1、專題08 一元二次方程r-ra一無二次方程廠直接開平方法|T因式分解法一元二次方程T TL二次方程的底卜T配方法I公式法:x=心主實踐與探索I列一全二次力學(xué)解疸用題的步彝 一(與幾何圖成有關(guān)的問題I-T有關(guān)增長率的問題一I 一元三正方程椎與國數(shù)的關(guān)系-聚焦考點元二次方程1、一元二次方程含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0(a 0),它的特征是：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零,其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。二、一元二次方程的解法1、直接開平

2、方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解 形如(x a)2 b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當(dāng)b 0時，x a 6,x a b ,當(dāng)b0時，方程沒有實數(shù)根。2、配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著 廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2,把公式中的a看做未知數(shù)x,并用x代替，則有x2 2bx b2 (x b)2。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2 bx c

3、 0(a 0)的求根公式：b . b2 4ac 2x (b2 4ac 0)2a4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。三、一元二次方程根的判別式根的判別式一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，b2 4ac叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的根的判別式，通常用“”來表示，即 b2 4ac四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2bc如果方程axbx c 0(a 0)的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1x2,x1x2一。也就正說，aa對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所

4、得的商的相反 數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。名師點睛【例1】(2018?上海)下列對一元二次方程x2 x 3 0根的情況的判斷，正確的是()A.有兩個不相等實數(shù)根B.有兩個相等實數(shù)根C.有且只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出13 0,進(jìn)而即可得出方程 x2 x 3 0有兩個不相等的實數(shù)根.【解答】解：Qa 1 , b 1 , c 3 ,22一 一 一 b 4ac 14 (1) ( 3) 13 0 ,方程x2 x 3 0有兩個不相等的實數(shù)根.故選：A .【例2】(2019?上海)如果關(guān)于x的方程x2 x m 0沒有實數(shù)根，那么實數(shù) m的取值

5、范圍是【分析】由于方程沒有實數(shù)根，則其判別式0 ,由此可以建立關(guān)于 m的不等式，解不等式即可求出 m的取值范圍.【解答】解：由題意知4 1 4m 0 ,1m 一.4 1 故填仝答案：m ,4能力提升1) (2019?松江區(qū)二模)下列方程中，沒有實數(shù)根的是-22-A. x 2x 3 0 B. x 2x 3 0 C.22x 2x 1 0 D. x 2x 1 0【分析】分別計算四個方程的判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義確定正確選項.解:A、22) )4(3) 16 0 ,方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根，所以A選項錯誤;B、2)28 0,方程沒有實數(shù)根，所以 B選項正確;C、2)20 ,方程有兩個相等的

6、兩個實數(shù)根，所以C選項錯誤;D、2)21) 8 0 ,方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根，所以D選項錯誤.故選:2) (2019?金山區(qū)二模)用換元法解方程:0時，如果設(shè)x 1那么將原方程變形后表示次方程一般形式的是“1CCA. y 20yB.C.2y【分析】依題意，設(shè)那么將原方程可化為:0,去分母得,12y 0 ,對比選項即可得出答案【解答】解:設(shè)上y ,那么將原方程可化為: x 11，一y 2 0 ,去分得, y整理得y2 2y 1 0故選：C . . 、 一一 23. （2019?楊浦區(qū)三模）如果關(guān)于x的一兀二次方程x 6x m 1 0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍是.【分析】根據(jù)判別

7、式的意義得到462 4m 4 0 ,然后解不等式即可.【解答】解：Q關(guān)于x的一元二次方程x2 6x m 1 0有兩個不相等的實數(shù)根， 6 4m 4 0 ,解得m 10 .故答案為：m 10 .4. （2019?浦東新區(qū)二模）如果關(guān)于x的方程x2 2x m 0有兩個實數(shù)根，那么 m的取值范圍是 . 【分析】若一元二次方程有兩個實數(shù)根，則根的判別式b2 4ac-0,建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍.【解答】解：Q方程有兩個實數(shù)根， 22 b 4ac 24 m 4 4m0 ,解得：m, 1 .故答案為：m, 1 .5. （2019?靜安區(qū)二模）某商店三月份的利潤是 25000元，要使五月份的利潤

8、達(dá)到 36000元，假設(shè)每月的利潤 增長率相同，那么這個相同的增長率是 .【分析】設(shè)每月的利潤增長率為x,根據(jù)該商店三月份及五月份的利潤，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.【解答】解：設(shè)每月的利潤增長率為x ,依題意，得： 25000（1 x）2 36000 ,解得：x 0.2 20%, x22.2（不合題意，舍去）.故答案為：20% .26. （2019?虹口區(qū)二模）如果關(guān)于x的萬程kx 6x 9 0有兩個相等的實數(shù)根，那么 k的值為【分析】根據(jù)根的判別式和已知得出（ 6）2 4k 9 0且k 0 ,求出即可.【解答】解：Q關(guān)于x的方程kx2 6x 9 0有兩個相等的實數(shù)

