1、歐陽地創(chuàng)編2018西交數(shù)模第一次模擬賽時間：2021.03. 04創(chuàng)作：歐陽地歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編數(shù)學(xué)建模論文首頁選題 A隊伍編號696班級學(xué)號姓名隊長錢學(xué)森73班2173714071孔令輝隊員1錢學(xué)森73班2171311098楊崢隊員2電氣642160400092李佳航018 年230 日摘要本題針對一種二維CT獲取樣品內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息的工作方式及成像原理，意在通 過借助已知結(jié)構(gòu)樣品進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，消除系統(tǒng)誤差，而后對未知結(jié)構(gòu)的樣品進(jìn)行 成像，得出該未知介質(zhì)的相關(guān)信息。問題一中，要求通過標(biāo)立模板的相關(guān)，確立CT系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心、探測器單元 之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的1

2、80個方向。本文利用標(biāo)立模板幾何參 數(shù)，通過條數(shù)、以及探測器單元間距相等等信息，首先計算出探測器單元之間的 距離為0,2778mm.根據(jù)X射線與標(biāo)左模板的幾何特性，以橢圓短軸所在宜線為x 軸，長軸所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，得旋轉(zhuǎn)中心在所建立的坐標(biāo)系中的坐 標(biāo)為 I 。最后通過近似確立X射線180個方向的旋轉(zhuǎn)角度具有髙度線性相關(guān)性，根據(jù)部分確定數(shù)據(jù)擬合出整體旋轉(zhuǎn)角度。前十五組旋轉(zhuǎn)角度為：29.6493 31.0027 31.5572 32.6476 33.6795 34.6478 35.6483 36.6490 37.647538.6486 39.6488 40.6491 41.6487 4

3、2.6497 43.6492問題二中，要求通過已求得的標(biāo)泄參數(shù)，確定未知介質(zhì)在正方形托盤中的位 置、幾何形狀和吸收率等信息，并具體給岀所要求十個位宜的吸收率。本文依據(jù) CT層析成像原理，利用逆拉東變換作出重構(gòu)圖像，并利用Excel中數(shù)據(jù)分布計算出 原位置介質(zhì)的相關(guān)性質(zhì)。所求十個位置的吸收率為：序號12345吸收率0.01850.9701-0.00011.17031.0287序號678910吸收率1.44251.2815-0.0074-0.00250.0194問題三中，與問題二計算方法相勺以得十個位置的吸收率為：序號12345吸收率0.07362.53057.13270.03320.8015序號

4、678910吸收率3.14875.57140.05308.13620.0272問題四中，要求對問題一q】的標(biāo)怎模型為上行改進(jìn)以減、誤差并增加穩(wěn)左性，本文利用在問題一求解過程中遇到的問題進(jìn)行思考，首先適半增大模板減小偶然誤 差，其次做出投射圖像后應(yīng)容易找到極值，并且圖像應(yīng)有一立的對稱性；圖像掃 描后應(yīng)盡量少地得出重復(fù)數(shù)據(jù)。關(guān)鍵詞：CT層析成像Radon變換與逆變換吸收率MATLAB算法1.問題重述1.1問題背景應(yīng)用ng yongPAGE2羽構(gòu)造 ient in parabolic problemsJ.PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAG

5、E2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE3PAGE3PAGE3PAGE3PAGE3PAGE3PAGE3CTComputedTomography）可以

6、在不破壞樣品的情況下，利用樣品對射線能量的吸收特性對生物組織和工程材料的樣品進(jìn)行斷層成像，由此獲取樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。1.2相關(guān)信息本題介紹了一種二維CT系統(tǒng)，平行入射的X射線垂直于探測器平面，每個探 測器單元看成一個接收點，且等距排列。X射線的發(fā)射器和探測器相對位置固左 不變，整個發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固龍的旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)180次。對每一個X射 線方向，在具有512個等距單元的探測器上測疑經(jīng)位宜固左不動的二維待檢測介 質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過增益等處理后得到180組接收信息。并且，為 消除安裝誤差，需要對安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，即借助于已知結(jié)構(gòu)的樣品 （稱為模板）標(biāo)肚CT系統(tǒng)的參

