1、、極坐標方程與直角坐標方程的互化1 .(本小題滿分10分)選修44:坐標系與參數方程.一一.一 .二,2在極坐標系下，已知圓O： P =cosH+sin日和直線l ： Psin(6 -)=42 '(1)求圓O和直線l的直角坐標方程;(2)當日三(0戶)時，求直線l與圓。公共點的一個極坐標.2.(選修44:坐標系與參數方程)已知曲線 C的極坐標方程是P = 2sin ,設直線l的參數方程是3-x = -t 254 .y = t5(t為參數)(1)將曲線C的極坐標方程轉化為直角坐標方程；(2)設直線l與x軸的交點是M , N為曲線C上一動點，求|MN|的最大值。3.(本小題滿分10分)選修

2、4 4:坐標系與參數方程已知曲線c的極坐標方程為p2 =Y6；4cos 1 9sin (1)若以極點為原點，極軸所在的直線為 x軸，求曲線C的直角坐標方程;(2)若P(x,y)是曲線C上的一個動點，求3x+4y的最大值。5 .(本小題滿分10分)選修44:坐標系與參數方程已知直線l經過點P(1,1),傾斜角a =-o6(1) 寫出直線l的參數方程；(2) 設l與圓/X2c°s* (B是參數)相交于兩點A、B,求點P到A、B兩點的距離之積y = 2sin 6 .(本題?it分io分)4 4(坐標系與參數方程)在直角坐標系 xOy中，以。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極方

3、程2 r cos -21，-rsin2(日為參數，r>0)(I)求圓心的極坐標；(n )當r為何值時，圓O上的點到直線Z的最大距離為3.6.(1)圓心坐標為(金設圓心的極坐標為（：,U）則=/（-爭2+（-爭2 =12分所以圓心的極坐標為 （1,）（2）直線l的極坐標方程為：(二 sinu避cosu)=222,直線l的普通方程為x + y _1 = 06分(1)(2)求曲線求直線C的普通方程；l被曲線C截得的弦長.二圓上的點到直線l的距離d| -、.2.2rsin(i) -1|即 d : 42' 2. 2r 1 -二圓上的點到直線l的最大距離為 3= 32-10 分7.（本小題滿

4、分10分）選修44:坐標系與參數方程選講已知直線l的參數方程為:（t為參數），曲線 C的極坐標方程為：P2cos20 =1 .7. (1)由曲線 C : 22 cos20 = P2(cos20 -sin2 6) =1,得P2cos26 P2sin219)=1,化成普通方程22. 一x y =1 5分（2）方法一：把直線參數方程化為標準參數方程x =2 1t2,，L(t為參數)3 .y = t2把代入得:,2整理，得t 4t -6=0設其兩根為t1,t2,則 tl +t2 =4,ti t2 =-68 分從而弦長為 |t1 _t2 |= J（t1 +t2）2 _4t1t2 =J42 _4（-6）=

5、聞=2聞.10 分方法二：把直線l的參數方程化為普通方程為y V3（ x -2）,22代入 x2 -y2 =1, ,一一 2 一 一 一 一 得 2x -12x +13 = 0 6 分設 l 與 C 交于 A(x1, x2), B(x2, y2)13則 x, + x2 = 6, % x2 = 8 分二| AB hA+3，J(x1 +x2)2 -4%x2 =2762 -26 - 2710.10 分. 一 、- x=1-2t1、（09廣東理14）（坐標系與參數方程選做題）若直線 （t為參數）與直線 4x + ky = 1垂直,y = 2 3t則常數k=.x = 1 - 2t373【解析】將

6、1;化為普通方程為 y = V x+2斜率k1 = y =2 3t222當 k#0時，直線 4x+ky=1 的斜率 k2 = 9，由 k1k2 = 3- 4- L -1 得 k = 6;k2. k37當k =0時，直線y = - x +與直線4x =1不垂直.22綜上可知，k = -6.答案 -6,x =1 t13、（天津理13）設直線11的參數萬程為 （t為參數），直線l2的方程為y=3x+4則I1與l2的距離y = 1 3t【解析】由題直線11的普通方程為3x 一 y 2 = 0 ,故它與與12的距離為|4 2| _3.10.105答案3.1054、（09安徽理12）以直角坐標系的原點為極

