1、圓錐曲線解題十招全歸納招式一：弦的垂直平分線問題2招式二：動弦過定點的問題 4招式四：共線向量問題6招式五：面積問題13招式六：弦或弦長為定值、最值問題 16招式七：直線問題20招式八：軌跡問題24招式九：對稱問題30招式十、存在性問題33招式一：弦的垂直平分線問題例題1、過點T(-1,0)作直線I與曲線N : y =興交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E(Xo,O)，使得. ABE 是等邊三角形，若存在，求出X。；若不存在，請說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設直線丨：y = k(x 1)， k 尸0， A(x-|, y1)， B(x2, y2)。由 yk(x 1)消 y

2、 整理，得 k2x2 (2k2 -1)x k0y x由直線和拋物線交于兩點，得2242.：=(2k -1) -4k = -4k 10即 0 : k2由韋達定理，得:2k2 -1旨 X22 ，X1X2 二 1k則線段AB的中點為(2k2-112k線段的垂直平分線方程為:21 1 “1 -2k2y(x -2kk2 )令y=0,得X0 厶2k22k21，貝V E(丄一丄,0)22k2 27 ABE為正三角形,E(水-1,。)到直線AB的距離d為23 AB23八45口2k2 1 k22k解得k39滿足式此時13X0【涉及到弦的垂直平分線問題】這種問題主要是需要用到弦 AB的垂直平分線L的方程，往往是利

3、用點差或者韋達定理產生弦AB的中點坐標 M，結合弦AB與它的垂直平分線 L的斜率互為負倒數，寫出弦的垂直平分線L的方程，然后解決相關問題，比如：求L在x軸y軸上的截距的取值范圍，求L過某定點等等。有時候題目的條件比較隱蔽，要分析后才能判定是有關弦AB的中點問題，比如：弦與某定點D構成以D為頂點的等腰三角形(即D在AB的垂直平分線上)、曲線上存在兩點 AB關于直線 m對稱等等。例題分析 1已知拋物線y=-x2+3上存在關于直線 x+y=0對稱的相異兩點 A、B，則|AB|等于f yX2 ：卜 3 解:設直線AB的方程為y=x，b，由=x2，x，b-3二0= x. x2 - -1 ,進而可求出 A

4、By = x + b11112的中點m b)，又由M b)在直線x y二0上可求出b = 1 ,二x x-2 = 0，由弦2 22 2長公式可求出 |AB = J1+12 J12 4x(2) =3渥.例題2、已知橢圓C :解：（I）由已知橢圓a =2,則得c 、3,b =1。從而橢圓的方程為x27 y=1（II ）設 M （知 yj， Ng, y2），直線AM的斜率為則直線AM的方程為y = k/x 2），由”2 人（：+2）消 y整理得（1+4k；）x2x 4y =416k2X 16k； -4 = 0： -2和為是方程的兩個根,2-8k；c16K2-4 血-2x1- 2 貝 y X-2， y

5、11 +4k121 +4k122冬，即點M的坐標為（彳型2 ,冬）,1 4k21 4k2 1 4k2同理，設直線 A2N的斜率為k2，則得點2N的坐標為（墜2 , 4k務）、1+4k； 1 + 4k；:yp 二&(t 2), yp 二 k2(t -2).& -k2k1k2-，:直線MN的方程為:ty 一 y2 - X2 _ x-1X _X!令y=0,得X嚴八x1y2，將點5 72N的坐標代入，化簡后得:招式二：動弦過定點的問題2222 = 1(a b 0)的離心率為a b且在x軸上的頂點分別為Ai（-2,0）,A 2（2,0）。（I）求橢圓的方程；（II ）若直線丨：x =t

6、（t . 2）與x軸交于點T,點P為直線I上異于點T的任一點，直線 PAi,PA2分別與橢圓交于 M、N點，試問直 線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結論（“，即 V4又,t 2，02丁橢圓的焦點為tMN過橢圓的焦點。招式三：過已知曲線上定點的弦的問題2 2例題4、已知點A、B、C是橢圓E： U 上=1 (a b 0)上的三點，其中點 A (2. 3,0)是橢圓的右頂 a b點，直線BC過橢圓的中心0,且0，如圖。(I)求點C的坐標及橢圓E的方程;(II)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得直線PC與直線QC關于直線X=j3對稱，求直線PQ的斜率。解: (I):=2，且BC過橢圓的中心OPC的方程