7、數(shù)，并據(jù)此對未知結(jié)構(gòu)的樣品進(jìn)行成像。題目附件 中提供了標(biāo)定模板的幾何信息，接受信息，待測介質(zhì)的接收信息以及圖3所給位 宜的相應(yīng)數(shù)據(jù)。1.3需要解決的問題13.1問題一在正方形托盤上放苣兩個均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)左模板，模板的幾何信息如 圖2所示，請根拯這一模板及英接收信息，確泄CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中 的位置、探測器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的180個方向。1.3.2問題二附件3是利用上述CT系統(tǒng)得到的某未知介質(zhì)的接收信息。利用第一問中得到 的標(biāo)泄參數(shù)，確左該未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置、幾何形狀和吸收率等信 息。另外，請具體給出圖3所給的10個位置處的吸收率。13.3問題三

8、利用給出上述CT系統(tǒng)得到的另一個未知介質(zhì)的接收信息。利用第一問中得到 的標(biāo)定參數(shù)，給岀該未知介質(zhì)的相關(guān)信息。另外，請具體給出圖3所給的10個位 置處的吸收率。1.3.4問題四分析第一問中參數(shù)標(biāo)泄的精度和穩(wěn)立性。在此基礎(chǔ)上自行設(shè)汁新模板、建立 對應(yīng)的標(biāo)定模型，以改進(jìn)標(biāo)立精度和穩(wěn)定性，并說明理由。圖1CT系統(tǒng)示意圖圖2模板示意圖（單位：mm）圖310個位置示意圖2 問題分析一 4).5 可MTVYV/£卜、IOO21問題一分析結(jié)合圖2和附件1表中數(shù)據(jù)，可以首先計算出CT系統(tǒng)探測器個數(shù)和模板長度 度量的比值，運用程序2.1可以得岀模板的幾何形狀如圖2.1.1,可大致認(rèn)為它是 對稱的。對于附

9、件2,由于對180個方向尚無淸晰地認(rèn)識，首先用同樣的方式做 出數(shù)據(jù)分布圖2.1.2,觀察到圖像比較平滑，因此認(rèn)為按表格的順序180個方向是 相鄰較密、不錯位的。（圖中有色區(qū)域表示該點有吸收率，藍(lán)色部分表示吸收率大于100)*«|V'zii（r 必型 «3qx» wftiw >»“ maw 工j«t）muidi saw m«xh» >4 a b 快W 折 0 ED J ' / a o 、e 心 X 電 Dta 口25020D15010050050100 W 2002303003QC450400350

10、3002tX）150,00K 100 120 140 160 180圖2.1.1附件1的數(shù)據(jù)分布圖圖2.1.2附件2的數(shù)據(jù)分布圖在圖2.1.2中易觀查到有一紅色條形圖案，這是在不同的方向掃描到圓形時留 下的，可以此為突破口首先求出探測器單元之間的距離。求出探測器單元之間的 距離與增益比率之后，可以根拯幾何關(guān)系，自己設(shè)立坐標(biāo)系并通過數(shù)學(xué)運算訃算 出旋轉(zhuǎn)中心。最后在建立的坐標(biāo)系內(nèi)，將待求解的180個旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)換成X射線 的斜率進(jìn)行數(shù)學(xué)運算。2.2問題二分析題目給出了未知介質(zhì)的接收信息，要求岀介質(zhì)的相關(guān)信息，可以搜索相應(yīng)的 數(shù)學(xué)模型，將附件中給岀的按照射線條數(shù)與旋轉(zhuǎn)角度列成的表格，一一對應(yīng)為相 應(yīng)坐

11、標(biāo)點的吸收情況，從而根拯各坐標(biāo)點的不同性質(zhì)，還原回該未知介質(zhì)的幾何 信息與吸收率等信息。2.3問題三分析問題三與問題二類似，可以大致看出數(shù)據(jù)分布更具有一般性，不容易描述岀 未知介質(zhì)的相關(guān)信息，可以通過圖形大致描繪出介質(zhì)相關(guān)信息。2.4問題四分析問題四要求分析題目所給的二維CT系統(tǒng)，設(shè)汁新的標(biāo)泄模板以提高原系統(tǒng)的 精確度與穩(wěn)定性。可以搜索相關(guān)資料，根據(jù)第一問的求解思路與求解過程，以規(guī) 避求解過程中因標(biāo)定模板自身性質(zhì)而岀現(xiàn)的誤差為原則進(jìn)行思路拓展，以設(shè)訃高 精度與穩(wěn)定性的標(biāo)定模板。3.模型假設(shè)假設(shè)在射線經(jīng)過介質(zhì)時能量只損失在介質(zhì)中，及不考慮衍射等現(xiàn)象；假設(shè)附件中所給岀數(shù)據(jù)是正確的、可以直接利用的；