7、點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位。已知直線的極坐標方程為ix =1 2cos：日=(Pw R),它與曲線4y = 2 2sin 二（a為參數）相交于兩點 A和B,則|AB|二【解析】直線的普通方程為y=x,曲線的普通方程（x1）2+（ y2）2 =4TABW-嗝)2 際答案,16、（09海南23）（本小題滿分10分）選修44:坐標系與參數方程。已知曲線Cl：x - -4 cost,i(t為參數)，C2：y = 3 sint,x=8cosu,i( e為參數)。y =3sin '（1）化C1, c2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線; 若C1上的點P對應的

8、參數為t=', Q為C2上的動點，求 PQ中點M到直線x =3 2t,C3： <（t為參數）距離的最小值。y = -2 t2222x y解：(I) C1 :(x+4)2+(y 3)2 =1,C2 :豆 + j=1.Ci為圓心是（-4,3）,半徑是1的圓.C2為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是 8,短半軸長是3的橢圓.(n)當 t=|時，P(4,4).Q(8cos，3sin日),故M(2+4cos32+3sin日).C3 為直線 x-2y-7 =0,M 到 C3 的距離 d 14cos 日-3sin9 -13|.54.3 . 8 5從而當cos9 =,sin g = -時，

9、d取得取小值 555C.選修4 - 4:坐標系與參數方程-1Xit .t已知曲線C的參數萬程為tt （t為參數，t>0）.1 'y = 3（t 1）求曲線C的普通方程。【解析】本小題主要考查參數方程和普通方程的基本知識，考查轉化問題的能力。滿分10分。11y解 因為 x2 =t+2,所以 x2+2=t+-=上, tt 3故曲線C的普通方程為：3x2-y+6=0.O為極x軸，10、（09遼寧理23）（本小題滿分10分）選修44 :坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中，I點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為 pcos（8）=1, M,N分別為Cy軸的交點。（1）寫出C

10、的直角坐標方程，并求 M,N的極坐標；（2）設MN的中點為P,求直線 OP的極坐標方程。解（I）由 Pcos（日-）=1 得3從而C的直角坐標方程為（n） M點的直角坐標為（2, 0）N點的直角坐標為（0,"3）3所以P點的直角坐標為（1.爭，則P點的極坐標為（號3,6所以直線op的極坐標方程為 e=*,pw（*,e1 . （ 2008廣東理）（坐標系與參數方程選做題）已知曲線C1, C2的極坐標方程分別為PcosB =3 ,一一 I 一、一一 LP = 4cos 日！ P2 0,00 日 一,2則曲線C1與C2交點的極坐標為 答案（2、, 3,一）65. （ 2008寧夏理）已知曲

11、線G：（10分）選修4 4:坐標系與參數方程選講x=c0s9（日為參數），曲線G：y =sin 二2x二2.2廠石（t為參數）.（1）指出G, C2各是什么曲線，并說明 G與G公共點的個數；（2）若把G, C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C1', C2'.寫出C1 ' , C2 '的參數方程.Ci'與C2 '公共點的個數和 C1與G公共點的個數是否相同？說 明你的理由.解（1） Ci是圓，C2是直線.22Ci的普通方程為x +y =1,圓心Ci（0,0），半徑r =1 .C2的普通方程為x y+J2=0.因為圓心C1到直線x y