7、為:9k2 -18k -3 9k2 +18k3xp -xq =36k3(1 3k2)3(1 3k2)3(1 3k2) kPQ1Xp Xq 3yp -yQ.0C = AC vaLbc =0 N ACO =扌又；A (2 J3,0) 點 C 的坐標為(J5, J5)。v A (2.3,0)是橢圓的右頂點，.a = 2 3，則橢圓方程為:2 2$ ”1將點C('、3,、3)代入方程，得b2 =4，橢圓E的方程為2 2124(II) 丫 直線PC與直線QC關于直線x »3對稱,-設直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，從而直線y、3=k(x3)，即 y 二 kx ,3(1-k)

8、，由 y 二kx 3(1 _k)消 y,整理得:2 2x 3y -12=0(1 3k2)x2 6 .3k(1 -k)x 9k2 -18k -3 = 0 ： x 二 3 是方程的一個根,22十即 xp，k3(；83kk；)3同理可得:x9k3(118-3=kx，3(k) kx - .3(1 k) = k(x XQ)-2.3k =12k 2J3(1 +3k )招式四：共線向量問題1如圖所示，已知圓C : （x 1） y =8,定點A（1,0）,M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上,且滿足AM =2AP,NP AM = 0,點N的軌跡為曲線 E.I）求曲線E的方程；II）若過定點F （0, 2

9、）的直線交曲線E于不同的兩點G、H （點G在點F、H之間），且滿足FG二 FH，求，的取值范圍解：(1) AM =2AP,NP AM =0.二 NP 為 AM 的垂直平分線，二 |NA|=|NM|又 |CN | NM |=2、2,. |CN | AN | = 2.2 . 2.二動點 N 的軌跡是以點1 2223得(k2)x2 4kx 3=0. 由：0得 k2設 G(x1, y-i), H (x2, y2),2 2則 x-X2-4k1 k22-8k3r7(1),X1X2 二口221 2k2 又 FGFH ,(X1, y1 - 2) = '(X2, y2 - 2)x - x2,X1J ?X

10、23232k223(1 2k2)k24 :2133()31161vzg解得11又 0 ： ： 1,1.3又當直線GH斜率不存在，方程為x = 0,FGFH , =-3311-< <1,即所求，的取值范圍是-,1）332:已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在 x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y二丄x2的焦點，離心率42 5為 （ 1）求橢圓C的標準方程；（2）過橢圓C的右焦點作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于m 點，若mAhaf, mb=?；-2BF ，求證：i 2 - -io.2x =4y，其焦點為(0,1),2 2解：設橢圓C的方程為冷爲=1( a > b > 0

11、)拋物線方程化為a b則橢圓C的一個頂點為c(0,1)，即 b=1 由 e-aa2b22、52 a2, a -5，橢圓C的方程為2xy -1 (2)證明:5X1XX2x，所以 I V 122(X1 X2)=一102X2 x24-2(論 + x2) + XjX2'2X1右焦點F(2,0)，設A(xi, yi), Bg, y2),M (0, y。)，顯然直線l的斜率存在，設直2線I的方程為 y =k(x -2)，代入方程x y2 =1并整理，得52 2MA = (X1, % -y°),2、22220k20k 5(1 5k )x -20k x 20k 5=0 x-i x22 , X

12、jX2亍又1+5k21 + 5k2TTTMB = (x2 , y2 - y0 ) , AF = (2 - X1, - y1 ) , BF = (2 - x2, - y2),l r T I , T而 MA = A)AF, MB =BF，即(x1 £y1-yd= ,x-"，(x2-0, y2- y°) = '-2(2 x2, y2)3、已知 OFQ的面積s=2i6,且OFFQ二m。設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過 Q,6 2 -|OF | = c,m = (1)c ,當|OQ|取得最小值時，求此雙曲線方程。42 2解：設雙曲線方程為 篤-與=1 , Q (X

13、), y。)。a bFQ =(x。-c,y。),1 廠.4yf6Sofq=| OF | y0 |= 2 i 6 , y0 ：2 c 6 2 OF FQ = (c,O)(x0 -c, y0) =c(x0 c)= (1)c = x4OQ = 丫 Xoy22涪+斧2鹿,當且僅當3TV'即 c=4 時,|OQ| 最小，此時 Q(®6)或(6g，所以2丄-12 . 2 1a b => <a2 +b2 =162ab2_ 422-.故所求的雙曲線方程為1。=124 12類型1 求待定字母的值2例1設雙曲線C:篤a-y2 =1(a 0)與直線L: X+y=1相交于兩個不同的點 A

