1、第五章 雙正交小波正交小波的性質(zhì) 對(duì)稱性（），緊支撐（） 對(duì)稱性 （），緊支撐（） 對(duì)稱性 （），緊支撐（） 光滑性（）Harr小波緊支撐且線性相位(對(duì)稱性)？雙正交小波！5.1濾波器的相位特性 在線性系統(tǒng)理論中, 濾波器的傳遞函數(shù)可表達(dá)為 為幅頻特性， 為相頻特性。 假設(shè) 可以表示為 式中和為常數(shù)，那么稱為 具有線性相位特性 )()()(jeHH( )H( ) ( ) )( ) 輸出信號(hào)的相位特性，除了常數(shù)外，與延時(shí)為的輸入信號(hào) 的相位特性完全一致hf(x)g(x)( )( ) ( )( )( )( )( ()jjjgHfHe efHef x()f x當(dāng)濾波器具有線性相位特性時(shí), 輸出信號(hào)將

2、不產(chǎn)生相位畸變。這一點(diǎn)對(duì)圖像信號(hào)十分重要，因?yàn)橐曈X(jué)對(duì)于相位畸變非常敏感 線性相位，振幅畸變非線性相位，振幅無(wú)畸變?yōu)V波器如何具有線性相位特性？ 定理5.1 濾波器 具有線性相位的必要與充分條件是它的脈沖響應(yīng)函數(shù)具有如下關(guān)于 的共軛對(duì)稱性： 證明：必要性： 充分性：)(H)()(xhexhejj()?jehx()?je hx( )( )jjjjeHeeHe)()()(jeHH 推論5.1 如果限定脈沖響應(yīng) 為實(shí)函數(shù)，那么由式 (5.1.3) 可知，這時(shí) 必為實(shí)數(shù), 即 所以實(shí)脈沖響函數(shù)具有線性相位的必要與充分條件是 任何實(shí)值脈沖響應(yīng)的數(shù)字濾波器具有線性相位的必充條件是 )(xh12jeje2)()

3、(xhxh , 2/n020ZnZhhnnn正交小波：緊支撐線性相位？ 定理5.2 緊支撐正交小波，除Haar小波之外，不可能是線性相位的。5.2 雙正交小波的基本性質(zhì) 如果有兩對(duì)函數(shù) 與 ，其中，尺度函數(shù) 和 分別生成MRA 和MRA ，而 和 則分別張成在下述意義上的補(bǔ)空間 和 ： 并且它們之間還滿足如下正交關(guān)系： 那么這兩對(duì)函數(shù)稱為互為對(duì)偶的雙正交小波。 ( ,) ( ,) jVjVjWjW11;jjjjjjVVW VVW(), ()(), ()mmxx mxx m (),()0(),()0 xxmxxm ;jjjjVVWW;jjjjVWVW5.2.2 雙正交小波的二尺度關(guān)系 二尺度關(guān)系

4、)2(2)()2(2)()2(2)()2(2)(kxgxkxhxkxgxkxhxkkkk)2( )2()( )2( )2()( )2()2()()2()2()(GHGH0)()()()(0)()()()(1)()()()(1)()()()(GHGHGHGHGGGGHHHH令)()()()(HeGHeGjj那么1)()()()(HHHH雙正交基本條件( )( )HH若令那么22( )()1HH正交基本條件1111( 1);( 1)kkkkkkghgh 5.2.3緊支撐線性相位雙正交小波的 和 之間的長(zhǎng)度關(guān)系定理5.3 序列 ，除 之外，所有下標(biāo)為偶數(shù)的元素取值為0。證明：利用雙正交基本條件khk

5、hnp10p:nkk nkph h 和 的長(zhǎng)度 和 之間的關(guān)系 （1）兩者長(zhǎng)度均為奇數(shù)，并且長(zhǎng)度相差的奇數(shù)倍，因而兩者不可能等長(zhǎng)。小波 和 是一對(duì)偶對(duì)稱雙正交小波。 khkhLL12;12KLKLkkkkhhhh;2kkgg2kkgg（2） ； 兩者長(zhǎng)度均為偶數(shù)，并且長(zhǎng)度相差的偶數(shù)倍，兩者等長(zhǎng)是可能的 。小波 和 是一對(duì)反對(duì)稱雙正交小波。2LKKL2kkkkhhhh11;1kkgg 1kkgg （3L為奇數(shù), 為偶數(shù)或?yàn)長(zhǎng)偶數(shù), 為奇數(shù) 序列 的終點(diǎn)下標(biāo)和起點(diǎn)下標(biāo)關(guān)于奇偶性出現(xiàn)矛盾，故此種情況不存在 LLnp5.3 構(gòu)造雙正交小波的CDF方法Step1 給定2M，根據(jù)下式計(jì)算Step2Step