12、+J2 = 0的距離為1,所以C2與Ci只有一個公共點.（2）壓縮后的參數方程分別為& =cos 1G'：1(e為參數)；y = sin 2X 二立tr2,2C2 ： L、2 yFt（t為參數）.化為普通方程為： Cj x2+4y2=1, C2'：聯立消元得2x2+2J2x +1=0,其判別式 =(2j2)2 4父 2M1 =0 ,所以壓縮后的直線 C2與橢圓C；仍然只有一個公共點，和Ci與C2公共點個數相同.C :選修4-4:坐標系與參數方程2在平面直角坐標系 xOy中，設P（x,y）是橢圓 + y2 =1上的一個動點,3求S=x+y的最大值2C.解：由橢圓二+ y2

13、 =1的參數方程為3x = V3 cos 邛 y = sin 中（9為參數）,故可設動點P的坐標為（J3sin中,sin中），其中0 W5<2冗.因此，S =x + y = J3cos 中+sin 9 =2 3cos 中十1sin * =2sin 中+' L v 22)33 Jjr所以當邛=二時,弛得最大值2.61、（遼寧省撫順一中 2009屆高三數學上學期第一次月考）極坐標方程 P =cos e化為直角坐標方程為A. (x+ 工)2 +y2 =24C.x2 + (y- - ) 2 =24答案 D.B.x 2 + (y+ ) 2 =24D. (x- - ) 2 + y 2 =24

14、4、（ 2009廣州一模）（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，直線,冗、 、上Ep sin( e + )=2 被圓P =4截得的弦長為答案 4、.37、（ 2009廣東三校一模）（坐標系與參數方程選做題 ）極坐標方程分別為 P = 2cos8和P =sin e的兩個圓的圓心距為 答案,5"2"11、（2009東莞一模）（參數方程與極坐標選做題）在極坐標系中，點 （1,0 ）到直線P（cos6 +sin9 ） = 2的距離為.答案-2213、（ 2009江門一模）（坐標系與參數方程選做題）P是曲線x =sin n cos?y =1 -sin2r（日w0, 2n）是參數）上

15、一點,P到點Q（0 , 2）距離的最小值是答案n16、（ 2009茂名一模）（坐標系與參數方程選做題）把極坐標方程 PcoS（日一）= 1化為直角6坐標方程是.答案、.3x y -2 =022、（ 2009韶關一模） 在極坐標系中，圓心在（J2,n）且過極點的圓的方程為.答案：=-2、."2 cos25、（ 2009深圳一模）（坐標系與參數方程選做題）在直角坐標系中，曲線 C1的參數方程為x = cosHy =sin 8日w 0產,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C2在極坐標系中的方程為- bP =-右曲線Ci與C2有兩個不同的交點，則實數 b的取值范圍是sin【-cos?答

16、案 1Mb :二 228、（ 2009湛江一模）（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，若過點A（3,0）且與極軸垂直的直線交曲線 P = 4cos于A、B兩點，則|AB|=.答案 2.3JI41、（ 2009廈門一中）（極坐標與參數方程）已知直線l經過點P（1,1）,傾斜角3 =一 設|與曲線6x =2cos。( 6為參數)交于兩點 A, B ,y =2sin i求點P到A,B兩點的距離之積解直線的參數方程為冗x = 1 tcos6,即JIy =1 tsin 一6x =132y =1 1t2曲線的直角坐標方程為22x +y =4,把直線x=1 蟲t2 代入 x2 + y2 =4y =1 -1

17、2得(1(1 1t)2 =4,t2 (3 1)t -2 =02垃2 = -2 ,則點P到A,B兩點的距離之積為42、（2009廈門二中）（極坐標與參數方程）已知直線l的參數方程:x = 2t -(t為參y = 1 +4t數），圓C的極坐標方程：P=242sin日+ i,試判斷直線l與圓 【4 JC的位置關系.解 將直線l的參數方程化為普通方程為： y = 2x +1 22將圓C的極坐標方程化為普通方程為：（x1） +（y-1）從圓方程中可知：圓心 C （1, 1）,半徑r = J2所以，圓心C到直線l的距離d =2 1-11.22(-1)22.543、所以直線l與圓C相交.（2009廈門集美中

