1、（1） 往返運動平均速度公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2) （2） 沿途數車問題核心公式：發車的間隔時間T=S/v車2t1t2/（t1+t2） 車速和人速的比N=v車/v人（t1+t2）/（t2-t1）地鐵檢修車沿地鐵線路勻速前進，每6分鐘有一列地鐵從后面追上，每2分鐘有一列地鐵迎面開來。假設兩個方向的發車間隔和列車速度相同，則發車間隔是（    ）A、2 B、 3 C、4 D、5 發車的間隔時間T=S/v車2t1t2/（t1+t2）（3） “漂流瓶”問題核心公式 漂流所需時間T=S/V水2t逆t順/（t逆-t順）（三）碰到車數問題（不算之前就在路上的有

2、1輛甲出時乙出的+（60/6-1輛甲到時乙出的）=10輛，從甲站出來時路上已有60/6-1輛甲出時乙到的=9輛，所以共19輛）（四）相遇、追及問題：A.兩輛汽車分別從A、B兩站同時出發，第n次相遇兩人就一共走了2n-1個全程。B.第一、兩次相遇公式：單岸型 S=(3S1+S2)/2 ;兩岸型 S=3S1-S2 , 兩次相遇地點距離 X=S- S1-S2 =2*S1-2*S2（5） 1、變速往返接人： a/V人=(S-2a)/V車+（S-a）/V車 （車速不變則V車=V車） 2、多次往返接人：所有人分成m撥 即a=2S/（2m-1+n）,步行距離=（m-1)a 3、車速不變往返接人題型(兩撥人)

3、：a=2S/（3+n），n=V車：V人（a為步行距離）容斥定理 M=X+Y+Z-a-b-c+m（其中X與Y與Z、Z與X重疊部分的面積依次是a、b、c） M=X+Y+Z-（a+b+c-3m）-2m=X+Y+Z-a-b-c+m 最不利原則解題:（總的思想：先算每次沒過的，考慮最不利的情況）三、組 合 問 題（一）排列組合兩個恒等公式的利用1、C（n，0）C（n，1）C（n，2）C（n，n）2n2、C（m，n）C（m，n1）C（m1，n1）（二）對稱原理的應用（三）環形排列：需要一人坐下來作為參照位置，再對剩下的N-1人進行全排列。（四）難題巧解N人傳接球M次公式：次數=(N-1)M/N ，最接近的

4、整數為末次傳他人次數，第二接近的整數為末次傳給自己的次數（五）特殊方法解題4、錯位重排：a(n)=n*a(n-1)+(-1)n 前幾個數字是0、1、2、9、44、265，5、間隔問題：要想使3盆紅花互不相鄰，只能是放在4盆黃花形成的空里，4盆黃花有5個空，從中任意拿3個空來放紅花即可，即。6、排列組合之“捆綁法”、“插空法”、“插板法”（4個不同的球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少一個球，記得先選兩個球捆綁再分到3個盒子中，免得重復C(4,2）*P（3,3）例題9學校準備了1152塊正方形彩板，用它們拼成一個長方形，有多少種不同的拼法？（  ）A12  

5、0;          B14             C15             D16 解析：1152=27*32，則(7+1)*(2+1)/2=12（2選0個7個8種選擇、3有3種，考慮長寬對調的情況，所以除以2）六、過 河 問 題來回數=（總量-可乘數）/（

6、可乘數-1）*2+1=2*（總量-1）/（可乘數-1）-1 次數=（總量-可乘數）/（可乘數-1）+1=（總量-1）/（可乘數-1）八、比 賽 場 次 問 題（1） 淘汰賽：僅需決出冠、亞軍，比賽場次N1 需決出第1、2、3、4名 ，比賽場次N （2） 循環賽 ：單循環（任意兩個隊打一場比賽），比賽場次C（N，2）=N(N-1)/2 雙循環（任意兩個隊打兩場比賽），比賽場次=P（N, 2）=N(N-1) 如果參加的隊數是偶數，則比賽輪數為隊數減1。例：8個隊參加比賽，比賽輪數為8-1=7輪。 如果參加的隊數是奇數，則比賽輪數等于隊數。 例：5個隊參加比賽，比賽就要進行5輪。 九、統

7、籌 問 題（二）貨物裝卸問題如果有M輛車和N（NM）個工廠，所需裝卸工的總數就是需要裝卸工人數最多的M個工廠所需的裝卸工人數之和。（若MN，則把各個點上需要的人加起來即答案）（四）貨物集中問題解析：從中間開始分析，丙、丁之間（5+7+10）<（3+12+8）”，應該往右流動；丁、戊之間（5+7+10+3）>(12+8)”，應該往左流動；選擇丁村。十一、雞兔同籠的變式公式：（貴的*總數-總價）/（貴的-賤的）=賤的數目十二、時 鐘 問 題A.基本的公式：在初始時刻需追趕的格數÷（1112）=追及時間（分鐘），分針走一分鐘（轉6度）時，時針走0.5度，分針與時針的速度差為5.

