1、1非齊次泊松過程非齊次泊松過程復合泊松過程復合泊松過程主講人：張建軍主講人：張建軍2015.5.012一、泊松過程的定義一、泊松過程的定義二、齊次泊松過程二、齊次泊松過程三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程四、復合泊松過程四、復合泊松過程3 一、泊松過程的定義一、泊松過程的定義 泊松過程是一類較為簡單的時間連續狀態離泊松過程是一類較為簡單的時間連續狀態離散的隨機過程。散的隨機過程。 一種累計隨機事件發生次數的最基本的獨立一種累計隨機事件發生次數的最基本的獨立增量過程。增量過程。4一、泊松過程的定義一、泊松過程的定義u泊松過程是由法國著名數學家泊松（泊松過程是由法國著名數學家泊松（Poisson

2、, Simeon-Denis）（）（17811840）證明的。）證明的。 u1943年年C.帕爾姆在電話業務問題的研究中運用帕爾姆在電話業務問題的研究中運用了這一過程。了這一過程。u辛欽于辛欽于50年代在服務系統的研究中又進一步發年代在服務系統的研究中又進一步發展了它。展了它。5二、齊次泊松過程二、齊次泊松過程1.齊次泊松過程的定義齊次泊松過程的定義： 稱計數過程X(t)0為具有參數0的泊松過程，若它滿足下列條件：X(0)=0;X(t)是獨立、平穩增量過程;在任意長度為t的區間內，事件A發生的次數服從參數0的泊松分布，即對任意s ,t0，有PX(t+s) -X(s)=n= ,n=0,1,2-(

3、)!ntten6二、齊次泊松過程二、齊次泊松過程解釋：l獨立增量過程：是指在每一個時間段內事件A發生的次數是相互獨立的。l平穩增量過程：是指計數過程N(t)在(t,t+s) 內(s0)，事件A發生的次數N(t+s)-N(t) 僅與時間差有關，而與時間段的起始時間無關。因此，齊次泊松過程是平穩增量過程且EX(t)=t。由于 單位時間內事A發生的平均個數，故稱為此過程的速率或強度。EX(t)t7二、齊次泊松過程二、齊次泊松過程齊次泊松過程的解釋：l稱計數過程X(t)，t0為具有參數0的泊松過程，若它滿足下列條件：X(0)=0;X(t)是獨立、平穩增量過程;X(t)滿足下列兩式： PX(t+h) -

4、X(t)=1=ho(h), PX(t+h) -X(t)=2=o(h).l以上定義說明，在充分小的時間間隔內，最多有一個事件發生，而不能有兩個或兩個以上的事件同時發生。也就是說，要么事件發生一次，要么事件不發生。這是泊松過程的核心概念。8三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程l例例: 設電話總機在早晨8時接到的電話呼叫數為20個；8時至11時接到的電話呼叫數線性增加，接到的電話呼叫數為50個;11時至15 時保持平均到呼叫數不變; 15時到18時接到的電話呼叫數線性下降,到18時為20個。接到的呼叫在不相重疊時間間隔內是相互獨立的,求9時至11時有30個呼叫數的概率9三、非齊次泊松過程三、非齊次泊

5、松過程l從這個例子可以看出，它符合泊松過程，即符合獨立增量過程，且在充分小的時間間隔內，最多只有一個事件發生，而不能有兩個或兩個以上的事件同時發生。但是，和齊次泊松過程比有一個條件變了，不再是常數了。l在齊次泊松過程的討論中，由于對齊次過程做了時齊的假設，其均值函數 E（Xt）=t 與t成正比，但是現實生活中不可能所有的事情都按齊次泊松過程發生，因此引入了非齊次泊松過程。10三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程l非齊次泊松過程的定義： 稱計數過程X(t)，t0為具有強度函數(t)非齊次泊松過程，若它滿足下列條件：X(0)=0X(t)是獨立增量過程;X(t)滿足下列兩式： PX(t+h) X(t

6、)=1=(t)ho(h), PX(t+h) X(t)2=o(h). 在這里，定義與齊次泊松過程相比，出現了微小的變化。11三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程l首先，X(t)不再是平穩增量過程。也就是說，計數過程N(t)在(t,t+s)內(s0)，事件A發生的次數N(t+s)N(t)不僅與時間差有關，而且還與時間段的起始時間有關。l其次，定義公式里不再是泊松過程的強度，也就是說數學期望不再是E X(t)= t，而出現了(t)，叫做強度函數。l因此，引入累積強度函數的概念:0( )( )tts ds12三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程 下面我們將從均值函數的層面解釋非齊次泊松過程與齊次泊松過

7、程的不同之處：l在齊次泊松過程中，由于齊次性，即它的平穩增量過程，過程的強度為，因此，在（s ，ts）內，其均值為t。l在非齊次泊松過程中，由于非齊次性，即強度函數的為（t），因此： 在（0 ，t）內，均值為 在 內，均值為：l因此，在 內，均值為0( )( )tts ds0()( )ttts ds t(0,)tt( ,)t tt()( )( )ttttts ds t13三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程l在齊次泊松過程中，事件A在(s ，ts)內發生n次的概率P為：PX(t+s) X(s)=n= ,n=0,1,2l其中，t為數學期望，即均值。l因此，可以想象，在非齊次泊松過程中，事件A在

