1、蘇鋅輔導站內部資料 【因式分解】方法講解及應用舉例蘇鋅輔導站內部資料【因式分解】方法講解因式分解指的是把一個多項式分解為幾個整式的積的形式，它是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法而在競賽上，又有拆項和添項法，待定系數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等 提公因式法 公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的. 提公因

2、式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. ambmcmm（a+b+c） 具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“”號，使括號內的第一項的系數是正的. 運用公式法 平方差公式：. a2b2(ab)(ab) 完全平方公式： a22abb2(ab)2 能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍. 立方和

3、公式：a3+b3 (a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式：a3-b3 (a-b)(a2+ab+b2). 完全立方公式： a33a2b3ab2b3(ab)3 an-bn=(a-b)a(n-1)+a(n-2)b+b(n-2)a+b(n-1)am+bm=(a+b)a(m-1)-a(m-2)b+-b(m-2)a+b(m-1)(m為奇數) 分組分解法 分組分解法：把一個多項式分組后，再進行分解因式的方法. 分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提公因式或運用公式. 拆項、補項法 拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解

4、法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形. 十字相乘法 x2（p q）xpq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解： x2（p q）xpq（xp）（xq） kx2mxn型的式子的因式分解 如果能夠分解成kac，nbd，且有adbcm 時，那么 kx2mxn（ax b）（cx d） a -/b ack bdn c /-d adbcm 多項式因式分解的一般步驟： 如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式； 如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相

5、乘法來分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。 (6)應用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x2+5x+6的一個因式。 經典例題： 1.分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-y)

6、2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.證明：對于任何數x,y，下式的值都不會為33 x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-

7、y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 當y=0時，原式=x5不等于33；當y不等于0時，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立 因式分解的十二種方法 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下： 1、 提公因法 如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。 例1、 分解因式x3 -2x2 -x(2003淮安市中考題) x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1) 2、 應用公式法 由

8、于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b2 (2003南通市中考題) 解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b） 3、 分組分解法 要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2 +5n-mn-5m 解：m2+5n-mn-5m= m2-5m -mn+5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)

9、=(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 對于mx2 +px+q形式的多項式，如果ab=m,cd=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 對于那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。 例5、分解因式x2 +3x-40 解x2 +3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5) 6、拆、添項法 可以把多項式拆成若

10、干部分，再用進行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 換元法 有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然后進行因式分解，最后再轉換回來。 例7、分解因式2x4 -x3 -6x2 -x+2 （解答錯誤太多，請大牛再分一遍吧） 8、 求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x1

11、,x2 ,x3 ,xn ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )(x-xn ) 例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6 解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通過綜合除法可知，f(x)=0根為1/2 ，-3，-2，1 則2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-19、 圖像法 令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖像，找到函數圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )(x-xn ) 例9、因式

12、分解x3 +2x2 -5x-6 解：令y= x3 +2x2 -5x-6 作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2 則x3 +2x2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 將2或10代入x

13、，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，并將組合后的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x3 +9x2 +23x+15 解：令x=2，則x3 +9x2 +23x+15=8+36+46+15=105 將105分解成3個質因數的積，即105=357 注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值 則x3 +9x2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，驗證后的確如此。 12、待定系數法 首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

14、 例12、分解因式x4 -x3 -5x2 -6x-4 分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。 解：設x4 -x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d) = x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd 所以 解得 則x4 -x3 -5x2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) 初學因式分解的“四個注意” 因式分解初見于九年義務教育三年制初中教材代數第二冊，在初二上學期講授，但它的內容卻滲透于整個中學數學教材之中。學習它，既可以復習初一的整式四則運算，又為本冊下一章分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察

15、、注意、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。其中四個注意，則必須引起師生的高度重視。 因式分解中的四個注意散見于教材第5頁和第15頁，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號里面分到“底”。現舉數例，說明如下，供參考。 例1 把a2b22ab4分解因式。 解：a2b22ab4（a22abb24）（ab2）（ab2） 這里的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項系數是正的。防止學生出現諸如9x24y2（3x）2（2y）2（3x2y）（3x2y）（3x2y）（3x2y）的錯誤? 如例2 abc的三邊a、b、

16、c有如下關系式：c2a22ab2bc0，求證這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：c2a22ab2bc0，（ac）（ac）2b（ac）0，（ac）（a2bc）0 又a、b、c是abc的三條邊，a2bc0，ac0， 即ac，abc為等腰三角形。 例3把12x2nyn18xn2yn16xnyn1分解因式。解：12x2nyn18xn2yn16xnyn16xnyn1（2xny3x2y21） 這里的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式；這里的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，

17、括號內切勿漏掉1。防止學生出現諸如6p（x1）38p2（x1）22p（1x）22p（x1）23（x1）4p2p（x1）2（3x4p3）的錯誤。 例4 在實數范圍內把x45x26分解因式。 解：x45x26（x21）（x26）（x21）（x6）（x6） 這里的“底”，指分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個括號內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y25x2y29y2y2（4x45x29）y2（x21）（4x29）的錯誤。 由此看來，因式分解中的四個注意貫穿于因式分解的四種基本方法

18、之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”是一脈相承的.因式分解的方法舉例：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下：1、 提公因法如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。例1、 分解因式x3 -2x 2-x(2003淮安市中考題)x3 -2x 2-x=x(x2 -2x-1) (不好意思，不會打上標）2、 應用公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多

19、項式分解因式。例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、 分組分解法要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法對于mx +px+q形式的多項式，如果ab=m,cd=q且ac+bd=p

20、，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法對于那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添項法可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(

21、a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、 換元法有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然后進行因式分解，最后再轉換回來。例7、分解因式2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6= x 2(y -2)-y-6= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5

22、)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 圖象法令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x ,x ,x ,x ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x