1、【高考數學難點突破】解不等式不等式在生產實踐和相關學科的學習中應用廣泛，又是學習高等數學的重要工具，所以不等式是高考數學命題的重點，解不等式的應 用非常廣泛，如求函數的定義域、值域，求參數的取值范圍等，高考 試題中對于解不等式要求較高，往往與函數概念，特別是二次函數、 指數函數、對數函數等有關概念和性質密切聯系，應重視；從歷年高 考題目看，關于解不等式的內容年年都有，有的是直接考查解不等式， 有的則是間接考查解不等式.難點磁場()解關于x的不等式 ”>1(a# 1). x 2案例探究例1已知f(x)是定義在1, 1上的奇函數，且f(1)=1,若 m、n 1, 1, m+n?0 時 f(m

2、) f(n) >0.m n(1)用定義證明f(x)在1,1上是增函數；(2)解不等式：f(x+1)<f(7)； 2 x 1(3)若 f(x)wt2 2at+1 對所有 x6 1, 1, aS 1, 1恒成 立，求實數t的取值范圍.命題意圖：本題是一道函數與不等式相結合的題目，考查學生的分析能力與化歸能力，屬級題目.知識依托：本題主要涉及函數的單調性與奇偶性，而單調性貫穿 始終，把所求問題分解轉化，是函數中的熱點問題；問題的要求的都是變量的取值范圍，不等式的思想起到了關鍵作用 .錯解分析：(2)問中利用單調性轉化為不等式時，x+1 6 1, 1, 1, 1必不可少，這恰好是容易忽略的

3、地方.x 1技巧與方法：(1)問單調性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已 知條件不等式是關鍵，(3)問利用單調性把f(x)轉化成“1”是點睛之 筆.(1)證明:任取 X1<X2,且 X1,X21 , 1,則 f(x1)一f(X2)=f(X1)+f( X2)=f(x1) f(x2) -(X1-X2)X1 X2,a 1 W X1 < X2& 1 ,X1+(X2)#0,由已知 f(X1) f( X2) >0,又 X1X2<0, X1 X2 f(X1)-f(X2)<0,即 f(X)在1,1上為增函數.(2)解：f(X)在1,1上為增函數，1 X - 1 2二 1 1

4、 解得：x|3WX<1, x6 R x 12求實數a的取值 范圍.命題意圖：考查二次不等式的解與系數的關系及集合與集合之間 的關系，屬*級題目.知識依托：本題主要涉及一元二次不等式根與系數的關系及集合 與集合之間的關系，以及分類討論的數學思想.錯解分析：M=是符合題設條件的情況之一，出發點是集合之 間的關系考慮是否全面，易遺漏；構造關于a的不等式要全面、合理, 易出錯.技巧與方法：該題實質上是二次函數的區間根問題， 充分考慮二 次方程、二次不等式、二次函數之間的內在聯系是關鍵所在；數形結 合的思想使題目更加明朗.解：M 1,4有n種情況：其一是M=,止匕時A<0;其二 是M# ,止

5、匕時A >0,分三種情況計算a的取值范圍.設 f(x)=x2 2ax+a+2,有 A =( 2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)當 A<0 時，1<a<2, M=年1, 4當 A=0 時，a=-1 或 2.當 a=-1 時 M= 11, 4;當 a=2 時，m=2審1,4(3)當A >0時，a<1或a>2.設方程f(x)=0的兩根 必，X2,且X1<X2,那么 M = X1,X2，M 1,41< X1<X2<4f (1)0,且 f(4)01 a 4,且 0a 3 0即 18 7a 0,解得：2<a<18,a 0

6、7a 1或 a 2.M 1,4時，a的取值范圍是(一1,藍).錦囊妙計解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱 點，解不等式需要注意下面幾個問題：(1)熟練掌握一元一次不等式(組卜一元二次不等式(組)的解法.(2)掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.(3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數和對數不等式 的幾種基本類型的解法.(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法.(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不 等式等價地轉化為易解的不等式.(6)對于含字母的不等式