8、內發生n次的概率P為： lP=-()!ntten( ()( )- ()( )!kttttttek( ,)t tt14三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程證明：對t0,h0及非負整數n， 定義則由獨立增量性和和非齊次泊松過程的定義知，對任意s0，有( , )(-)ph tp XXnntht0(, )(-0)t h stp h s tp XX (-0) (-0)t htt h st hp XXp XX 0( , )1- () - ( )p h tth s o s15三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程于是用s除上式兩端，并令s0得由非齊次泊松過程的定義知，以上偏微分方程滿足下列初始條件000(,

9、)-( , ) -( , ) () - ( )p h s tp h tp h tt h s o s00( , )- ()( , )ph tth ph th4.1 0(0, )1pt 4.2 16三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程利用初始條件（4.2）式，對（4.1）積分得對于n1,由獨立增量性和非齊次泊松過程的定義知，對任意s0,有-( )-()-( )0( , )thtx dxthtph tee4.3 17三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程(, )(-)nt h stp hs tp XXn (-) (-0)t htt h st hp XXn p XX (-1) (-1)( )t htt

10、h st hp XXnp XXo s -1( , )1- () - ( )( , ) ()( )nnp h tth s o sph tth so s18三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程于是，用s除上式兩端，并令s0得(, )-( , )nnp hs tp h t-1- ()( , )()( , )( )nnth sp h tth sph to s-1( , )()( , )-( , )nnnp h tthph tp h th4.4 4.5 19三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程若令 ,則當n=0時，（4.5）式就變為（4.1）式，即（4.5）式對任意非負整數n均成立。下面利用生成函數法求

11、偏微分方程組（4.5）的解。令-1( , ) 0p ht 0( , , )( , )nnnG h t zph t z4.6 20三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程對每一n=0、1、2，將（4.5）式兩端乘以Zn，然后對n求和即得 對(4.7)式積分得( , , )()( -1)( , , )G h t zthzG h t zh4.7 ln( , , )-ln(0, , )( -1)( )t htG h t zGt zzx dx 4.8 21三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程l由非齊次泊松過程的定義知l于是1,00,1 2.(0, )nnnpt、0(0, , )(0, )1nnnGt zpt

12、 z4.9 4.10 22三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程由（4.8）式及(4.10)式得-( -1)( )( , , )t htzx dxG h t ze()-( )-()-( )zt htt htee-()- ( )0 ()-( )!nt htnnthtezn4.1123三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程將（4.6）式與（4.11）式比較得定理證明完畢。-()-( ) ()-( )( , )!nt htnthtph ten4.12 24三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程l關于非齊次泊松過程的幾個實例：l例例: 設某路公共汽車從早晨5時到晚上9時有車發出。乘客流量是：5時按平均乘客2

13、00人/時計算；5時至8時乘客平均到達率線性增加，8時到達率為1400人/時；8時至18 時保持平均到達率不變；18時到21時從到達率1400人/ 時按線性下降，到21時為200人/時。假定乘客數在不相重疊時間間隔內是相互獨立的，求12時至14時有2000人 來站乘車的概率，并求這兩小時內來站乘車人數的數學期望。25三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程解: 將時間5時至21時平移為0到16時,依題意得乘客到達率為：乘客到達率與時間關系如圖所示.200400 ,03= 1400,3t131400400(13),1316tttt 1400200133（t）16t26三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松

14、過程由題意,乘客數的變化可用非齊次泊松過程描述. 從知：在12時至14時有2000名乘客到達的概率12時至14時有2000名乘客的數學期望是97(9)-(7)14002800ds2000-28002800 (9)-(7)20002000!pe (9)-(7)2800E 27三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程例例: 某商店每日8時開始營業，從8時到11時平均顧客到達率線性增加，在8時顧客平均到達率為5人/時，11時到達率達最高峰20人/時。從11時到13時，平均顧客到達率維持不變，為20人/時，從13時到17時，顧客到達率線性下降，到17時顧客到達率為12人。假定不相重疊的時間間隔內到達商店的

15、顧客數是相互獨立的，問在8：30到9:30無顧客到達商店的概率是多少，在這段時間內到達商店的顧客數學期望是多少？28三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程解: 將時間8時至5時平移為0到9時,依題意得顧客到達率為：乘客到達率與時間關系如圖所示.55 ,03=20,3t5202(5),59tttt20553（t）9t29三、非齊次泊松過程三、非齊次泊松過程由題意,顧客的變化可用非齊次泊松過程描述. 從知：在0:30時至1:30時無顧客到達商店的概率概率8:30至9:30有2000名乘客的數學期望是321231(1:30)-(0 :30)( )-( )(55 )1022t dt 0-10-10(10