18、學）（極坐標與參數方程=sin1=cos2-過點（0,2）的切線方程.y = 1.x =sin日，y =1-2sin2 8 ,消去參數 日得2x2設切線為y = kx +2 ,代入得2x2 +kx +1 = 0令& =k2 8 =0,得 k =±2d2 ,故 y =±22x+2即為所求., 一 ，一2 一，解得a2b - 21 - 2a - 2或 y =-4x ,設切點為(a,b),則斜率為 4a =即得切線方程44、（ 2009廈門樂安中學）（極坐標與參數方程）在極坐標系中，設圓P=3上的點到直線fcose+J_3 si n尸 的距離為d ,求d的最大值.22 一

19、解 將極坐標方程 P=3轉化為普通方程：x +y =9P （cos 日 + £sin 8）=2 可化為 x + 73y = 2z. 22在x +y =9上任取一點 A(3cosa,3sin a ),則點A到直線的距離為3cosa +3V3sina -2|6sin(a +30°) 2d =,它的最大值為42245、（ 2009廈門十中）極坐標與參數方程）已知圓C的參數方程為=12 cos 二，=3 2 sin但為參數若P是圓C與x軸正半軸的交點，以原點 O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設過點 P的圓C的切線為1,求直線l的極坐標方程.解由題設知，圓心C1,U3）P（

20、2.°）/ CPO=60° ,故過P點的切線飛傾斜角為30°設M（P,6）是過P點的圓C的切線上的任一點，則在 PMO中,/MOP=u . OMP =3°° - ； OPM =15°°OMOP：2由正弦定理得 sin OPM - sin. OMP, sin15°° - sin 3°° -,Pcos® +6°° ）=1 （或Psin（3°° -6 ）=1 ）,即為所求切線的極坐標方程。46、（ 2009廈門英才學校）（極坐標與參數方程）求

21、極坐標系中，圓P = 2上的點到直線P（cos + J3sinH ）=6的距離的最小值.解由 P = 2 即 P2 =4則易得 x2 + y2 = 4 ,由 P(cos8 + J3sinH )= 6 易得 x + J3y 6= °圓心(°,°)到直線的距離為d° =!°. °6二=3,12 (3)2又圓的半徑為 2 ,二圓上的點到直線的距離的最小值為d=d°2 = 3 2 = 1.53、（ 2009通州第四次調研）求經過極點 0（°,°）, A（6,；）, B（66,史）三點的圓的極坐標方程解 將點的極坐

22、標化為直角坐標，點O, A,B的直角坐標分別為（°,° ）,（°,6 ）,（6,6 ）,故AOAB是以OB為斜邊的等腰直角三角形，圓心為 （3,3）, 半徑為372 ,2222圓的直角坐標方程為(x3) +(y-3) =18,即x2 +y26x6y =° ,將 x = Pcos6, y = PsinQ 代入上述方程，得 p2 -6P(cos0 +sin0 )=0 ,即=6、254、（ 2009鹽城中學第七次月考）若兩條曲線的極坐標方程分別為P=1與P = 2cos 6 + I,它們相交于<3JA,B兩點，求線段 AB的長.解由 P =1 得 x2

23、+y2 =1,又D=2cosQ §) = cos1 7 3sin ：2 = Pcosi -3：sin 二x x2 + y2 -x + 73y =0 ,工 22一xy = 11. 3由22 L 得 A(1,0),B(-,-3),xy -x .3y=022工2=33 1. (2009番禺一模)x =2cos ;在直角坐標系中圓 C的參數方程為y = 2 2sin坐標方程為答案 P = 4 s i n（ct為參數），若以原點 O為極點，以X軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的極a16.（2009廈門同安一中）（極坐標與參數方程）若兩條曲線的極坐標方程分別為P?=l與P ?=2cos（ 0它