14、、B ,直線L與y軸交5于點P,且PA= PB，求a的值12設A、B兩點的坐標，思路:將向量表達式轉化為坐標表達式，再利用韋達定理，通過解方程組求的值。解:設 A(xi,yi), B(X2,y2),P(0,1)'5 -T pA=/PB,. (Xi,yi557 兀(“2-。冷=/2.x y = 1聯立 x22，消去 y 并整理得，(1 a2)x2+2a2x 2a2=0 (*)T A、B是不同的兩點，二F21 -a - 0,4a4 8a2 (1-a2)0,a 0<a<2 且 a = 1.于是2a2X1+X2=21 - a且 X1 X2=-12a22 ，a即 17 X212空T,

15、且-X221 - a 122* 2，消去X2得,1 -a2 a22892 = ，-a 6017廠17二 a= ,. 0<a< 2 且 a = 1, a a= - °1313類型2求動點的軌跡例2如圖2 ,動直線y = kx 1與y軸交于點A ,與拋物y2=X - 3交于不同的兩點 B和C,且滿足BP=入PC AB=入AC,其中R.。求 POA的重心Q的軌跡。入獲得重心思路：將向量表達式轉化為坐標表達式，消去參數Q的軌跡方程，再運用判別式確定實數k的取值范圍，從而確定軌跡的形狀。解：由丿y = kx +1222得，k x +(2k 1)x+4=0.y =x_3設 P(x&#

16、39; ,y,' B(xi, yi), C(X2,y2),(圖則 X1+X2=上竺，X1X2=tk2k2由 BP = PC 二.(x - y - yj = (X2 - x , y2 - y )(X -1) = '(X22-1) = x1=X2。、 c x"-X1 X2 -x": " 0 二=二X1x22x1x2x1 x281 -2k設重心1= j1 -2k 1 -2k消去 k 得，x2 y ' 6=0(*)Q(x,y)，則xX =3=.y 1yPx = 3x，代入(*)式得，3x 6y 4=0。y =3y -11 因為-丄21 48:k 且

17、k = 0= 4 ： x ：12且x =8x ： 4且x -3 34 8故點Q的軌跡方程是3x 6y 4=0 ( < x < 4且x式),其軌跡是直線 3x 6y 4=0上且不包括點3 3448 2A( ,0), B(4, ),C(,)的線段 AB。3 33 3類型3證明定值問題例3已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于 A、B兩點，OA OB與a =(3,-1)共線。設M為橢圓上任意一點，且 0M = 0AOB，其中廠一 R.思路：設A、B、M三點的坐標，將向量間的共線關系、和差關系轉化為代數關系，再利用方程組、 韋達定理、點在橢圓上滿足

18、方程等證明定值。2 2解:設橢圓方程為 篤-與=1(a b 0), F (c,0).則直線AB的方程為a2b2y二X - c.代入橢圓方程中，化簡得,2,2、22222,2小(a b)x -2acx ac -ab 0.設 A(xi,yi)，B(x2,y2)，則 x1X2c22222a ca c -a b2,X1X2 = a ba2 b2由 OA 0B 與 a =(3,-1)共線,OA OB =(xX2, % y2)得,3(力y2) (X1X2) =0。又 y1 =捲c,y2 =X2 -c,3c 陽 2a c.3(X1 X2 _2c) (X1 X2) =0,. X1X2，即 222 a +b笙

19、a=3b2.2而 c2 =a2 -b2,于是 a2 =3c2,b22 2因此橢圓方程為 二 與=1,即X23b b3y2 =3b2.設 M(x, y),由 OM = OA 0B 得,(x, y) =?；.(人,yj ：(X2, y2),.x = Xr 亠 | x2且 y = y 1 y2.因M為橢圓上一點，所以(X<|亠匚X2 )2亠3( y_j iy2)2 = 3b2.2222222即九(X1 +3y1 ) + 卩(X2 +3y2) +2入卩(X1X2 +3y1 y2)= 3b2 2 2 23c 23 221 2a c a b 3 2又 x1 x2, a c , bc , x1 x22