16、) (1:30)-(0:30)00!pee(1:30) -(0 :30)10E 30四、復合泊松過程四、復合泊松過程l在人們的日常生活中，泊松過程往往不是單獨存在的。l比如顧客到商店，不會只是在商店轉一圈，往往會購物(當然，進去轉轉不買也是有的)。 生產線的機器壞了，維修的時候會有維修費用。 參加保險公司的醫療保險人生病，保險公司會對其作出賠償等。l這一系列的泊松過程都會有累積的事件參雜在其中。如果我們能夠將這些累積的事件和泊松過程聯系起來，找出一定的規律，也許就能成為解決某些生活規律的工具。例如，算出商店一天的營業額，生產線一年的機器維修費用，保險公司的預備賠償金的存儲額等。l因此，可以看出

17、，前面多考慮的泊松過程，并未涉及到“泊松過程質點”的大小，確定這些泊松過程質點的累積效果的隨機過程及其概率結構是有實際意義的。31四、復合泊松過程四、復合泊松過程l下面我們引入復合泊松過程的定義： 定義3.5 設N(t),t0是強度為的泊松過程，Yk,k=1,2,是一列獨立同分布隨機變量,且與N(t),t0獨立, 令 則稱X(t),t0為復合泊松過程 。( )1( ),0N tkkX tY t32四、復合泊松過程四、復合泊松過程l例例: 設N(t)是在時間段(0,t 內到某商店的顧客人數，N(t),t0是泊松過程.若Yk是第k個顧客在商店所花的錢數,則 Yk,k=1,2,是獨立同分布隨機變量序

18、列,且與N(t),t0 獨立。 記X(t)為該商店在(0,t 時間段內的營業額,則 是一個復合泊松過程.( )1( ),0N tkkX tY t33四、復合泊松過程四、復合泊松過程l例例: 令X(t)表示在時間段(0,t)內抵達某港口船舶的艘數，他們到達的時刻為 012n 在通常情況下，X=Xt，t0,是一個泊松過程，在時刻n到達的船舶的載貨噸數為Yn是一個隨機變量，若要考慮(0,t)內抵達該港口船舶的總載重噸數Zt，則需要研究隨機過程( )1( ),0,X tnnZ tY t 34四、復合泊松過程四、復合泊松過程l定理定理3.6 設是復合泊松過程,則(1) X(t),t0是獨立增過程;(2)

19、 X(t)的特征函數為 式中gY(u)是隨機變量Y1的特征函數,是事件的到達率.(3)若 ,則 EX(t)=tEY1,DX(t)=tEYI2( ) 1( )( )t gY ugX t ue21E Y35證明：(1)令0t0t1tm ,則由于Yk,k=1,2,是一列獨立同分布隨機變量, 所以X(t)具有獨立增量性。(2) ( )( )0|iuX tiuX tngX tE eEeN tn P N tn()() 1( )-(-1)kkN tkkii N tX tX tY 1-0()|!nkniuYktntE eN tn en1-0()!nkniuYktntE een1-00()()( )exp!nk

20、nniuYknttnnttgr ueE eenn36由條件期望的性質EX(t)=EEX(t)|N(t)及假設知：所以，類似的， ( )111( ) |()|()NtiinniiiiiEXtNTnEYNtnEYNtnEYnE Y 11|E X tE E X t N tE N t E YtE Y 1122111 () DXtEN t DYD N t E YtD YtE YtEY（）37四、復合泊松過程四、復合泊松過程l復合泊松過程由一列隨機變量Yn的和而構成， 當Yn1時,X(t)=N(t)，X(t)即為通常的泊松過程。l復合泊松過程的定義要求,分析具體問題時，首先要確定一個泊松過程與一個隨機變量

21、序列，然后要驗證隨機變量序列以及隨機變量序列與泊松過程的獨立性。只有在這些條件都具備后，方可對該問題進行處理或計算.38四、復合泊松過程四、復合泊松過程l例例: 設移民到某地定居的戶數是一泊松過程，已知平均每周有2戶定居。設每戶的人口數是一隨機變量，而且一戶有4人的概率為1/6，有3人的概率是1/3,有2人的概率為1/3，有1人的概率是1/6。且知各戶的人口數相互獨立。求0,t周內到該地定居的移民人數的數學期望與方差。39四、復合泊松過程四、復合泊松過程l解: 記Yi為第i戶的人口數,Yi相互獨立,移民總人數 X(t)= 是一復合泊松過程. 依題意,=2. EY1=41/6+31/3+21/3

22、+11/6=5/2; EY12=421/6+321/3+221/3+121/6=43/6; 所以, EX(t)=tEY1=2t5/2=5t; DX(t)=tEY12=2t43/6=43t/3.( )1N tiYi40四、復合泊松過程四、復合泊松過程l例例: 考慮保險公司準備支付保險總金額的金錢儲備。 假設保險單持有者在時刻012n 死亡；家屬索取的的保險金額Yn. Yn相互獨立，都服從U1500-2000均勻分布。 假設X（t）表示0t時間段內人的死亡數量。 X（t）為=3的齊次泊松過程。保險公司準備 的保險金額Zt=求復合泊松過程的EZ(t), DZ(t)( )1X tnYn41四、復合泊松過程四、復合泊松過程解：由題意知，=3由概率論可