12、假設(shè)旋轉(zhuǎn)中心在相鄰兩條射線的中間直線上：4模型的建立與求解4.1問題一模型的建立與求解4.1.1建立模型從題目中可以得出，由于x射線之間得間距相等，不管x射線怎么旋轉(zhuǎn)，穿 過托盤上圓的x射線條數(shù)應(yīng)該是大致相等的。可將穿過圓形標(biāo)圮模板的X射線與 模板建立模型示意圖如下：圖4.i.l.lX射線穿過圓形標(biāo)泄模板示意圖如圖4.2.1.2所示可以設(shè)穿過圓的在圓心兩旁的射線被圓所截的距離分別為 Xi，X2, x3和y】，y2> y3。求解旋轉(zhuǎn)中心時，以橢圓形標(biāo)泄模板短軸所在直線為X軸，長軸所在直線為 Y軸建立直角坐標(biāo)系，將托盤進(jìn)行劃分。由附件二的數(shù)據(jù)分布圖的不對稱性可 知，旋轉(zhuǎn)中心應(yīng)在對稱軸某一側(cè)，

13、大致確怎旋轉(zhuǎn)中心方位后，根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心兩側(cè) 探測器個數(shù)不變且同一探測器接收的與距旋轉(zhuǎn)中心的距離不變具體確左旋轉(zhuǎn)中心 的位置。求解X射線旋轉(zhuǎn)角度時，設(shè)穿過橢圓的最邊緣的射線到橢圓中心的距離為 R，取橢圓中心為原點，模板的對稱中心為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，X射線所在 直線的斜率為ko4.1.2符號說明d相鄰探測器之間的距離N對應(yīng)于圓形模板的射線條數(shù)或探測器個數(shù)R標(biāo)定模板的吸收率X處理數(shù)據(jù)時的增益率4>圓形模板的直徑4.1.3模型求解求探測器單元間距離：通過MATLAB編程求岀計算出的條形帶平均涉及探測器個數(shù)為匚三I,沿直徑方向上的平均吸收率巨可:由圖二圓形模板直徑,計算出探測器之間的平均距離：

14、探測系統(tǒng)平均增益率:求旋轉(zhuǎn)中心： 分析圖2.1.2可知，由于藍(lán)色區(qū)域僅分布在后部分角度范圍內(nèi)，因此估il旋轉(zhuǎn) 中心的位置在對稱軸的某一側(cè)，紅色區(qū)域分為兩部分時表示該角度下由兩部分射 線分別照射經(jīng)過橢圓形和圓形：為了討論方便，現(xiàn)對正方形托盤做出如下劃分：歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編簡單分析可知，如果旋轉(zhuǎn)點在I區(qū)域，則沿180個方向照射后不會出現(xiàn)射線 分成兩部分的情況；在II或III或IV區(qū)域，當(dāng)吸收率出現(xiàn)最大值的時候射線也被分 成兩部分，而不是像圖1.2那樣成為一部分，也排除：綜合各因素可判斷旋轉(zhuǎn)中 心應(yīng)該在V區(qū)域。因為發(fā)射-接收系統(tǒng)逆時針旋轉(zhuǎn)，且圖2.1.2中兩部分紅色區(qū) 域，間距縮小，說明旋轉(zhuǎn)之后在

15、垂直于發(fā)射-接收方向上二者的距離是縮短的，從 而確左旋轉(zhuǎn)中心在短軸的上半側(cè)，先運用Excel對附件二第1列數(shù)據(jù)作圖（即畫出 第一個方向上的掃描圖像）如圖4.1.3.2,發(fā)現(xiàn)此時得到兩部分圖像，說明兩模板 之間有一部分射線直接被探測器接收，直到第14列數(shù)據(jù)兩部分圖像結(jié)合在了一 起，如圖4.1.3.3。>3037303 60 03S00D43002003aoa圖4.1.3.3第14列數(shù)拯分布笫1列第14列圖4.1.3.2第一列數(shù)拯分布結(jié)合托盤的幾何特征，在垂直于對稱軸方向上應(yīng)該會岀現(xiàn)最大的吸收率，利 用MATLAB求得出現(xiàn)最大吸收率的方向為第151個方向，在此方向結(jié)合增益率得 出的模板長度為