8、 5度/分鐘B.當已知原來兩針的間隔度數及要形成夾角的度數時，有公式：兩針達到要形成夾角度數所需時間（分鐘）=（原來兩針的間隔度數±要形成夾角的度數）÷（6°-0.5°）。C.每分鐘時針比分針少走11/12格。例1：現在是2點，什么時候時針與分針第一次重合？ >)kKP8l7 析：2點時，時針在第10格位置，分針處于第0格，相差10格，則需經過10 / （11/12）分鐘的時間。 gq . 例2：中午12點，時針與分針完全重合，那么到下次12點時，時針與分針重合多少次？ _3G ZeGV 析：時針與分針重合后再追上，只可能分針追及了60格，追及一次

9、耗時60 / （11/12 ）720/11分鐘，而12小時能追及12*60/（ 720/11)=11次，第11次時，時針與分針又完全重合在12點。 KxsdE 十三、頁 碼 問 題一、頁碼為一位數用1-9頁碼，用9個數字；頁碼為兩位數用10-99頁碼，用180個數字；三位數100-999頁碼，用2700個數字2、 關于含“1”的頁數問題，總結出的公式就是：總頁數的1/5，再加上100。 十四、抽屜原理1、按自然數列分放，那么14個房間需要105 張，故最少有2個辦公室的桌子數是一樣的。2、把多于m×n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m1個或多于ml個的物體。 例題3：從幾

10、個抽屜中（填最大數）拿出25個蘋果，才能保證一定能找到一個抽屜，從它當中至少拿了7個蘋果？（答案：25÷6，可見除數為4，余數為1，抽屜數為4，所以答案為4個） 盈 虧 問 題（1） 一次盈，一次虧：（盈+虧）÷（兩次每人分配數的差）=人數（2）兩次都有盈： （大盈-小盈）÷（兩次每人分配數的差）=人數（3）兩次都是虧： （大虧-小虧）÷（兩次每人分配數的差）=人數十六、鹽 水 交 換 問 題公式：mn/(m+n)例題1：有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重克，乙杯鹽水重克現在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同從每杯中倒

11、出的鹽水是多少克？ 公式： mn/(m+n)=120*80/(12080)48克 十七、空 瓶 換 汽 水1. 6（N）個空瓶能換1瓶汽水（即5空瓶=1汽水），喝157瓶汽水至少要買多少瓶汽水？157÷6×5=130.83（向上取整）=131 157=X+X/(N-1)X=A÷N×(N-1) （向上取整）2. 如改為:每瓶飲料1元錢,(空瓶與汽水價錢比=1:5，則汽水價錢是1*5/6)，131元最多能喝到多少瓶飲料，則為：131÷5×6=157.2（向下取整）=157 X*1*5/6=131A=X÷(N-1)×N

12、（向下取整）十八、平 潤 年、 星 期 幾*每過一年星期數加一，但是閏年加二十九、取 牌 問 題例題：有300張多米諾骨牌，從1300編號，每次抽取奇數牌，問最后剩下的一張牌是多少號? 解析：不管牌書有多少張，都可以這樣算：小于等于總牌數的2的N次方的最大值就是最后剩下的牌的序號。例題中小于等于300的2的N次方的最大值是2的8次方，故最后剩下的一張牌是256號。 公式 2*n<300 另：總是拿掉偶數牌，最后剩下的是第一張牌，即編號是1的。二十一、方陣、栽樹問題 （1） 方陣核心公式： 1方陣總人數=最外層每邊人數的平方（方陣問題的核心） 2方陣最外層每邊人數=（方陣最外層總人數

13、47;4）1 3方陣外一層每邊比內一層多2 ,每層人數比內一層多8 4去掉一行、一列的總人數去掉的每邊×2-1   （2） 栽樹核心公式 1、線性栽樹：全長=間隔×（棵數-1） 2、環形栽樹：全長=間隔×棵數3、 間隔思想 ：時鐘敲4下，其間有3個間隔，每個間隔是12/3=4秒 “每隔9天”也即“每10天”，所以實際上是求10，12，8的最小公倍數。 二十二、 年 齡 問 題 設爸爸、哥哥現在年齡分別為：x、y則當哥哥9歲時爸爸x-(y-9)歲。二十三、自然數N次方的尾數變化情況 2、3、7、8以4為周期；4、9以2為周期；1、5、6以1為周期。例：8n

14、是以“4”為周期進行變化的，分別為8，4，2，6，  8，4，2，6  方法2：2x=2（x+4n），4x=4（x+2n）二十五、剪 繩 問 題將一根繩子連續對折三次，然后每隔一定長度剪一刀，共剪6刀。問這樣操作后，原來的繩子被剪成了幾段?( )A 18段 B 49段 C 42段 D 52段公式：2n*m+1（一根繩連續對折N 次，再剪M 刀）二十七、拆 數 求 積 問 題盡量拆成3和2（3越多乘積越大）二十八、余同加余，和同加和，差同減差，公倍數作周期 1 余同：“一個數除以4余1，除以5余1，除以6余1”，則取1，表示為60n+1 2 和同：“一個數除以4余3，除以5余