20、2 c .222a2 b28則 x1x2 3yjy2 = XjX2 3區-c)(x2-c) = 4xjX2 -3化 x2)c 3c2= -c2 -9c2 3c2 =0.而 X12 3y/ =3b2, x?2 3y?2 =3b2,2 2代入得，2：=2=1 ,，2：=2為定值。類型4探索點、線的存在性1例4在厶ABC中，已知B( 2, 0), C(2, 0), AD丄BC于D , ABC的垂心H分有向線段 AD 所成的比為 丄。3設P(- 1,0), Q(1,0),那么是否存在點 H，使一,成等差數列，為什么?|HP|PQ|HQ|思路：先將AC丄BH轉化為代數關系，由此獲得動點 H的軌跡方程；再

21、將向量的長度關系轉化為代數(坐標)關系，通過解代數方程組獲解。解：設 H(x, y),由分點坐標公式知 A(x,皺)3 (2,4y)(x2,y)= 0 ,3 AC 丄 BH ,整理得，動點H的軌跡方程為2 2U143(廠0)。?HP ,(x 1)2 y2 ,IPQF2,|HQ F (x-1)2丄丄|HP| |HQ|1 112假設成等差數列，則|HP|PQ| |HQ|PQ|1(x 1)2 y2、:1(x -1)2y2 H 在橢圓上a=2, b=.3, c=1 , P、Q 是焦點,HP +HQ =2a=4，即二 J(x十1)2 + y2 + J(x _1)2 + y2 = 4 由得，.(x 1)2

22、 y2 * (x -1)2y2 二(x 1)2y2. (x -1)2y2 =4 聯立、可得，J(x+1)2+y2 =J(x-1)* =2 ,2 2 X =o,y h=3顯然滿足H點的軌跡方程 丄=1 ,4 3一 111 故存在點 H （0, ±/3），使 .,.,.成等差數列。|HP| |PQ|HQ|類型5求相關量的取值范圍例5給定拋物線C: y2 =4x，F是C的焦點，過點F的直線I與C相交于A、B兩點，且FB二 AF,4,9 1,求I在y軸上截距的變化范圍。思路：設A、B兩點的坐標，將向量間的共線關系轉化為坐標關系，再求出I在y軸上的截距，利用函數的單調性求其變化范圍。解：設 A

23、（x1,y1）， B（X2,y2），由 FB = ' AF 得，（x? T, y?） = ' （1 十），即x2 -仁丸口-捲）亠亠白2-22丿金由得，y2 =丸如$2 = 一紹1 y 1 = 4x，討2= 4x：，X：=丸x。聯立、得，X：=九。而：0 B（ 上."1）,或B（ 2、）.當直線I垂直于x軸時，=1,不符合題意。巴在-4'91上遞減的,因此直線 I 的方程為（ -1）y =2、 （x -1）或（ -1）y =2（x -1）.直線I在y軸上的截距為 & 或-.由 九一1 九一1 九一1 -12 2存在、向量例6、雙曲線。：-當=心0,b0

24、的右頂點為A，x軸上存在一點Q 2a,0，若C上a b存在一點P使AP _ PQ,求離心率的取值范圍 。解：；PA_PQ. P點的軌跡 方程為22 _ a4，f 2 22 22.2即 y2 = _x2 +3ax 2a2 (x 式 a且x 式 2a)。由 <b x -ay =a b 2，消去 y 得y =x +3ax2a.2 22222. 22 .2 2342. 2b x -a3ax -2a a b = 0即 a b x -3a x 2a -a b = 0x-aa2 b2x-a2a2 -b20, x = a, x = a 3a 2 C = ac”a,解得心于2 2P在雙曲線 篤 與二1的右

25、支上，xa,. aa b定值問題例7： A,B是拋物線y2 =2px(p - 0)上的兩點，滿足 OA_OB ( O為坐標原點)，求證：(1)A,B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積分別是定值；(2)直線AB經過一定點。2 2 2 2 分析：(1 )設 A(x“ yj, Bg, y2)，則 yi p%, y? =2px尹(yy) =4卩軌JIf*OO又由 OA _OB= OA OB =0二 x/2 y,y2 = 0 = x1x4p , %y2 = 4p y-y2p(x-x2 Ka廠忌二代直線 AB 的方程為 y _ % = 2 p (x _xj= y = 2 p x _ 2 px1y1* 和2力 +

