點】任意四邊形模型C【難度】4星【題型】【解析】設BD與CE的交點為O ,連接BE、DF .由蝴蝶定理可知EO : OCSBED : S BCD , 而 S BEDISs ABCD )2EO:OC SBED :SBCD 1:2,H.MEO3ec-由于F為CE中點，所以EF故 EO:EFFO:EO由蝴蝶7E理可知SBFD : SBEDFO : EO 1: 2 ,所以S'.BFD那么 S ：bgd SBFD-SABCD216 -110 10 6.2516（平方厘米）.M

12、NC的面積是BC根據蝴蝶定理得S MONS AOM S BONS AOB【答案】6.25 【例10 如圖，在 ABC中，已知M、N分別在邊 AC、BC上，BM與AN相交于O,若 AOM、 ABO和BON的面積分別是 3、2、1,則【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空【解析】這道題給出的條件較少，需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解.設S MON X ,根據共邊定理我們可以得S ANMS MNC【答案】22.5S ABMS MBC225【例11】 正六邊形AA2A3A4A5A6的面積是2009平方厘米,B1B2B3B4B5B6分別是正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米.

13、【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，6年級。初賽【解析】如圖，設B6A2與B1AB的交點為O,則圖中空白部分由6個與 &OA3一樣大小的三角形組成，只要求 出了 A2OA3的面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影部分面積.連接 AA、B60、B6A3.設 A1B1B6的面積為”1 ；則 B4B6面積為"1 : A1A2B6面積為"2 ；那么 A3A3B6面積為 A1A2B6的 2倍，為”4 ；'梯形AA2A3A6的面積為2 2 4 2 12, AB6A3的面積為”6 ； B1A2A3的面積為2 .根據蝴蝶定理，RO A3O S

14、 B1A2B6 ： S A3A2B6 1： 6 ,故 S AOA3 S BM - ,16127121所以SAOA3：S弟形AAAA y：12:1: 7 ,即 A20A3的面積 為梯 形人丹丹上面積的1 ,故為K 邊形AA2A3A4A5人面積的工，那么空白部分的面積為正六邊形面積的工6芻，所以陰影部分面積為141473一一，2009 1 - 1148（平方厘米）.【答案】1148【例12 如圖，ABCD是一個四邊形， M、N分別是AB、CD的中點.如果 AASM > MTB與ADSN的面 積分別是6、7和8,且圖中所有三角形的面積均為整數，則四邊形ABCD的面積為 .【考點】任意四邊形模型

15、【關鍵詞】 迎春杯，高年級組，決賽，【解析】連接MN、AC、BD.由于M是AB的中點，所以5星12題【題型】填空AMN與BMN的面積相等，而MTB比 ASM的面積大1,所以 MSN比 MTN的面積大1;又由于N是CD的中點，所以 DMN的面積與 CMN的面積相等，那么 CTN的面積比 DSN的面積大1,所以 CTN的面積為9.ASD的假設 MTN的面積為a,則 MSN的面積為a 1 .根據幾何五大模型中的蝴蝶定理，可知 面積為48L , BTC的面積為63 .a 1a要使這兩個三角形白面積為整數，a可以為1, 3或7.由于 ADM的面積為 的面積之和為四邊形ABD面積的一半， BCN的面積為A

16、BCD面積的一半，所以ADM與BCD面積的一半，所以 ADM與 BCNBCN的面積之和等于四邊形 BMDN的面積，即：里6a 1將a 1、639 7a3、7分別代入檢驗,1 8,得色封2a 1.a 1 a只有a 7時等式成立，所以MTN 的面積為 7, MSN、ASD、 BTC的面積分別為8、6、9.四邊形ABCD的面積為6小結：本題中 且圖中所有三角形的面積均為整數”這個條件是多余的.【答案】60【例13】已知ABCD是平行四邊形,BC:CE 3:2,三角形ODE的面積為6平方厘米。則陰影部分的面積平方厘米。【考點】任意四邊形模型【難度】4星【關鍵詞】學而思杯，6年級，第五題【題型】填空【解

17、析】 連接AC。由于ABCD是平行四邊形，BC:CE 3:2,所以CE: ADS jCOE : SAOC : S22DOE : SAOD 2 : 2 3: 2 3: 34:6:6:9 ,所以Sg AOC方厘米），又Sb ABC SACD 6 9 15 （平方厘米），陰影部分面積為6 taJL2:3 ,根據梯形蝴蝶定理，6（平方厘米），SAOD 9（平15 21 （平方厘米）。33【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空【例14】正方形ABCD邊長為6厘米，AE = - AC , CF = - BC o三角形DEF的面積為 平方厘米。【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第 13題1【解析】為AE 1 AC,所以三角形ADE的面積為三角形 3一 一 1ACD 的-3,即正方形ABCD的1-1。因為2 3 6【例15】1AE -AC , CF3-BC ,所以三角形CEF的面積為三角形 ABC面積的2 133 3的面積是三角形 ABC面積的1 2911DCF的面積是正方形面積的 -12 3即62 10 (平方厘米)。1810如圖4,在三角形 ABC中,2 ，一一士,所以四邊形ABFE97_ 177 一. 1 ,一一7 ,即正方形面積的 1 7 看，因為CF 2bc ,所以三角形117 5-,所以三角形