7、，要能按照正確的分類標準，進行分類 討論.殲滅難點訓練一、選擇題(x 1)2(x 1)1.()設函數 f(x)= 2x 2( 1 x 1),已知 f(a)>1，則 a 的11(x 1)x取值范圍是()A.(8, -2)U(-1, +oo)B.(- 2 5 2)1 一一 ii 一C.( s, -2)U(-1, 1)D.( 2, -g)U(1,+oo)二、填空題2 .(* )已知f(x)、g(x)都是奇函數，f(x)>0的解集是(a2, a2bb), g(x)>0的解集是(1,2),貝Uf(x) g(x)>0的解集是3 .( )已知關于x的方程sin2x+2cosx+a=0

8、有解，貝U a的 取值范圍是.三、解答題4 .( )已知適合不等式|x2- 4x+p|+X- 3|< 5的x的最大 值為3.(1)求p的值；x(2)若 f(x)=,解關于 x 的不等式 f- 1(x)>iogpJx(k R+) p 1k5 .( )設 f(x)=ax2+bx+c,若 f(1)=7 ,問是否存在 a、b、 c6R,使得不等式：x2+T wf(x)W2x2+2x+2對一切實數x都成立，證 明你的結論.6 .(* )已知函數 f(x)=x2+px+q,對于任意。6R,有 f(sin e )<0,且 f(sin e +2)>2.(1)求p、q之間的關系式；(2)

9、求p的取值范圍；(3)如果f(sin 6 +2)的最大值是14,求p的值.并求此時f(sin 6 )的最小值.7 .()解不等式 lOga(X - - )> 1 x&.()設函數f(x尸ax滿足條件:當x6( 一00, 0)時，f(x)>1;當 x6 (0, 1時,不等式 f(3mx 1)>f(1 + mx x2)>f(m+2)恒成立, 求實數m的取值范圍.參考答案難點磁場解：原不等式可化為：(a 1)x (2 a)>0, x 2即：(a-1)x+(2-a) (x-2)>0.當a>1時，原不等式與(xa二)(x 2)>0同解.a 1若Un

10、2,即0wa<1時，原不等式無解；若 U<2,即a<a 1a 10或a>1,于是a>1時原不等式的解為( s, J)U(2, +s).a 1當a<1時，若a<0,解集為(口，2);若0<a<1,解集為(2, a 1口)a 1)綜上所述：當a>1時解集為(一0°, a二)U(2, +oo)；當0caa 1< 1時，解集為(2, -)；當a=0時，解集為 ;當a<0時，解集 a 1為(=,2).a 1殲滅難點訓練1 .解析:由f(x)及f(a) >1可得:a 1(a 1)2 12aa 1或1 一1 1解得a&l

11、t; 2,解得-<a< 1,解得x6 2.a的取值范圍是(一s, 2)U(1)答案：C2 .解析：由已知b>a2：f(x), g(x)均為奇函數，f(x)<0的解集2 a2 a2是(一b, a2), g(x)<0 的解集是(一2 支).由 f(x) g(x)>0 可得:2a x bf (x) 0- f(x) 0 1T或，即/h或g(x) 0 g(x) 0 x -22 .x6(a2, 2)U (, 一a2)答案：(a2, ：)U( 2 , a2)3.解析：原方程可化為 cos2x2cosxa1=0,令t=cosx,得t2 2t a 1=0,原問題轉化為方程t2

12、 2t a 1=0在1, 1 上至少有一個實根.令f(t)=t2-2t-a-1,對稱軸t=1,畫圖象分析可得f( 1) 0 f(1) 0解得 aS 2, 2.答案: 2, 2三、4.解:(1)適合不等式|x2 4x+p|+|x3|W5的x的最大值為3,.x3W0, /. |x-3|=3-x.若|x24x+p|=x2+4x p,則原不等式為 x2 3x+p+2A0,其解集 不可能為x|xW3的子集，|x2 4x+p|=x2 4x+p.原不等式為 x24x+p+3 x<0,即 x25x+p2<0,令 x2 5x+p2=(x3)(xm),可得 m=2, p=8.(2)f(x)=|Lj,