26、 y2% + y?2=y1 2pX y1y2=(x_2p)，故直線過定點(2p,0)。y1 y2y1 y2% y2招式五：面積問題2 2例題1、已知橢圓C:篤爲=1 (a> b>0)的離心率為-,短軸一個端點到右焦點的距離為.3 oa b3(I)求橢圓C的方程;:'3(n)設直線I與橢圓C交于a、b兩點，坐標原點 o到直線I的距離為，求 aob面積的最大值。2解：(I)設橢圓的半焦距為 c,依題意 c6亍.b",a = 3,2.所求橢圓方程為y2=1。3(n)設 A(x1, yj , B(x2, y2)。 (1)當 AB 丄 x 軸時,設直線AB的方程為y = k

27、x m。由已知lm 二乜，得Tvnk2 2AB = , 3 o ( 2)當AB與x軸不垂直時,m2 = 3(k21)o4把y二kx m代入橢圓方程，整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 - 3 = 0 ,T+X2=，X,"害AB j + k2)(+凸耗喻S3k2 13k2 112(k2 1)(3k2 1 -m2)3(k2 1)(9k2 1)12k2(3k2 1)2123423(k = 0)(3k1)9k4 6k2 1 9k2 丄 6k22 1當且僅當9k22，即k2k 一仝時等號成立。當k=0時,3AB =73 ,綜上所述ABmax =2 o二當AB最大時， AOB面積取最大值

28、刈AB2max2 22X2、已知橢圓C:右.2a b=1(a> b > 0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為3 .(I )求橢圓C的方程；(n )設直線I與橢圓C交于A、b兩點，坐標原點O到直線I的距離為仝,燈AOB面積的最大值.2卜'、6解：(I)設橢圓的半焦距為 c，依題意=，a 31 ,.所求橢圓方程為a - 3,(n)設 A(xn yj , B(X2, y2). (1)當 AB 1 x 軸時，AB =3 . ( 2)當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程為y二kx m 由已知lml.1 k22二3，得 m2 二 3 (k2 1).4把y =kx m代入橢圓方

29、程，整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 -3=0 ,-6km.x-i x2廠3k2 123(m -1)X1X23k212 2=(1 k )(X2 -X1)=(1k2倍-勢12(k21)(3k2 12 2 (3k1)m2)3(k21)(9k2 1)2 2(3k1)2c12k2c= 3423.9k4 6k2 19k2 J_ 6k212(k=0) < 3124.2x3 + 6當且僅當9k2 -丄，即k二丄3時等號成立.當k=0時,k23AB = J3，綜上所述 AB max = 2 . 3- 3X=max 22 2故 X。y0 1,二當AB最大時， AOB面積取最大值 |AB22 23

30、已知橢圓亍十1的左、右焦點分別為F1 , F2 .過F1的直線交橢圓于B, D兩點，過F2的直線交2 2 橢圓于A, C兩點，且AC 一 BD，垂足為P . (I)設P點的坐標為(X。，y0)，證明：匹西：1 ；32(n)求四邊形 ABCD的面積的最小值.解：(I)橢圓的半焦距c -.匸2 =1，由AC 1BD知點P在以線段F,F2為直徑的圓上,x2 y21001(n) (i)當BD的斜率k存在且k = 0時，BD的方程為y=k(x，1),2 2 22代入橢圓方程=1，并化簡得(3k2 2)x2 6k2x 3k0 設 B(x1, y1), D(x2, y2)，則3 2x1 x2 乎,1 2 3

31、k223k2 _6XlX2 _3k2 2BD| = Ji +k»xi _X2 = J(1 +k2£(X2 +X2)2 4X1X2 = 4代k +1)；3k221因為AC與BC相交于點P，且AC的斜率為一丄，所以, k1四邊形ABCD的面積S=Kbd|AC|24(k2 +1)2 (3k22)(2k2AC =4 ； 32 ''12Ik2丿 4V3(k +1)132 2k22k23當k2 =1時，上式取等號.-(k21)2963)(3k22)(2k23) 225J 2 J(ii)當BD的斜率k = 0或斜率不存在時，四邊形 ABCD的面積S = 4 .96綜上，四