16、匸進(jìn)一步驗證了結(jié)果：平行于對稱軸方向上最大的吸收率出現(xiàn)在沿對稱軸的直線上，計算得出為第61個方向，此方向的模板長度 匸三二1,也驗證了結(jié)果。根據(jù)極近似水平方向為第61方向、最大吸收率出現(xiàn)在235號探測器，極近似豎直方向為151方向、最大吸收率出現(xiàn)在 223號探測器，設(shè)旋轉(zhuǎn)中心到豎直軸、水平軸的距離分別為x,y。為求解還需要另一個方向的等疑關(guān)系，選取橢圓和圓的一條外公切線的方向,經(jīng)計算得岀經(jīng)橢圓與圓公切線所在直線的X射線為第372號射線。則在所建立 坐標(biāo)系內(nèi)，切線方程為：進(jìn)而列出二元方程組:解之得：因此旋轉(zhuǎn)中心在所建立的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為匸三Z1°求180個旋轉(zhuǎn)方向：由于x射線的發(fā)生裝置

17、是連續(xù)旋轉(zhuǎn)的，所以在512條射線中穿過模板的射線 條數(shù)應(yīng)該是連續(xù)變化的，所以用MATLAB編寫程序，計算每次旋穿過模板的x射 線條數(shù)，并畫岀圖像如圖4.1.3.4,300穿過模板艙It線條塗與旋蕓方向的關(guān)丟280260 240 200180 -160 140 -220 -020406080100120140160180淀轉(zhuǎn)次數(shù)120圖4丄3.4穿過模板射線條數(shù)隨旋轉(zhuǎn)次數(shù)變化曲線圖中橫坐標(biāo)為旋轉(zhuǎn)次數(shù)，縱坐標(biāo)為穿過模板的射線條數(shù)。從圖中可以看出附 表2中的數(shù)據(jù)是按照射線發(fā)射裝置旋轉(zhuǎn)的順序依次給岀的，而且可以看岀，180 次旋轉(zhuǎn)后裝宜共旋轉(zhuǎn)了 180度，每次旋轉(zhuǎn)的角度近乎相等。考慮到在前50次旋轉(zhuǎn)中

18、，穿過整個裝垃的x射線條數(shù)與穿過橢圓的條數(shù)相 等。設(shè)穿過橢圓的最邊緣的射線到橢圓中心的距離為R，取橢圓中心為原點，模板的對稱中心為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由于射線可以近似看成與橢圓和圓X，+ y2 = 2都相切，可以得到以下方程組：x2 + y2 =以y = /<% -f mX2152402歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編化簡以上方程組可得:歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編利用MATLAB編程得到圖像如圖4丄35所示90807060504030 20 111111!''05101520253035404550旋法次數(shù)圖4.1.3.5前50次旋轉(zhuǎn)角度變化曲線

19、用同樣方式得出最后而25組數(shù)據(jù)的圖像為：歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編3025 20 - 嚴(yán)矣角貢與旋無次數(shù)陀關(guān)系100 11111155160165170175180旋轉(zhuǎn)次數(shù)圖4.1.3.6后25次旋轉(zhuǎn)角度變化曲線從圖像中可以看出每次旋轉(zhuǎn)角度近似為1度。為了更加精確地訃算旋轉(zhuǎn)角度以便據(jù)此得到估算苴他角度地依據(jù)，本文設(shè)訃 了另外一種算法。從附表二中可以看出，前25組數(shù)據(jù)中穿過橢圓的射線與穿過圓 的射線沒有交叉，所以數(shù)據(jù)中換算岀來的最大吸收距離就是近似穿過橢圓中心的 射線被橢圓所截的距離，弦長公式為：2 2x y= 11524(/,y = kx m且這個距離由直線的斜率k唯一確定,已知k、m時可解得：12

