1、 §9.3 Laplace 逆變換 將實系數真分式 F ( s = P ( s / Q( s 化為部分分式 第 附： 九 章 2. Q(s 含多重一階因子的情況 拉 普 拉 斯 變 換 P( s P2 ( s m -1 = A0 + A1 ( s - a + L + Am -1 ( s - a + ( s - a m , Q2 ( s Q2 ( s P( s P (a 令 s = a , 即得 A0 = = , Q2 ( s s = a Q2 (a 兩邊逐次求導，并令 s = a , 即得 1 dk æ P( s ö (k = 1 , 2 , L, m - 1 .

2、 ç ÷ Ak = k k! d s è Q2 ( s ø s = a 21 §9.3 Laplace 逆變換 將實系數真分式 F ( s = P ( s / Q( s 化為部分分式 第 附： 九 上面討論了 Q( s 含單重和多重一階因子的情況，如果是 章 拉 普 拉 斯 變 換 在復數范圍內進行分解，這兩種情況已經夠了。 但如果僅在實數范圍內進行分解，這兩種情況還不夠。 由于實系數多項式的復零點總是互為共軛地成對出現的， 即如果復數 z = a + jb 為 Q( s 的零點，那么它的共軛復數 z = a - jb 也必為 Q( s 的零點

3、。 因此，Q( s 必含有(實的 2 2 二階因子 ( s - z ( s - z = ( s - a + b . 下面需進一步討論含實二階因子的情況。 22 §9.3 Laplace 逆變換 將實系數真分式 F ( s = P ( s / Q( s 化為部分分式 第 附： 九 章 3. Q(s 含單重二階因子的情況 2 2 若 Q(s 含單重二階因子 ( s - a + b , 即 拉 普 Q( s = ( s - a 2 + b 2 Q3 ( s , 拉 P( s C ( s - a + bD P3 ( s 斯 = + 則 F ( s = 2 2 2 2 變 Q3 ( s ( s

4、 - a + b Q3 ( s ( s - a + b 換 2 2 ( s - a + b , 得 將上式兩邊同乘以 P3 ( s P( s ( s - a 2 + b 2 , = C ( s - a + bD + Q3 ( s Q3 ( s P (a + jb = jbC + bD , 令 s = a + jb , 有 Q3 (a + jb 23 §9.3 Laplace 逆變換 將實系數真分式 F ( s = P ( s / Q( s 化為部分分式 第 附： 九 章 3. Q(s 含單重二階因子的情況 P (a + jb = jbC + bD , 拉 令 s = a + jb , 有 Q3 (a + jb 普 拉 1 P (a + jb 1 P (a + jb 斯 D = Re . , 則 C = Im b Q3 (a + jb b Q3 (a + jb 變 換 C ( s - a + bD 求出系數 C 和 D 后，則 2 2 的逆變換不難得到： (s - a + b -1 C ( s - a + bD a