32、邊形 ABCD的面積的最小值為 96招式六：弦或弦長為定值、最值問題1、已知 OFQ的面積為2、. 6 , OF FQ（1）設6 <m <4, 6，求.OFQ正切值的取值范圍;-1）c2當|0Q|取得最（2）設以0為中心，F為焦點的雙曲線經過點 Q （如圖），|0F |=c,m =小值時，求此雙曲線的方程。解析：（1）設.OFQ|0F| |FQ|cos(二一巧二m1 |0F| |FQ |sin v -2 .6 tan 二一豪6 乞 m W、6-4 < ta n 八：-141(a .0,b 0),Q(x1,y1),則睫(ycy)b2（2）設所求的雙曲線方程為篤a- S ofq

33、=|0F I |y十2花,-1 c2又 OF FQ.m，- OF FQ= (c,0)(X1 c, yj =(X1 c) c =-X16 c, | OQ | = x2 y；二4當且僅當c=4時，|0Q|最小，此時Q 的坐標是（，/6,、, 6）或（、, 6, - 6）a2 b222a b =16亠叮4b2 =122 2x y，所求方程為1.4122 22、已知橢圓x -1兩焦點分別為4Fi、F2, P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足PFi PF2=1，過 P作傾斜角互補的兩條直線 PA、PB分別交橢圓于 A、B兩點.（I）求P點坐標；（H）求證直線AB的斜率為定值；（川）求厶PAB面積的最大值.

34、2 y。),解：(I)由題可得 Fi(0,、2), F2(0-、2)，設 Po(xo,y°)(x° 0, yo 0)則 PFi =(-x°, 2 2PF1 =(-心 - ' 2 -y°) , PF1 PF? =x0 -(2 -y0) =1 , v 點 P(x°, y°)在曲線上，則 葺 普=1，4242- X： =2，從而 號0 -(2 -£)=1，得 y° f；2 .則點 P 的坐標為(1, . 2).(H)由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設PB的斜率為k(k . 0)，則BP的直線方程為：y_、

35、.2k(x_1).y 時'2 =k(x -1)由 2y2得(2+k2)x2 +2k(Q_k)x +(運 _k)24=0，設 B(Xbb)，貝U1 : XB2 2) , Xb = 二亠，同理可得XA=1k2 k2 k2 k2 k2，I寸 入A22 k2 kyA -yB 二 *(Xa -1) -k(xB -1)8kT .所以：AB 的斜率 kAB 二空 空一2 為定值.2+kxa-xb|y = 2x m(川)設 AB 的直線方程：y = J2x +m .由彳 x2 y2，得 4x2 +2J2mx +m2 -4 =0 ,x u y _12 N由 =(2f2m)2 16(m2 4) >0

36、，得2J5cmc2J5 P 到 AB 的距離為 d =聖，111 2| m |1 921 .m - m 亠8、2則 s血ab =2|AB 1 d =2寸(4 gm ) 3 虧=<8m (m +8)刊8(2)=燈2。當且僅當m='2“. 2、22、2取等號三角形 PAB面積的最大值為、2。2x 23、已知橢圓y =1的左焦點為F, O為坐標原點。2(I)求過點0、F,并且與橢圓的左準線I相切的圓的方程；(II)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與 X軸交于點G,求點G橫坐標的取值范圍。解: (I) ：a2 =2,b2 =1, c =1,F(-1,

37、0),丨：x=2.：圓過點O、F,.圓心M在直線x二-丄上。21設2”,則圓半徑1、2丄22'i由OM“得J (冷"二-,解得2t二一-2 所求圓的方程為(x )2 (y 一、2)222=1,整理得(1 2k2)x2 4k2x 2k2 - 2 =0.(II)設直線AB的方程為y =k(x - 1)(k =0),代入 y22T直線AB過橢圓的左焦點 F,.方程有兩個不等實根。記 A(x“ yj, B(X2, y2), AB 中點 N (x。，y。)， 則花 x?二4k22k2 1-AB的垂直平分線 NG的方程為y-y。=-2(x-Xo).k1解: （1）設點 M 的坐標為（x,

