1、第4講平面向量數量積1 .平面向量的數量積是高考的必考內容，考查內容主要涉及平面向量數量積的概念、 向量的平行、垂直及求有關向量的夾角問題，運用到數形結合、轉化與化歸等思想.2 .高考中的主要題型：(1)平面向量數量積的運算；(2)利用數量積解決平行與垂直 等問題；(3)利用向量解決某些簡單的幾何問題.基/調練瓜1. (2017 全國卷出)已知向量 a = (2, 3), b=(3, n),且 a，b,則 mr.答案：2解析：; a± b,a - b= 2X3+ 3m= 0,解得 m= 2.2. (2018 湛江模擬)在平面直角坐標系 xOy中，已知四邊形 ABC虛平行四邊形，AB=

2、 (1, - 2), Ab- (2 , 1),則 Ab- AC=.答案：5解析：因為四邊形 ABC型平行四邊形，所以 AC=AB+Ab- (1 , 2)+(2, 1)=(3, 1),所以 Ab- AC= 2X3+ ( -1) X1= 5.一 一2 兀，一 人-.4. 一3. 已知e1, e2是夾角為-；1的兩個單位向重，a= 61-262, b= ked e2.右a b= 0,則3實數k= .答案：74一一 5r一5解析：a , b= 0, ( e1 2e2) , ( ke+ =0,即 k+ k=0,即 k=.4. (2018 蘇州暑假測試)已知平面向量a=(2 , 1) , a?b=10,若

3、| a+b| =572,則| b|答案：5解析：因為a= (2 , 1),所以 |a|=J5.又| a +b|= 5y2,所以a2+ 2a ,b+b2=50,以 b2=25,所以 | b| =5.、例握送講一)平面向量數量積的運算1)已知 | a| =4, | b| =3, (2a 3b) (2 a+b) = 61.(1)求a與b的夾角0 ;(2)求|a+b|的值.解：(1)因為(2a3b) (2a+b) = 61,所以 4|a|2 4a - b-3| b|2=61.又 |a|=4, |b|=3,所以 64 4a , b-27=61,所以 a , b= - 6.八 a . b 61所以 cos

4、 0 = |a| b|=4X3=2.2. 一 一 - - Lr- rx f -2 7t又 0W 0 < u ,所以 9 =3-.(2) | a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a - b+| b| 2= 42+2x ( 6) + 32= 13,所以|a+b| =煙.備金變式(*伸* ¥)已知|a|=4, |b|=8, a與b的夾角是120° .(1)計算： | a+b| , |4a -2b| ；(2)當 k 為何值時，(a+ 2b)，( ka b).，一一1解：由已知得 ab=4X8x 2=16.(1) |a +b|2 = a2+2a b + b2=16+ 2x(

5、16) + 64=48,|a +b| =4，3. |4a 2b|2= 16a216a b+4b2= 16X 16 16X( 16)+4X64=768,|4a -2b| = 16嫄.(2) ( a+2b) ±(ka-b) ,，( a + 2b) ( ka-b) = 0, ka2+(2k-1)a - b-2b2=0,即 16k-16(2k-1)-2x64= 0,解得k=7.即當k=7時，a+2b與kab垂直.O,二)平面向量的平行與垂直問題b / c,求 |2)向量 a=(x, 1) , b=(1 , y), c=(2, 4),且 a±c,+ b|和a + b與c的夾角.解：-

6、.1 a±c,2x-4 = 0,解得 x= 2.b/c,-4- 2y =0,解得 y= 2.a= (2 , 1) , b=(1 , -2) , a+ b= (3 , - 1),| a+b| =432+ ( 1) 2 =回.設a + b與c的夾角為0 ,則cos(a+b) c_3x 2+ ( 1) x ( 4)|a+b| c| 一/wx/20210兀 1 一一,，.一 兀Owbwtt, 9 =,即 a + b 與 c 的夾角為彳.卷金變武(*怦4 步) 兀(2018 姜堰、泗洪聯合倜研測試)已知向量a= sin a + , 3 , b=(1 , 4cos a) a C (0 ,兀).(