9、根， 一 2一 一一 一 （ 6） 4k 9 0 且 k 0 ,故答案為：1.7. （2019?長寧區(qū)二模）某商品經(jīng)過兩次漲價后，價格由原來的64元增至100元，如果每次商品價格的增長率相同，那么這個增長率是 .【分析】設(shè)這個增長率為x ,根據(jù)該商品的原價及經(jīng)過兩次漲價后的價格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.【解答】解：設(shè)這個增長率為x,依題意，得：64（1 x）11. （2019?嘉定區(qū)二模）已知關(guān)于x的萬程x 3x m 0有兩個相等的實數(shù)根，則 m的值為 100 ,解得：x1 0.25 25% , x2 2.25 （不合題意，舍去）.故答案為：25% .28. （

10、2019?閔行區(qū)二模）一兀二次方程2x 3x 4 0根的判別式的值等于 .【分析】一元二次方程的根判別式為：b2 4ac ,代入計算即可【解答】解：依題意，一元二次方程2x2 3x 4 0, a 2, b 3, c 422根的判別式為： b 4ac （ 3）4 2（4） 41故答案為：4129. （2019?奉賢區(qū)二模）如果關(guān)于x的方程x 4x 2k 0有兩個相等的實數(shù)根，那么 k的值是.【分析】x的方程x2 4x 2k 0有兩個相等的實數(shù)根，即b2 4ac 0 ,代入即可求k值【解答】解：Qx的方程x2 4x 2k 0有兩個相等的實數(shù)根， 22 b 4ac 44 2k 0,解得 k 2故答案

11、為：210. （2019?普陀區(qū)二模）如果關(guān)于x的方程x2 3x m 2 0有兩個相等的實數(shù)根， 那么m的值等于 【分析】一元二次方程有兩個相等的實根，即根的判別式b2 4ac 0 ,即可求m值【解答】解：依題意，Q方程x2 3x m 2 0有兩個相等的實數(shù)根“2217 b 4ac （ 3）4（m 2） 0 ,解得 m 一417故答案為：174【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根得出0 ,求出m的值即可.2【解答】解：Q關(guān)于x的萬程x 3x m 0有兩個相等的實數(shù)根，A / ， 34 1 ( m) 0 ,解得：m -, 4故答案為：9 .4212. (2019?崇明區(qū)二模)已知關(guān)于x的萬程x 2

12、x m 0沒有實數(shù)根，那么 m的取值范圍是 .【分析】根據(jù)根的判別式得出b2 4ac 0,代入求出不等式的解集即可得到答案.【解答】解：Q關(guān)于x的方程x2 2x m 0沒有實數(shù)根，2_ 2b 4ac ( 2)4 1 ( m) 0,解得：m 1,故答案為：m 1 . 213. (2019?金山區(qū)二模)已知關(guān)于x的一兀二次萬程 x x m 0的一個根是x 1 ,那么這個萬程的另一個根是.【分析】首先設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2 x m 0的另一個實數(shù)根是，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可得 11,繼而求得答案.【解答】解：設(shè)關(guān)于 x的一元二次方程x2 x m 0的另一個實數(shù)根是，Q關(guān)于x的一元二次方程x

13、2 x m 0的一個實數(shù)根為1,11 ,2 .故答案為 2.2214. (2019?黃浦區(qū)二模)若關(guān)于x的方程x (2m 1)x m 0沒有實數(shù)根，則 m的取值范圍是 .【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到(2m 1)2 4m2 0 ,然后解不等式即可.【解答】解：根據(jù)題意(2m 1)2 4m2 0 ,整理得 4m 1 0,一 11解得m 1 . 4故答案為m 1.415. （2019秋？浦東新區(qū)校級月考）4x2 8x 1 0（用配方法）【分析】在本題中，先把方程變成x22222 2x - 0,再把次方程的常數(shù)項 1移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加4上一次項系數(shù)的一半的平方.【解答】解：方程4x2 8

14、x 1 0同除以4,得x2 2x 1 0, 4把方程4x2 8x 1 0的常數(shù)項移到等于號的右邊，得21x 2x -, 4方程兩邊同時加上一次項一半的平方，得到，2 x 2x2 ,32.32x 1x2解得x116. （2019秋？青浦區(qū)校級月考）解方程：（t 2）（t 1） 70.【分析】根據(jù)求根公式解一元二次方程即可.【解答】解：t2 t 2 702t t 72 0Q 1 288 289t 1 /2891 1722t18, t29 .2217（2019秋？徐匯區(qū)校級月考）3x （x 2）5 .【分析】根據(jù)求根公式解一元二次方程即可.【解答】解：3x2 x2 4x 4 5 02 2x 4x 9 0Q a 2 , b 4, c 9, 16 72 88 , 488x x2418. (2019秋？徐匯區(qū)校級月考)用配方法解方程：20x2 12x -.2【分析】根據(jù)配方法即可求出答案.【解答】解：原方程化為:31x , 5403923一 x ,5100 200(x )2 里,102006462019. (2019秋？虹口區(qū)校級月考)已知關(guān)于x的方程x2 2x a 1 0沒有實數(shù)根，試判斷關(guān)于x的方程x2 ax a 0的根的情況.【分析】直接利用根的判別式得出a的取值范圍，進(jìn)而得出答案.【解答】解：Q關(guān)于x的方程x2 2x a 1 0沒有實數(shù)根， 4