38、 y） , / kAM kBM =y 1 y1 T Ix x1 x2 .整理，得2 宀（），（2）如圖，由題意知直線|的斜率存在，設I的方程為x = sy 2 （s =二2）將代入2X 21y 1,22 2 22kkk11Xg 二 x。 ky。2222.令y=0,得2k 1 2k 1 2k 12 4k 2 .點g橫坐標的取值范圍為:k = 0,xG : 0,21（2°）.4、已知點A,B的坐標分別是（0, -1） , （0,1）,直線AM , BM相交于點M ,且它們的斜率之積為-丄.（1）2求點M軌跡C的方程；（2）若過點D 2,0的直線I與（1）中的軌跡C交于不同的兩點 E、F

39、（ E在D、O為坐標原點）.F之間），試求 ODE與.ODF面積之比的取值范圍（整理，得（s2 2）y2 4sy 0，由:0，解得 s2丨亠4s卜 一齊,設 E My , F X2,y2，則21S t|OB y1令&= S®BE =Sobf !ob y2，且 0 ： 1.y2（% y2）2YiY2s2 2輕（4,8）且u,s223解得 3 -2、2 ：3 2 2 且1 i *0 ： ： 1 ,31.32 2 ： ' ： 1 且.；.=3故厶OBE與厶OBF面積之比的取值范圍是3-2、2,丄 J 】,1 .3322y x2 2 =1（ a b 0）5、已知橢圓C1: a

40、 b的右頂點為A（1,0），過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.（I）求橢圓C1的方程;2 一（II）設點P在拋物線C2 :廠x h（ R）上，C2在點P處的切線與C1交于點M，N .當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求 h的最小值.b =12丄 + X2 = 1所求的橢圓方程為4,卜匚1八（b=T解析：（I）由題意得 a2(II)不妨設M(,y1),N(X2-y2),P(t,t +h)-則拋物線C2在點P處的切線斜率為y2 2 2 2MN的方程為y =2tx -th，將上式代入橢圓C1的方程中，得4x ' (2tx -1 h) - 4 = 0，即C1有兩個不同的交點，所以有4

41、 1 t2 " -4t(t2 -h)X (嚴h)2 _4 =0，因為直線 MN 與橢圓 i =16t4 2(h 2)t 2-h2 40設線段MN的中點的橫坐標是 X3，則X32x1x2t(t - h)222(1 t2)設線段PA的中點的橫坐標是 x4，則2=(1 h) -4_0,. h _1 或 h 3 ；t 122 ，由題意得x =X4，即有t (1 h)t 0，其中的.'：當h< -3時有h 2：0,4：0，因此不等式"=16_t2(h 2)t -h 40不成立；因此2h -1,當h =1時代入方程t (1 h)t 0得t 一1,將h JUT代入不等式M

42、-16 -t4 2(h 2)t2 -h2 40» 中丄1成立，因此h的最小值為1.招式七：直線問題2 2例題i、設橢圓C:篤 爲-i(a b 0)過點MC、2,i)，且著焦點為Fid,。)a b(I)求橢圓C的方程;(n)當過點P(4,1)的動直線I與橢圓C相交與兩不同點 代B時，在線段AB上取點Q，滿足Ap lQB i AQ i PB，證明：點q總在某定直線上解由題意:'c2 =22 ii ，解得a2 =4,b2 =2，所求橢圓方程為a b2 2 2c ab(2)方法一2 2x y i42設點 Q、A、B 的坐標分別為(x, y),(xi, yi),(X2, y2)。由題設

43、知AP , PB , AQ,QB 均不為零，記PBQBP，B，Q四點共線，從而AP PB,AQQB從而%，x2i - 為"：x2i i _ yi _，y2-i -wyi y2y =又點=4x，(1)2yiiB在橢圓C上，即Xi2 2yi2 =4,| 川(3)2X22y；=4,|川(4)(i) + (2) X2 并結合(3) , (4)得 4s+2y =4即點Q(x,y)總在定直線2x，y-2=0上方法二設點 Q(x, y), A(Xi, yj, B(X2, y2)，由題設,又p,a,q,b四點共線，可設PA=：-A3,PB品(，=o一 1),于是Xi4 -，x i - y 二L,yi

44、4：. lx 1 ： ； yX2 二(1)(2)由于A(Xi, yi), B(X2, y2)在橢圓C上，將(1), (2)分別代入C的方程x2 2y2=4,整理得2 2 2(x 2y -4)' -4(2x y-2).；，-14 = 0(3)2 2 2(x 2y -4) 4(2x y -2)： 14 = 0(4) - (3)得8 ( 2( y - 2 )=0.= 0,. 2x y - 2 = 0即點Q(x, y)總在定直線2xy-2=0上2、已知曲線:上任意一點P到兩個定點R -、3,0和F2 .3,0的距離之和為4. (1)求曲線丨的方程;(2)設過0, -2的直線I與曲線'交