6、3 當(dāng) 和 均為偶數(shù)， 當(dāng) 和 均為奇數(shù)，Step4101)(MmmxmmMxQ)2(sin2Q2(sin)(cos) (cos)2QPP) 12 () 12 (2NNMLLNNM222LL 212( )cos(cos )2jNHeP)(cos)2(cos)(122PeHNj( )cos(cos)NHP22( )cos(cos)2NHP function y,t = biofilter1(n) t(1) = sym(1) ;%syms是定義符號(hào)變量 ；sym則是將字符或者數(shù)字轉(zhuǎn)換為字符。 for i= 1:n t(i+1) = t(i) *(n+1-i) /i; end for i=1:n t

7、=t/2; end y= sym(0) ; syms z; n2= floor(n/2) ;%朝負(fù)無(wú)窮方式舍入 for i= -n2:n-n2 y= y+t(n2+i+1)*zi; endfunction y= biofilter2(n,m)k=(n+m)/2;t(1) = sym(1) ;for p= 2:k t(p) = sym(1) ; for j= 1:p-1 t(p) = t(p) * (k-1+p-1+1-j)/j; end endm0=sym( 0) ;syms z;for j= 1: k m0= m0+ t( j) * ( ( z( - 1/ 2) - z( 1/ 2) ) /

8、 ( 2* i) ) ( 2* ( j- 1) ) ;endif n/ 2= fix ( n/ 2)%fix(n)的意義是取小于n的整數(shù)(是向零點(diǎn)舍入） m0= m0* ( ( z( 1/ 2) + z( - 1/ 2) ) / 2) m;else m0= m0* z( 1/ 2) * ( ( z( 1/ 2) + z( - 1/ 2) ) / 2) m;end y= collect( m0) ;%返回系數(shù)整理后的多項(xiàng)式 biofilter2(2,4) ans = 1/4/z+1/2+1/4*z ans = 3/128*z4-3/64*z3-1/8*z2+19/64*z+45/64+19/64

9、/z-1/8/z2-3/64/z3+3/128/z4 biofilter2(4,2) ans = 1/16/z2+1/4/z+3/8+1/4*z+1/16*z2 ans = 3/32*z3-3/8*z2+5/32*z+5/4+5/32/z-3/8/z2+3/32/z3 biofilter2(3,3) ans = 1/8/z+3/8+3/8*z+1/8*z2 ans = 3/64*z4-9/64*z3-7/64*z2+45/64*z+45/64-7/64/z-9/64/z2+3/64/z3 biofilter2(1,5) ans = 1/2+1/2*z ans = 3/256*z5-3/256*

10、z4-11/128*z3+11/128*z2+1/2*z+1/2+11/128/z-11/128/z2-3/256/z3+3/256/z4 biofilter2(5,1) ans = 1/32/z2+5/32/z+5/16+5/16*z+5/32*z2+1/32*z3 ans = 3/16*z3-15/16*z2+5/4*z+5/4-15/16/z+3/16/z2 5.4 基于雙正交小波的分解與重構(gòu) 任給J( )( )( )Jkkjkjkkj Jkf xaxdx)()(2RLxf重構(gòu)基 ( ),( )jkjkaf xx )(),(xxfdjkjk分解基 在雙正交小波情況下，信號(hào)的分解與重構(gòu)采用

11、不同的基 (a) 分解 (b) 重構(gòu)5.5 小波函數(shù)的消失矩性質(zhì) 定義5.1 當(dāng)小波函數(shù) 滿足如下條件時(shí) 稱 具有N階消失矩 定理 5.4 具有N階消失矩，那么 以 為其N(xiāo)重零點(diǎn)。 推論5.2 具有N階消失矩，那么 以 為其N(xiāo)重零點(diǎn)。( )x( )0pxx dx0,.1pN ( )x ( )x( ) 0( )x( )H5.5.2 小波函數(shù)的光滑性與消失矩的關(guān)系 數(shù)學(xué)上用函數(shù) 的頻譜 在 足夠大時(shí)的衰減快慢來(lái)刻畫(huà) 的光滑程度 定義5.2 如果存在盡可能大的正常數(shù) ，使 成立，則稱 具有光滑指數(shù) ，并記為 越大，則表明 衰減愈快，因此 的 頻域定域性愈好 ( )(1)fd ( )f x( )f x

12、C( )f x( )f( )f x( )f( )f x5.6 提升方案 1994年Wim Sweldens提出了一種新的小波構(gòu)造方法提升方案(lifting scheme)，也叫第二代小波變換(second generation wavelet transform, SGWT)或整數(shù)到整數(shù)小波變換(integer-to-integer wavelet transform, ITIWT)。 第二代小波變換構(gòu)造方法的特點(diǎn)是： 1、繼承了第一代小波的多分辨率的特性； 2、不依賴傅立葉變換, 直接在時(shí)域完成小波變換； 3、小波變換后的系數(shù)可以是整數(shù)； 4、圖象的恢復(fù)質(zhì)量與變換時(shí)邊界采用何種延拓方式無(wú)關(guān)