15、2，除以6余1”，則取7，表示為60n+7 3 差同：“一個數除以4余1，除以5余2，除以6余3”，則取3，表示為60n-3 三十、幾 何 問 題（一）圓分割平面公式 n個圓最多分得平面數：n2-n+2 n條直線最多把平面分成幾個區域：n(n+1)/2+1例題：3條直線最多能將平面分成幾部分？（7）（二）割補法：陰影部分可拼成一條對角線長為16的正方形。如圖，故面積是16×16÷2=128。（把正方形看成兩個高等于半徑底邊等于直徑的三角形，求面積更簡單） (3) 常用幾何性質球：表面積：4r2 體積：4/3r313+23+.+N3=(1+2+3+.+N)2。12+22+32

16、+n2=n(n+1)(2n+1)/6 三十二、一些數學性質應用（一）整除特性1、末兩位數字組成的兩位數能被4整除的整數必能被4整除 2、末三位數字組成的三位數能被8整除的整數必能被8整除 3、一個三位以上的整數能否被7（11或13）整除，只須看這個數的末三位數字表示的三位數與末三位數字以前的數字所組成的數的差（以大減小）能否被7（11或13）整除 4、各個數位上數字之和能被9整除的整數必能被9整除5、一個整數的奇數位數字和與偶數位數字和的差如果能被11的整除，那么它能被11整除（二）數學公式等比數列和公式：Sn=a1(1-qn)/(1-q) 例題1：計算1/43/87/1615/3231/64

17、63/128127/256255/512511/1024=？解析原式=1/2-1/41/2-1/81/2-1/1024=41/1024=4(1/1024)。（三)韋達定理一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0 且=b2-4ac0)設兩個根為X1和X2，則X1+X2= -b/a X1*X2=c/a (四）二次函數的性質：1. 拋物線對稱軸為直線x = -b/2a。2. 拋物線頂點P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a ) 當-b/2a=0時，P在y軸上；當= b2-4ac=0時，P在x軸上。 3. 當a0時，拋物線向上開口；a0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。 4.

18、a與b同號（即ab0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右。 5. 拋物線與y軸交于（0，c） 6. = b2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。= b2-4ac=0時，與x軸有1個交點。(五）增長率1.“從2004年到2007年的平均增長率”一般表示不包括2004年的增長率； 2.“2004、2005、2006、2007年的平均增長率”一般表示包括200年的增長率。 兩年混合增長率公式： 如果第二期與第三期增長率分別為r1與r2，那么第三期相對于第一期的增長率為： r1r2r1× r2增長率化除為乘近似公式：如果第二期的值為A，增長率為r，則第一期的值A：

19、AA/（1r）A×（1-r）（實際上左式略大于右式，r越小，則誤差越小，誤差量級為r2）平均增長率近似公式：如果N年間的增長率分別為r1、r2、r3rn，則平均增長率：rr1r2r3rn/n（實際上左式略小于右式，增長率越接近，誤差越小）Abstract: Based on the comprehensive analysis on the plastic partstructure service requirement, moundingintroduced數學運算一、數學類運算（一）四則運算1、尾數估算法（如果選項尾數不一樣，可用其快速確定答案）2的n次方，位數分別為：2，4,

20、8,63的n次方，位數分別為：3，9，7，17的n次方，位數分別為：7，9，3，18的n次方，位數分別為：8,4,2,69的n次方，位數分別為：9,14的n次方，位數分別為：4,62、補數法如果兩個數的和正好可以湊成整十、整百、整千，那么我們就可以說這兩個數互為補數。3、基準數法彼此相近的數相加時，去一個中間數作為基準數。4、湊整法5、運用公式；6、代換法。（二）比較大小二、應用計算題（一）路程問題1、相遇是速度相加2、追擊問題是速度差（追擊路程等于甲的-乙的路程）3、流水問題順水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順水速度+逆水速度）/2水速=（順水速度-逆水速度）/2（二）比例問題

21、1、求值型問題2、比例分配問題（三）、求面積（要多用割、補）（四）、工程問題把工程總量看成1，要是n天完成，效率就是1/n,兩組的效率就是單個效率之和。（五）、年齡問題。多帶入，年齡差是不變的。幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數差-小年齡幾年前的年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數差 （六）、利潤問題（七）、跳進問題（畫解析圖，直接減去最后一次跳的距離）（八）、植樹問題1、若植樹線路兩端都種樹，棵數=段數+1=全長/株距+12、若植樹線路一端種樹，棵數=段數=全長/株距。也相當于封閉路段栽樹，如圓形池塘。3、若植樹線路兩端都不種樹，棵數=段數-1=全長/株距-1。每隔9天一次，等于每天一次（九）抽水問題。【動機功率（臺數X虛擬單位效率）-滲水率】X時間是一個恒定量容斥關系公式：2核心公式：（1）兩個集合的容斥關系公式： ABABAB（2）三個集合的容斥關系公式：   ABCABCABBCCAABC乘法原理：如果完成一件事情需要分幾