20、00jk2 + 1-.1 = J152/c2 -m2 + 402152/c2 + 402所以用MATLAB編程計算得岀了較為精確的前15次旋轉(zhuǎn)角度的結(jié)果如下：29.6493 31.0027 31.5572 32.6476 33.6795 34.6478 35.6483 36.6490 37.6475 38.6486 39.6488 40.6491 41.6487 42.6497 43.6492可以看出，這些結(jié)果的線性相關(guān)性非常好，據(jù)此利用Excel進(jìn)行擬合，得到如下圖表：歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編旋轉(zhuǎn)角度與旋轉(zhuǎn)次數(shù)的關(guān)系O4歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編246810121416 1S旋轉(zhuǎn)次

21、數(shù)圖4.13.7旋轉(zhuǎn)角度與旋轉(zhuǎn)次數(shù)擬合公式從圖表中可以得出擬合公式為：y = °9938 + 28.718,相關(guān)系數(shù)為：0.9996根據(jù)擬合公式利用MATLAB編寫程序計算得出所有方向角度。4.2問題二模型的建立與求解4.2.1建立模型通過分析問題與附件數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，題目所給數(shù)據(jù)與介質(zhì)相關(guān)性質(zhì)的二維分 布具有對應(yīng)關(guān)系，X射線將介質(zhì)一條線上的性質(zhì)投影為一點。拯此，本文利用 radon變換與radon逆變換進(jìn)行運算，以通過投影后的訊號重建原始未知介質(zhì)相關(guān) 性質(zhì)的二維分布。該變換的上義為：令密度函數(shù)f(X)=f(x,y)是一個的疋義域為S 的緊致臺(compact support)t令R為

22、radon變換的運算子，則Rf(x,y)是一個定義在 回空間中的直線LoRf(Q 二 J f(X)|dX|其基本思想為：radon變換可以理解為圖像在空間的投影，空間的每一點對應(yīng)一條 直線，而radon變換是圖像像素點在每一條直線上的積分。因此，圖像中高灰度 值的直線會在空間形成亮點，而低灰度值的線段在空間形成暗點。對直線的檢測 轉(zhuǎn)化為在變換區(qū)域?qū)α咙c、暗點的檢測。Radon變換是一幅圖像在一個特泄的角度下的徑向線方向的投影，一幅圖像 的radon變換是每一個像素radon變換的集合。對于MATLAB中語句R = radon(l, theta),如果theta是一個標(biāo)量，R則是一個包含在the

23、ta的列向量。如果theta是 一個向量，R則是一個矩陣，矩陣的每一列是對應(yīng)其中一個theta的radon變換。 而radon變換的逆運算，就可以將CT系統(tǒng)對于每一直線上的X射線吸收率數(shù)據(jù)還 原回未知介質(zhì)的物理性質(zhì)。radon反變換的公式是：f(x, y) = / g(x cos 0 + y sin®, 8)ddJo該反變換操作比較簡單，思路淸晰，可以借助數(shù)學(xué)運算軟件計算。歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編4.2.2模型求解 在MATLAB上將附件2和附件3的數(shù)據(jù)導(dǎo)入，利用radon逆變換將附件中數(shù) 據(jù)重建未知介質(zhì)信息，得到圖像如圖422.1。5010015020025050 1001502002

24、50100 200 300100 200 300100200300100 200 J00100 200 300圖4.2.2.1 radon逆變換重建介質(zhì)圖像（1）為使逆拉東變換后得到的圖像與原圖像大小相等，在逆radon變換公式中取362條射線，每兩條射線相距0.2770所以得到的圖形長寬也為100,由第一問求 解得知，X射線從約29度位置開始旋轉(zhuǎn)，為消除重建模型與真實模型的旋轉(zhuǎn)角度 差異，將從29度逆radon變換得到的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel表格可得變換后圖像坐標(biāo)水平方向平移了 31 X 0. 2770 = 8. 587 ,豎直方向平移了22 X 0. 2770 - 6.094,所以將原圖中的坐

25、標(biāo)按上述數(shù)值平移就得到了變換后的坐標(biāo)。 從模板的逆radon變換產(chǎn)生的矩陣中可以發(fā)現(xiàn)，模板中所有點對應(yīng)的灰度都 近似為0.5,又由于模板的吸收率為1,所以相對比例近似為2。據(jù)此利用MATLAB編程可以算出圖中對應(yīng)十個點的吸收率如下表所示： 表422.1所求十點的吸收率（1）序號12345吸收率0.01850.9701-0.00011.17031.0287序號678910吸收率1.44251.2815-0.0074-0.00250.0194然后根據(jù)逆radon變換的結(jié)果，將得的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel表格，在不同范圍內(nèi)的數(shù)值 填充成不同顏色對不同吸收率的部分進(jìn)行色塊填充，得到結(jié)果如圖422.2所示。