7、1) 若a，b,求tan a的值；(2)若a/ b,求a的值.1 + 3 - 4cos a=0,25 l133解：(1) . a±b, - - sin a + tan a =一八一.，兀-一(2) . a / b , . sin a + - 4cos a 3 = 0,. c .兀,sin 2 a +- = 1.p 小 、 兀 c ，兀 13兀又 a e (0 , ) ) , <2 a + <6,兀兀=， a = .26三)利用數量積解決幾何問題3)已知半徑為1,圓心角為色聲的畫有一點C 當c為AB勺中點時，d為線段oa上任一點，求|OaOD的最小值；(2)當C在麗運動時，

8、D, E分別為線段 OA OB的中點，求CE- DE勺取值范圍.解：以O為原點，以O刖x軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系.2，設 D(t, 0)(0 <t<i), q所以OoO氏（J2+t,奉故當t =,I Oa Od取得最小值，最小值為 乎.(2)設OC= (cosa , sin a ),0W a則 Ce= Oe-Og= (0, -2)-(cossin a)=(cos2 J /、+ 2(0<t<1),因為口2,一 10),所以 DE= (2,i2)，LL r、f_>1 ,所以 CE, DE= 2(cos3兀因為0W a < .1 .a +2+sin兀

9、a ) = -sin( a + -7) +；24477兀所以 |O>OD2=2 V2t +t2+；=t2V2t + 1= (t 兀所以 sin( a + ) 1, 1,則 2sin( a +-4)+為”4 1 11429+36161118X 2X3X6J高考回顧1. (2018 全國卷n )已知向量 a,b滿足 |a| =1,ab=1,貝U a - (2a-b) =. 答案：3解析：由題意得 a , (2 a b) = 2a a - b= 2| a| ( 1) = 2+1 = 3.2. (2017 全國卷I )已知向量 a= ( - 1, 2) , b= (mj 1).若向量a+ b與a

10、垂直，則 m答案：7解析：由題意得 a+ b= (m- 1, 3),因為a+ b與a垂直，即(a+ b) - a= 0,所以有一 (mv 1) +3X2= 0,解得 m7.3. (2018 北京卷)設a, b均為單位向量，則“ |a3b| =|3a+b|”是“ ab”的 條件.答案：充分必要解析：| a-3b| =|3a+b|? | a-3b| 2= |3 a+b| I OBI OC? a26a - b+9b2=9a2+6a - b+b2.因為a, b均為單位向量，所以3b| = |3a + b| ” 是 " a±b'a26a b + 9b2=9a2+6a b+ b

11、2? a b= 0? a,b ,即 “I a 的充分必要條件.在同一個平面內，向量 OA OB OC勺模分別為1, 1, 42, OAtan a=7,OBfOc勺夾角為 45° .若 OG= mOA nOB m n C R),則 m4. （2017 江蘇卷）如圖,答案：3解析：由題意得即 cos asin acoTT =7,sin 2 a + cos2 a=1,解得cos a =12（負值舍去）,a 0 ,兀,OA- OC 6A ( mOA nOB10A Ocm nOA- OB J2V210又0由O。勺夾角為45。，所以匚+- A-2 OE OC mOB OAF n又易知 cosZ

12、AOB= cos( a +45)=cos a cos 45° sins sin 45°10 * 210x 出一25'即OA OB= -3，代入可得mv 3n = 1,55.226一IP-mH -n=故 mn n= 3. 5555.（2017 山東卷）已知e1, e2是互相垂直的單位向量，若 為60° ,則實數入的值是.答案：3解析：由題意不妨取 e1 = （1 , 0）, e2=（0, 1）,由條件可設，3ei e2與 ei+入e2的夾角a=;/3e1 e2= 0/3, 1),1b=e1+ 入 e2= (1 ,入)，所以 cos <a, b>

13、= cos 60 =23-入所以3f3 X =71+入2,解得入=¥3.36. (2018 天津卷)如圖，在平面四邊形 ABCM, AB± BC, AD)± CD / BAD= 120° , AB = AD= 1.若點E為邊CD上的動點，則 AE- 描最小值為 .21答案：161'3_ 3解析：建立如圖所本的平面直角坐標系，則 A 0, 2 , B壬3, 0 , C 0,5，D理02 5y2 -I -f I點E在CD上，則DE=入血0忘入W1),設日x, y),則 x +乎，y =入 乎，3，,23 23、x+ 2 = 2，!P3y=2入.據此可