45、于C、D兩點，且OCOD.0 ( O為坐標原點)，求直線I的方程.解：(1)根據橢圓的定義，可知動點M的軌跡為橢圓，其中a = 2, c二諄3，則b = a2 -c2 = 1 .2所以動點M的軌跡方程為 y2 = 1.4(2)當直線I的斜率不存在時，不滿足題意.當直線l的斜率存在時，設直線I的方程為y二kx-2，設C(X1, yj , D(X2 ,y2), ： OC OD = 0W2 y2 = 0 .y kx 2 , y kx 2 ,2.y1y2 二 k x-i x2k(x.| x2) 4 2(1 k )X1X2 -2心為X2) 4=0 .由方程組42y =1,= kx_2.1 4k2 x2

46、-16kx 12=0 .則 x1 x2, x1 x2企，代入，得1 21+4k2121 +4k21216k1 k22 -2k2,4=0 .即 k2 =4，解得，k =2 或 k =-2 .*1+4k21+4k2所以，直線I的方程是y=2x-2或y=2x-2 .x223、設F1、F2分別是橢圓y =1的左、右焦點。4(I)若P是該橢圓上的一個動點，求 PF1 PF2的最大值和最小值;(n)設過定點M(0,2)的直線I與橢圓交于不同的兩點A、B，且/ AOB為銳角(其中0為坐標原點)，求直線I的斜率k的取值范圍。解：(I)解法一：易知 a =2,b =1,c3 所以 F, -3,0 ,F2 .3,

47、0，設 P x, y，則PR PF2 - -1.3 - x, -y , .3 - x, -y = x2y -3 =x?13 3x - 84 4因為1-2,2 1,故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，PF1 PF2有最小值_2當x=2，即點P為橢圓長軸端點時， PF1 PF2有最大值1解法二：易知 a=2,b=1,c、3，所以 Fi -.3,0 應、3,0 ，設 P x, y，則PF? PF = Pf1 Pf2 cos F1PF24_x、.齊 y2 x -齊 y2-12 ：=x2 y2 - 3 (以下同解法一)(n)顯然直線x = 0不滿足題設條件,k2 1 x2 4kx 3 = 0I 4丿可設

48、直線 I : y 二 kx-2, A Ny , B X22 ,y 二 kx2聯立x2，消去y，整理得:一 + y2 = 1 .4.丄4k3-人 X2必 X2 ：k21k2 144f 11J3J3由 一（44廠十k2®0 得: k<y 或 k-y又 00 ： A0B : 90° = cos A0B 0 = OA OB 0/. OA OB 二 x1x2 y2 0X yy2 H(kx1 +2 * kx2 十 2Tk2x1x2 +2k(x1 +X2 )+4>ax®2AkAMAk<2lk2I±2 亠k4招式八：軌跡問題軌跡法：1直接法：如果動點運

49、動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，不需要 特殊的技巧，易于表述成含 x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法；例1、已知直角坐標系中，點Q (2, 0)，圓C的方程為X?1，動點M到圓C的切線長與 MQ的比等于常數(0)，求動點M的軌跡?！窘馕觥吭OMN切圓C于N，貝U MN2x2 y2 -1 -，. (x -2)2 y22 2 2 2 2化簡得(-1)(x y ) x (14 ) = 05(1)當，=1時，方程為x，表示一條直線。4(2)當/. -1時，方程化為(x -2九$ 2 -11 32表示一個圓。 如圖，圓O1與圓02的半徑都是1,01。2=4 過動點P分別作圓02、圓02的切線PM , PN ( M ,N分別為切點)，使得PM二2PN 試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程【解析】以O1O2的中點0為原點，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則。1(-2,0) , 02(2,0).由已知 PM =.$2PN，得 PM2 =2PN：因為兩圓半徑均為1 ,所以2 2PO-2 -1 =2(PO； -1) 設 P(x , y),則2 2 2 2(x 2) y 1 =2(x -2)y -1,即(x6)2 - y2 =33.(或 x2 y2 -12x 3=0)評析：1、 用直接法求動點軌跡一