13、/. f- 1(x)=log8l (-1<x<1),.有 Iog8>log8, log8(1-x)<log8k, . 1-x<k,x 1 Xk>1 k./- 1<x<1, k R+, .當 0<kv2時,原不等式解集為x|1-k <x<1;當k>2時，原不等式的解集為x|5 .解：由 f(1)=，得 a+b+c=2 ,令 x?+1 =2x2+2x+x =- 1,由 f(x) 2222w2x2+2x+。推得 2由 f(x)>x2+；推得 f(1)> |f(1尸:，a -b+c=| ,故2(a+c)=5, a+c=

14、-fi b=1, /. f(x)=ax2+x+(| - a).依題意：aW+x+( | a) > x2+ 對一切x 6 R成立，/. a1 且=1一4(a1)(2 a)0O,得(2a3)200,f(x)=|x2+x+1易驗證：©W+x+l w 2x2+2x+9對x R都成立. 22.二存在實數 a=- , b=1, c=1,使得不等式：x2+ - < f(x) < 2x2+2x+- 222對一切x W R都成立.6 .解：(1)一iwsin。01, 1Wsin8+2W3,即當 x6 11, 1 時，f(x)0O,當 x6 1, 3時，f(x)40, .當 x=1 時

15、 f(x)=0.：1+p+q=0, q=(1+P)(2)f(x)=x2+px (1+p),當 sin。=1 時 f(1)WO,1-p-1-p<0,p>0(3)注意到f(x)在1,3上遞增，x=3時f(x)有最大值.即9+3p+q=14, 9+3p1 p=14, . p=3.此時，f(x)=x2+3x 4,即求x 1, 1時f(x)的最小值.又 f(x)=(x+|y25,顯然此函數在1,1上遞增.當 x= 1 時 f(x)有最小值 f(-1)=1-3-4=-6.7.解：(1)當a>1時，原不等式等價于不等式組1x1x由此得1 a>1.因為1 a<0,所以x<0

16、,x< X< 0.(2)當0<a<1時，原不等式等價于不等式組:a1x1x由 得x> 1或x<0,由得0 <x< ,.1<x<1 a1.1 a綜上，當a>1時，不等式的解集是x，<x<0,當0<a< 11 a時，不等式的解集為8.解：由已知得x1<x< 曰.0<a<1,由 f(3mx 1)>f(1+mx x2)>f(m+2), x6(0, 1恒成立.3mx 1 1mxmxm2x在x 6 (0, 1 恒成立.2整理,x6 (0, 1)時,_22x 1 x2m(x 1)恒成

17、立，即當x6(0, 1時, 11 x2 m 2xx2 1 m x 1恒成立，且x=1時,2mx m(x11)- 1 x2 1. 2x 2x1在x6(0, 1上為減函數， 11 < 1,2x12 , m<怛成乂m< 0.2xT7 , , x 1又 一- (x 1)x 1x2 1 < - 1.x 112 x2,在x6(0, 1上是減函數,1.m> j1恒成立m> 1 當 x6 (0,1)時,1 x22x恒成立 mx2 1x 16(1, 0)當x=1時,2mx m(x11)2 x2 x0m<01、兩式求交集 m(-1, 0)，使 x6 (0,1時,f(3mx 1)>f(1+mx x2)>f(m+2)恒成立，m的取值范圍是(1, 0)領紅包：支付寶首頁搜索“ 7446771”即可領取支付寶紅包喲 領下面余額寶紅包才是大紅包，一般都是5-10元 支付的時候把支付方式轉為余額寶就行呢沒錢往里沖點每天都可以領取喲！廣告：本教程由購物省錢的淘優券()整理提供11x -2 x 1(3)解:由可知f(x)在1, 1上