26、再利用Excel表格中尋找各橢圓左點的坐標(biāo)，由于拉東變換中x射線之間的距離都 是0.2770,所以表格中兩組數(shù)據(jù)在實際物體上的距離也是0.2770。由100 - 0.2770 362得知表格取362組數(shù)據(jù)時，總長度與原圖基本相同，此時 可以長度為基礎(chǔ)，計算坐標(biāo)變換公式。根據(jù)前文坐標(biāo)變換的逆變換，用MATLAB編寫程序運算各色塊（由運算可得 徐色塊均為橢圓形）的坐標(biāo)及長短軸相應(yīng)數(shù)據(jù)。將問題二中數(shù)據(jù)進(jìn)行radon逆變 換后的圖像最低點在Excel行數(shù)和列數(shù)，將行數(shù)和列數(shù)乘以倍率0.2770即距離圖 像邊界的距離，由于第一個圖距離兩邊界的距離已知，可以得到平移的方向和距 離,具體結(jié)果如表4222所示

27、。圖4.2.2.2不同區(qū)域吸收率關(guān)系圖（"以每個橢圓中心的吸收率代表整個橢圓的吸收率則A, B, C, D, E, F的吸收率分別為：0、1.1870, 1.2914, 0、0.9877、1.0632o表422.2不同吸收率介質(zhì)在托盤中的位置、幾何形狀與吸收率橢圓編號ABCDEFx063.017546.259054.707540.580551.245048.3365yo33.101575.067071.189030.331553.184055.5385halfl11.19205.25577.08529.645422.68871.8478half26.11913.465312.8872

28、6.384539.53471.9439吸收率01.18701.291400.98771.0632其中X0、y0、halfl、half2分別表示橢圓中心橫縱坐標(biāo)和兩個半軸。數(shù)據(jù)均以左下 角的點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系求得。4.3問題三模型的建立與求解4.3.1建立模型與第二問類似，仍利用radon變換的思想建立模型，將空間每一條射線所投影的 點還原回一條直線，將數(shù)據(jù)合并后重建未知介質(zhì)的幾何性質(zhì)與吸收率。4.3.2模型求解將附件5的數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB,利用radon逆變換將附件中數(shù)據(jù)重建未知介質(zhì)信 息，得到圖像如圖4.3.2.1。10020030010020030010020030040050010

29、0 200 300 400 500100200300400500100 200 300 400 500圖4.3.2.1 radon逆變換重建介質(zhì)圖像（2）其中圖三圖四顯示完全，圖二圖四經(jīng)角度修正后得出。 為具體算岀所要求十個點的吸收率，將數(shù)據(jù)帶入MATLAB中運算后結(jié)果如下表所 示：表43.2.1所求十點的吸收率（2）序號12345吸收率0.07362.53057.13270.03320.8015序號678910吸收率3.14875.57140.05308.13620.0272根radon逆變換的結(jié)果，將得的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel表格，在不同范用內(nèi)的數(shù)值 填充成不同顏色對不同吸收率的部分進(jìn)行色塊填

30、充，得到結(jié)果如圖4.322所示。圖4.322不同區(qū)域吸收率關(guān)系圖（2）其中無色處吸收率為0,黃色吸收率為0到2,紅色為2到4,淺藍(lán)色為4到 6,綠色為6到8,紫色為8到9。從表格中大致取岀圖案中心，調(diào)用程序得到圖案中心在(51.2450, 47.9210) (若以橢圓中心為原點,則圖案中心在(1.2450, -2.0790)附近。4.4問題四的分析與求解：為了便于求相鄰探測器之間的距離，考慮最好仍選擇圓形模板，但是要適當(dāng) 增大圓形模板的半徑，從而減小偶然誤差：為了利用180次旋轉(zhuǎn)得到的投射圖像 求出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)，鑒于在原來的標(biāo)左模板中橢圓和圓的內(nèi)公切線的選擇有較 大誤差，新的模板中應(yīng)盡量使得