14、得E 乎入-當2入，且屆=乎入-乎空入+1，BE = 興入一小,I入.由數量積的坐標運算法則可得 Ae- Be= 手入一乎 半"小 +|入 3入+1，>>32整理可得AE- BE= 4(4入一2入+2)(0 <入W1).結合二次函數的性質可知，當入=；時，Ae- BE取得最小值21.416考題演練)(本題模擬高考評分標準，滿分14分)*已知平面向量 a = (1 , 2), b=(4, 2), c=ma+b(mE R).(1)若m= 2,求| c|的值；(2)若c與a的夾角為90° ,求m的值.解：(1)(解法 1)當m= 2 時，由已知得 c=(mi+

15、4, 2m+ 2)=(6, 6) , (3 分)所以 |c| =162 + 62 = 6啦.(7 分)(解法 2)由已知得 a2= 12+22=5, b2= 42+ 22= 20, a b=1X4+2X2= 8, (3 分)當 m2 時，c2=(2a+b)2=4a2+4a - b+b2=4x 5+4X 8+ 20=72,所以|c| =取=62.(7分)(2)因為c與a的夾角為90° ,所以c - a= 0.(9分)(解法1)由已知，得c=(m4, 2m2),所以 c a= vm- 4 + 2(22) = 5m+ 8= 0,8 八所以m= 5.(14分)(解法 2)由已知得 a2= 1

16、2+22=5, a b=1x4+2X2=8,所以 c - a= (ma+ b) a= na2+ a b= 5m8= 0,8八所以m= 5.(14分)/糟垢題隹J事師011 .已知向量 a, b 滿足 | a| =1, b=(2 , 1),且 入 a+b=0(入 e R),則 | 入 | =. 答案：5解析：=Xa + b=0, 1- X a= - b,| 入 a| = | - b| = | b| = .2+ 11 = a/5, | 入 11a| =m.又|a| =1, . | 入 | =*.2 . (2018 常州學業水平監測 )在 ABC中，AB= 5, AC= 7, BC= 3, P為 A

17、BC內一點(含 . 1一一一一一 一邊界).若滿足BP= 4BA+入Bq入C R),則BABP勺取值范圍是 .答案:5 25 8，71_一 、 一 , _解析：在邊BAh找一點D,使其滿足4B- BD過點D作DEE/ BC交AC于點E因為融；超入的入C R),所以點P為線段DEh的動點，可以得到 入C0, 3.利44e 人一“口32+ 52 721 -2 冗用余弦7E理得 cos B= 9 Q =-所以 B=二1； 2人3人523BA BP=BA.(1弧 人 的= ；BA+ 入 BA BC= 2515 入 £ |, 25 ,即BA BPe 5., 25 . 4442848 43 .在

18、平面直角坐標系 xOy中，已知向量a= (1 , 0) , b= (0 , 2).設向量x= a+(1 cos10) b, y= - ka+ -rb,其中 0<8<兀.ssin 0兀，一一(1)右 k= 4, 8 = 6，求 x y 的值；(2)若x/y,求實數k的最大值，并求取最大值時0的值.解：(1)當 k=4, e="6時，x=(1, 2-73) , y=(-4, 4), 則 x y=1X( 4) + (2 也)X4=4 4#.(2)依題意，x=(1 , 22cos 0), y=(-k, 2).sin 02.因為 x / y,所以 7k(2 2cos 0 ),s sin 01整理，得 7= sin 8 (cos 9 1). k令 f ( 8 ) = sin 0 (cos 0 1), 則 f ' ( 8 ) = cos 0 (cos 9-1) +sin 9 (-sin 0 )=2cos2 9 cos 9 1 = (2cos 9 + 1)(cos 9 1).1 ,、令 f ( 8 ) = 0,得 cos 0 =-萬或 cos 8=1.又 0<8<兀，故 8 = t.3列表如下：e(0,23L) 32兀飛-2兀、（-3-,兀）