24、們相交于 A, B兩點，求線段 AB的長.解由 P =1 得 x2 +y2 =1,又 P=2cos(8+工)=cos日一百sinH,，P2 = Pcos873例in 日 3由jx +y =1得jx2 , y2 -x -'43y =01 A(1,0),B( , 217. （2009廈門北師大海滄附屬實驗中學） 為極點，x軸的正半軸為極軸.已知點（極坐標與參數方程）以直角坐標系的原點 OP的直角坐標為（1, 5）,點M的極坐標為（4,錯誤?。?若直線l9過點P,且傾斜角為 3 ,圓C以M為圓心、4為半徑（I ）求直線l的參數方程和圓 C的極坐標方程;（n）試判定直線1和圓C的位置關系x =

25、1 -t2解（i）直線1的參數方程為_yy.圓C的極坐標方程為P =8sin 60,4冗(n)因為 M |4,直線1化為普通方程為辰 y5 J3=00-4-5-圓心到直線1的距離d =-=.3 11 . （ 2007 2008泰興市蔣華中學基礎訓練）93 一 . ，一 ，一=9>5 ,所以直線1與圓C相離.2x =1 2t 、，, “若直線的參數方程為（t為參數）,則直線的斜率為y=2-3tA. 2B. -C. 3332y-2-3t3k =一x -12t2x = sin 2下列在曲線i（6為參數）上的點是（）y = cossin1答案 D2 . ( 2007 2008泰興市蔣華中學基礎訓

26、練)A. ( , -/2)B. ( , ) C . (2, yJ3)D. (1,>/3)24 2231【解析】轉化為普通方程：y2 =1+x,當x = j時，y=j答案b工x = 2 sin2 二3. （2007 2008 泰/、市蔣華中學基礎訓練）將參數方程<（6為參數）化為普通萬程為y =sin2 fA. y = x2 B, y=x+2 C, y = x -2(2 < x 3) D , y = x + 2(0 < y < 1)【解析】轉化為普通方程：y=x2,但是xw2,3, yW0,1答案 C4 . （ 2007 2008泰興市蔣華中學基礎訓練）化極坐標方程

27、 P2 cos日P = 0為直角坐標方程為（）2222A . x +y =0 或 y =1 B . x=1 C. x + y =0 或 x = 1D . y = 1【解析】P（Pcos8 _1）=0, P = Jx2 +y2 =0,或Pcose =x = 1答案C5. （ 2007 2008泰興市蔣華中學基礎訓練）點M的直角坐標是（一1,J3），則點M的極坐標為（）A. （2,3） B. （2, -|）C. （2,1）D. （2,2kn+學（kwZ）【解析】（2,2kn +2）,（k WZ）都是極坐標答案C6. （ 2007 2008泰興市蔣華中學基礎訓練）極坐標方程 Pcos日=2sin 2

28、日表示的曲線為（）A. 一條射線和一個圓B.兩條直線C. 一條直線和一個圓D. 一個圓2【斛析】Pcos日=4sin Ocos日,cos9=0,或 P =4sin 9,即 P =4Psin6=4 yx = 3 4t興市蔣華中學基礎訓練）直線W（t為參數）的斜率為y=4-5t5_ 422則日=kn + ，或x +y 2答案C11 .（ 20072008 泰【解析】 k=匕4 =二5t x-3 4t5答案 -54x = el e12 . （ 2007 2008泰興市蔣華中學基礎訓練）參數方程 t（t為參數）的普通萬程為y=2（e -e ）【解析】x- - =2e42(x -)(x ")=

29、42222答案-二1,(x 二2)416-Lx = 1 3t13. （ 2007 2008泰興市蔣華中學基礎訓練）已知直線l1 J(t為參數)與直線l2；2x 4y = 5相y-2-4t交于點B,又點A（1,2）,x =1 3t _155【解析】 將i代入2x-4y =5得t =，則B(_,0),而A(1,2),得AB =y=24t22214. (2007 2008x=2.1t市蔣華中學基礎訓練）直線«2 （t為參數）被圓x2 + y2 = 4截得的弦長為 y = -1 1t2【解析】直線為 x + y 1=0 ,圓心到直線的距離 d =,2,弦長的一半為222-號岑得弦長為.14 答案,14