31、切線容易取得，且做出投射圖像后容易找到極 值，并且圖像應(yīng)有一泄的對稱性；圖像掃描后應(yīng)盡量少地得出重復(fù)數(shù)據(jù)，因此兩 個圖像差別應(yīng)較大：考慮到方便地識別投射位置以確左旋轉(zhuǎn)中心，應(yīng)至少設(shè)置兩 個模板且相互隔開。基于以上分析，設(shè)計出如下新模板：圖4.4.1新設(shè)計標(biāo)泄模板標(biāo)上方法：首先借助于圓形模板很容易求得相鄰探測器間距，利用對稱性， 更容易求得射線水平、豎直和一條傾斜方向的位程，因此用和第1問相同的思 路，此模板相對來說更能準(zhǔn)確地確定CT系統(tǒng)的參數(shù)。5. 結(jié)果的分析與檢驗5.1問題一結(jié)果分析與檢驗第一問求得的單元間距，旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角度與所搜集資料的實際值相差不大且 符合現(xiàn)實認(rèn)知，在運算旋轉(zhuǎn)角度時，

32、由于線性關(guān)系良好，可以印證旋轉(zhuǎn)中心與單 元間距計算誤差不大。5.2問題二結(jié)果分析第二問十個位置的吸收率計算，由于是直接由題目所給數(shù)據(jù)汁算得岀，結(jié)果較精 確，所得結(jié)果與逆radon變換所得圖形相對應(yīng)。在求解具體坐標(biāo)與幾何關(guān)系時， 通過Excel表格數(shù)據(jù)宜接訃算得岀，可能存在誤差，但由具體結(jié)果運用radon變換 檢驗后可以看出，基本符合題目所給數(shù)據(jù)。6. 模型的優(yōu)缺點分析第一問中求單元間距與解旋轉(zhuǎn)中心時利用了切線的特殊性質(zhì)，但切線的選擇不一 定準(zhǔn)確，因為射線寬度遠(yuǎn)小于探測器寬度且所用射線不一左恰好為標(biāo)眾模板切線 位置。從題目中可以得出，由于x射線之間得間距相等，不管x射線怎么旋轉(zhuǎn)， 穿過托盤上圓的

33、x射線條數(shù)應(yīng)該是大致相等的。根據(jù)附件二可以發(fā)現(xiàn)，前13組穿 過圓的x射線條數(shù)都是29條，由此可以粗略的計算出x射線之間的距離為 2R厲=0.2758歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編但是這種做法并不精確，因為在29條射線中最兩邊的x射線并不是與圓相切的, 為盡量減小誤差，本文利用圖4.1.1.1進(jìn)行誤差檢驗，則如下方程成立：歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編設(shè)模板的吸收率為P，第n個數(shù)據(jù)為上述方程可以轉(zhuǎn)化為:歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編利用MATLAB編程帶入多組數(shù)據(jù)求其平均值可得k = 1.7725,進(jìn)而求得 d = 0.2770.從這里可以看岀在圓兩邊的射線不管是否與圓完全相切，對結(jié)果

34、的影響不是很大，所以該建模方式可以使用7. 模型的改進(jìn)簡單地說第2, 3問根據(jù)逆radon矩陣求出坐標(biāo)值存在一泄的偶然誤差，計算 量大。而且本文的模型沒有考慮到噪聲等其他因素的影響，因此輸出圖像模糊有 光暈。為了得到清晰的圖像，可以進(jìn)行頻域濾波。首先二維傅里葉變換對為：F(Uj v)°°伽決 網(wǎng)）血創(chuàng)oo J-coF(uy 尹齊血 1 lrydudv歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編引入傅里葉切片立理，其中3是頻率分量:/oog(p咖伽叫 QQP OO f OO 廣 8II «f3/)da;cos0 + ysiii9 p)e i2nujpdxdydp 8 丿