13、。 定理5.6 對(duì)于一對(duì)給定的雙正交尺度函數(shù) 和 ，其相應(yīng)的二尺度系數(shù)序列為 和 ，那么所有滿足如下條件 的序列 將與序列 也滿足雙正交關(guān)系。式中 是一個(gè)三角函數(shù)多項(xiàng)式。 )0(h)0(hh(0)( )( )() (2 )jHHeHS h)(S提升方案的基本公式(0)( )( )( ) (2 )HHGS(0)( )( )( ) (2 )GGHS簡(jiǎn)單的提升步驟：知：任何一對(duì)雙正交尺度函數(shù) 和 (對(duì)應(yīng)于 和 )，步驟：選擇合適的三角多項(xiàng)式 并根據(jù)下式獲得新的 和新的)0()(H)()0(H )(S)(H)(G(0)( )( )( ) (2 )HHGS(0)( )( )( ) (2 )GGHS用戶定

14、制用戶定制custom_design)從haar小波出發(fā)的提升知：要求：提升后小波具有二階消失矩提升：依據(jù)定理5.4，提升后的小波所對(duì)應(yīng)的 在 應(yīng)具有二重零點(diǎn)，由此獲得三角多項(xiàng)式 的具體表達(dá)式，并代入提升方案的基本公式即可。 21,21)0(hh(0)1( )( )(1)2jHHe(0)1( )( )( 1)2jGGe ( )G)(S0將Lazy小波提升到具有二階消失矩的過(guò)程與此相同 交替提升： 第一次提升：（ 和 不變） 第二次提升： （ 和 不變）()()( )( )( ) (2 )( )( )( ) (2 )oldoldHHGSGGHS)(H( )G ( )H( )G(0)( )( )(

15、 ) (2 )HHGS(0)( )( )( ) (2 )GGHS Sweldens分解和重構(gòu)算法 1、分解算法推導(dǎo))(G(2 )Snny2( -2 )21( )( ) (2 )21122j mjkmkmkjmkj nm knk kkmnkYGSg es eg s egs ekkknnsgy221 按照5.6.3提升 則對(duì)應(yīng)的序列 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分解算法有)(H（5.6.3）(0)2nnnkkkhhgs(0)21,2221,(0)21,2()1,(0)(0)21,jnjnnnk kjnnnknjnnkjnknknnjnkjkjkjknkkahahgs ahagashas das d （4.1.5）nn

16、jnjagd, 12(0)( )( )( ) (2 )HHGS 一次提升的分解步驟 關(guān)于 （ 提升 和 ）： 第一步：用 和 對(duì)輸入信號(hào)按標(biāo)準(zhǔn)算法作一次分解得 第二步：更新)0(h g(0 )(0 )21,jnjnnaha(0),jjkjkkaas d ja ja( )H( )G (0)21,jnjnndga 一次提升的分解步驟 關(guān)于 （ 提升 和 ） 第一步：用 和 對(duì)輸入信號(hào)按標(biāo)準(zhǔn)算法作一次分解得 第二步：更新)0(h g0(0 )21,jnjnndga（）(0), +-jjkjkkdds ajdjd( )H( )G (0)21,jnjnnaha 交替提升的分解步驟(0)(1)(0),(0

17、)(2),jjkjkkjjkjkkaas dddsa(0)(1)(0), +(0)(2),-jjkj l kkjjkjkkdds aaasd2、重構(gòu)算法針對(duì)圖示的分解算法，推導(dǎo)其重構(gòu)過(guò)程( )H)2(Snnx2(+2 )21( )( ) (2 )21122j mjkmkmkjmkj nm knk kkmnkXHSh es eh s ehs e212nnk kkxhs 按照5.6.4提升 則對(duì)應(yīng)的序列 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)重構(gòu)算法有)(H（5.6.4）(0)2nnnkkkgghs（4.2.4）(0)( )( )( ) (2 )GGHS1,22(0)22()jkkjkjkjmjmkjlmlahagdhasdg

18、d 一次提升的重構(gòu)步驟 第一步：計(jì)算 （去提升） 第二步：計(jì)算mjmmjjdsaa) 0(0(0)(0)1,22jkk- ljkjahagd（ ）一次提升的Sweldens重構(gòu)算法 交替提升的Sweldens重構(gòu)算法 作業(yè) 利用Sweldens算法實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解與重構(gòu) 可參考第四章示例程序的信號(hào)和模式給出圖形結(jié)果 使用haar小波或lazy小波的一次提升整型小波變換 提升方案為擴(kuò)展小波變換的應(yīng)用領(lǐng)域提供了更多的靈活性。 常規(guī)的小波變換都是采用浮點(diǎn)運(yùn)算的，但利用提升方案所帶來(lái)的便利，可十分方便地構(gòu)造整數(shù)到整數(shù)的小波變換。 將整數(shù)小波變換用于圖像壓縮就可以用小波變換進(jìn)行無(wú)失真的圖像壓縮。 即位算法In_Place） 以Lazy小波為例，進(jìn)行分解。 在同一數(shù)組 中，偶數(shù)下標(biāo)的單元存放 ，奇數(shù)下標(biāo)的單元存放 ，即 進(jìn)行交替提