1、精選優質文檔-傾情為你奉上第三章 行波法§3.1 達朗貝爾法（行波法）考慮無界弦的自由振動問題，有定解問題如下： 對于上面的標準形方程，它有兩族特征曲線，作變換，由上面的方程變為：求上面偏微分方程的解先對積分一次得再對積分一次得：其中是具有任意連續可微函數，將原自變量代回得原方程的通解為下面通過初始條件確定上面的任意函數 ， （1） （2）對（2）從到x積分得： （3）（1）+（3）得 該公式叫達朗貝爾公式例：確定初值問題：解：略。達朗貝爾方程的物理定義：先討論 （即振動只有初始位移） 先看項：當時若觀察者位于處，此時在x軸上，若觀察者以速度a沿軸正方向運動，則在t時刻觀察者位于處，

2、此時：由于t是任意的，這說明觀察者在運動過程中隨時可以看到相同的波形，可見，波形和觀察者一樣，以速度a沿x軸正方向傳播。 表示以速度a正向傳播的波，叫正行波。同樣，表示以速度a負向傳播的波，叫逆行波。若，即振動沒有初始位移，這時令 則 由此可見第一項也是逆行波（反行波），第二項也是正行波。正、反行波的疊加（相減）給出弦的位移。綜上所述：達朗貝爾解表示正行波和反行波的疊加。§3.2 反射波討論半元界弦的自由振動，且在無外力作用的情況下，其定解問題為：（1）的通解為：將初始條件（2），（3）代入上式得：得 （5） （6）再將（4）代入得：討論：當即時，則（5），（6）變為代入通解有：若即

3、，則仍可由（5）得到，但（6）不能用。但由（7）令，則有 則 代入得： 綜上半元界弦的自由振動解為：解的物理意義：（1）若時，其解為達朗貝爾解，這說明端點的影響未傳到。（2）若時，此時解和達郎貝爾解不相同，這說明端點的影響已傳到。為說明問題，設初速度為零則上式中第一項：從軸負向向端點傳播的反行波；上式中第二項：若觀察者在時位于處，這時他所看到的波形為若觀察者以速度沿軸正向行走，于是在時刻觀察看者行至到處，這時他們所看到的波形為：這說明第二項是由端點傳來的以速度沿軸正向傳播的正行波筒稱為反射波。反射波的另一種求解辦法：（）若一端固定：此時相應的定解問題為：由于上面的問題已不是Cauchy問題，因

4、此要用達朗貝爾公式必須將和延拓到整個數軸上，變為。這時： 因此，要使上式成立，只需為奇數即可。 （）若端點自由，則邊界條件變為：，則：雖然只要取為奇函數，為偶函數即可。此時：§3.3 純強迫振動以上討論的僅限于自由振動，其方程均為齊次的。下面討論無界弦或桿的純強迫振動，即 這時方程是非齊次的，若能設法將非齊項清去，便可利用達朗貝爾法求解。為此引入沖量原理。1沖量原理方程（1）中的是單位質量的弦上所受的外力。這是一從時刻一直延續到時刻t的持續作用力。根據疊加原理，這一持續力所引起的振動，可視為一條到前后相繼的瞬時力所引導起的振動的疊加，即由于力對系統的作用對于時間積累是給系統一定的沖量

5、。考慮在短時間間隔內對系統的作用。則表示在內的沖量，該沖量使系統的動量即系統的速度有一個改變量是單位質量弦上所受的力，故動量在數值上等于速度。現將內得到的速度改變量視為是在時刻的一瞬間得到的。則在這段時間內，瞬時力所引起的振動的是解問題可表為：為了求解，令則上面方程變為：因此欲求振動問題（1）（3）的解，只需求振動問題（4）（6）的解，而以上這種同瞬時沖量的疊加代替持續力來求解問題（1）（3）的方法，稱為沖量原理。2：純強迫振動的解對于下面的定解問題：令，則則由達朗貝爾公式于是得：此即強迫振動的解。例：求解下面的定解問題解：此題屬于 強迫振動問題，且，由公式有 例：2求解下面的定解問題解：將y

6、換成t，則原方程變為：故由由強迫振動的求解公式有： 原方程的解為：3一般強迫振動（或阻尼振動）對于一般強迫振動（或阻感振動），其定解問題為由于泛定方程和定解條件都是線性的，故可以利用疊加原理處理這一問題。令并且使滿足 其使滿足 其 例：求解下面的定解問題 答案：§3.4 三維波動方程的poisson公式討論三維波動方程的Cauchy問題求解方法：將三維波動問題的求解化為一維波問題先引入球坐標系，如圖所示，則有球坐標系與直角坐標的換算關系為：這樣在球坐標下變為若只考慮球對稱問題，即 只與r，t有關而與無關，這時上面的波動方程變為：化簡整理為： 亦即： 將ru看成未知函數，則由一維波動方

7、程有于時：其中是任意的二次可微函數下面討論一般情況：由于在空間一點處給以擾動，波就會給以為中心的各射線方向以相同的速度傳播。考慮函數在以為中心，以為半徑的球面上的平均值。當M固定時，只是r和t的函數。設為上任意一點，對任意在求面上的平均值為：其中：是沿的曲面面積元，在球坐標系中于是現證明滿足一維波的方程對方程在球面所形成的閉球面上作積分利用Gauss公式有：而即：兩邊對r求導得：同除以r有：這說明服從一維波動方程。故：為了求上式兩邊先對r求導即：兩邊對t求導有：令得 即又當t=0時，以at代r, 并注意到上式即為三維波動方程Cauchy問題的Possion公式,其中：例1：利用Poisson公式求下面的解解：根據Poisson公式 例2：求解下面初值問題解法1；此處，故有注意到從而有方法2：由于定解問題（1）（3）是線性的，故由疊加原理，可令 4使分別滿足如下的定解問題 ； ；于是由達朗貝爾解法有3.5推遲勢計論具有零值初始條件的有源空間波問題1.推遲勢：欲述這一問題的解，可采用沖量原理，即先求無源問題：的解，于是原問題的解為而 則 引入變量代換：則表示在以M為中心，at為半徑的球面上的變點稱為推遲勢。推遲勢的物理定義：欲求M