35、 00 f QQOO POOcos 9 + ysin 9 p)e j2mdpdp dxdy00f g 廣8=/ f(x,y)e伽吩g的艸*)必創(chuàng)J_QQ /-OO=F(Q COS 0,3 sill 0)/ f(x.y)QQ J QQf oo這說明一個投影的一維傅里葉變換，是二維投影矩陣的二維傅里葉變換的一個切 片，執(zhí)行換元操作后，引入窗函數(shù)計算積分計算式并濾波，從而得到一個相對較 好的結(jié)果。參考文獻(xiàn)：工業(yè)CT技術(shù)劉豐林工業(yè)CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心左位方法研究 劉明進(jìn)附錄%程序2.1作附件1的數(shù)據(jù)分布圖axis equalfor i=l:256for j=l:256if(A(i,j)>0)plot

36、(j,257需嚴(yán))hold onendendend%程序2.2作附件2的數(shù)據(jù)分布圖for i=l:512forj=l:180if(AS(i,j)>0)if(AS(ij)>100)plot(j,513-i,'b)hold onelseplot(j,513，L)hold onendendendendhold off%程序13計算探測系統(tǒng)的增益率及探測器的平均距離ticd=ones(86,l)；%統(tǒng)訃圓模板對應(yīng)探測器的平均個數(shù) m=zeros(86,l);%統(tǒng)計圓模板對應(yīng)探測器的最大吸收率平均值 for i=l:14k=0;x=0;forj=374:430if(AS(j,i)&g

37、t;0)k=k+l;endif(AS(j,i)>x)x=AS(jJ);endendd(i)=k;m(i)=x;endfori=109:180k=O;x=O;forj=45:110 if(AS(j,i)>0) k=k+l;endif(AS(j,i)>x)x=AS(j,i);endendd(i-94)=k;m(i-94)=x;enda=mean(d)b=mea n(m)toe%程序1.4求出豎直射線近似方向d=zeros(180/l);k=0 forj=l:180 if(k<max(AS(:J) d(j)=max(AS(:,j); end end d fori=l:180

38、if(k<d(i) k=d(i)Iendend%程序1.5推出水平射線近似方向d=zeros(180,l)；u=1.7721;forj=14:109d(j)=max(AS(:,j);d(j)Jend%程序1.6根據(jù)你和公式用matlab編寫程序: th=zeros(l/180);fori=l:l:180th(i)=0.9938*i+28.718;endth計算得出所有的方向為：1至15列29.7118 30.7056 31.6994 32.6932 33.6870 34.6808 35.6746 36.668437.6622 38.6560 39.6498 40.6436 41.6374

39、 42.6312 43.625016至30列44.6188 45.6126 46.6064 47.6002 48.5940 49.5878 50.5816 51.575452.5692 53.5630 54.5568 55.5506 56.5444 57.5382 58.532031至45列59.5258 60.5196 61.5134 62.5072 63.5010 64.4948 65.4886 66.482467.4762 68.4700 69.4638 70.4576 71.4514 72.4452 73.439046至60列74.4328 75.4266 76.4204 77.414

40、2 78.4080 79.4018 80.3956 81.389482.3832 83.3770 84.3708 85.3646 86.3584 87.3522 88.346061至75列89.3398 90.3336 913274 92.3212 93.3150 94.3088 95.3026 96.296497.2902 98.2840 99.2778 100.2716 101.2654 102.2592 103.253076至90列104.2468 105.2406 106.2344 107.2282 108.2220109.2158110.2096111.2034 112.1972 1

41、13.1910 114.1848 115.1786 116.1724117.1662118.1600歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編91至105列119.1538 120.1476 121.1414 122.1352 123.1290124.1228125.1166126.1104 127.1042 128.0980 129.0918 130.0856 131.0794 106至120列132.0732133.0670134.0608 135.0546 136.0484 137.0422 138.0360139.0298140.0236141.0174 142.0112 143.0050 143.9988

42、 144.9926 145.9864146.9802147.9740148.9678 149.9616 150.9554 151.9492 152.9430153.9368154.9306155.9244 156.9182 157.9120 158.9058 159.8996 160.8934161.8872162.8810歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編136至150列163.8748 164.8686 165.8624 166.8562167.8500168.8438169.8376170.8314 171.8252 172.8190 173.8128 174.8066175.8004176.7942177.7880歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編151至165列178.7818 179.7756 180.7694 181.7632182.7570183.7508184.7446185.7384 186.7322 187.7260 188.7198 189.7136 190.7074191.7012192.6950歐陽地創(chuàng)編歐陽地創(chuàng)編166至180列193.6888 194.6826 195.6764 196.6702 197.6640 198.6578 199.6