1、培訓(xùn)光盤（必修第 4 冊(cè)） 第 8 章 三角函數(shù)1。關(guān)于教材的定位問：三角函數(shù)是數(shù)學(xué) 4 中的重要內(nèi)容，請(qǐng)談?wù)勀銈冊(cè)诰帉戇@部分內(nèi)容時(shí)的指導(dǎo)思想是什么？對(duì)這部分教材你們是怎樣定位的？說明要點(diǎn) ：（1）在編寫教科書時(shí)，首先要對(duì)教材定位，也就是對(duì)這一章的教材有一個(gè)總體 的認(rèn)識(shí)，一個(gè)核心的指導(dǎo)思想。 這個(gè)認(rèn)識(shí)將指導(dǎo)整個(gè)編寫工作。 諸如教育目標(biāo)的 確定，內(nèi)容的取舍，結(jié)構(gòu)的安排，呈現(xiàn)方式的設(shè)計(jì)都是受這個(gè)核心思想的制約的。（2）不同的教材有不同的定位，教材的定位集中地體現(xiàn)在它的引言中。下面我們就從三種教材的引言中，來看它們的“定位”（插入幻燈片：本章目錄、引言）（3）三角函數(shù)雖然是高中數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)內(nèi)容，但

2、是不論是和以往的教科 書還是和其它的實(shí)驗(yàn)教科書相比，我們的教科書都具有鮮明的特點(diǎn)。（4）比較三種教材的引言。原來的教材（老教材）在引言中，舉出了一道數(shù)學(xué)問題，告訴學(xué)生如果學(xué)習(xí) 了三角函數(shù)知識(shí)以后， 會(huì)有更簡便的解法。 進(jìn)而簡要地說明了本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi) 容和意義。設(shè)置背景：一道用三角知識(shí)可以做得更簡便到數(shù)學(xué)（應(yīng)用）題。提出問題：沒有向?qū)W生提出問題。明確任務(wù)：學(xué)習(xí)和研究任意角的三角函數(shù)、三角變形，三角函數(shù)的圖象等知識(shí)。教材 2 的引言 。提供背景：自然界廣泛地存在著周期性現(xiàn)象， 提出問題：如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫這種（周期性）變化的規(guī)律？ 明確任務(wù)： 指出三角函數(shù)就是刻畫周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。

3、我們 要研究三角函數(shù)的意義，性質(zhì)和應(yīng)用。學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是：三角函數(shù)究竟是一種什么樣的函數(shù)？教材的定位是： 學(xué)習(xí)和研究是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型：三 角函數(shù)；蘇教版的引言： 提供背景： 自然界廣泛地存在著周期性現(xiàn)象， 圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是一 個(gè)簡單又基本的例子。提出問題：用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫周期性運(yùn)動(dòng) / 明確任務(wù)：建構(gòu)這樣的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)的起點(diǎn)是： 對(duì)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)（分析）研究 ； 教材的定位是： 展示對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過程， 即建構(gòu)刻畫周 期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的（思維）過程2。教科書的的特點(diǎn)問：教材的定位對(duì)教材的編寫有什么樣的影響， 蘇教版教材有什么樣 的特點(diǎn)？ 答：蘇教版教材把本章定

4、位為 “展示建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 的（思維）過程”，為了保證這個(gè)定位的落實(shí)，或者說，作為定位的具體體現(xiàn)，教材形成了鮮明的特點(diǎn)：1。采用以問題鏈為線索的呈現(xiàn)方式。說明要點(diǎn)1）既然教材要展示“思維過程” ，而思維是從問題開始的，思維的過程就是不斷地提出問題， 解決問題的過程。 所以教材采用了以問題鏈展開的呈現(xiàn)方式。注意提出問題的環(huán)節(jié)，注意問題間的邏輯聯(lián)系，強(qiáng)化目標(biāo)（建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型）的指向作用； （2）例子：任意角三角函數(shù) 任意角三角函數(shù)概念無疑是本部的核心概念。 蘇教版的教材和其它的教材一樣是 在講了“任意角”、“弧度制”以后，通過對(duì)銳角三角函數(shù)的考察后建立起任意角 三角函數(shù)

5、的概念的。 應(yīng)該指出的， 盡管在建立三角函數(shù)概念的程序上看起來是相 同的，只是在具體的處理方法上有些“微妙“的差異，可是不應(yīng)該小看了這里的 差異，因?yàn)檫@些差異正是對(duì)教材不同定位的表現(xiàn)。插入幻燈片：人教版任意角的三角函數(shù) P12；人教版的教材是從討論銳角三角函數(shù)開始的。對(duì)這樣的安排，人們會(huì)問： 問：為什么要討論銳角三角函數(shù)呢？ 回答可能是“為了建立任意角的三角函數(shù)的概念” 。 問：為什么要建立任意角的三角函數(shù)的概念呢？ 回答可能是因?yàn)槿我饨堑娜呛瘮?shù)正是“刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型” 。問：為什么任意角的三角函數(shù)可以刻畫周期性現(xiàn)象呢？可能的回答只能是：你們研究了三角函數(shù)的性質(zhì)就知道了。其實(shí)還有一個(gè)

6、更尖銳的也是更重要的問題，今編者和學(xué)生都無法回答。這就是： 問：研究周期性現(xiàn)象時(shí)， 你怎么會(huì)想到“銳角三角函數(shù)” 的？ 由此可見， 盡管學(xué)生看起來是參與了建立三角函數(shù)概念的活動(dòng)， 但是他們并不知 道這些活動(dòng)的意義！ 造成這種現(xiàn)象的根本原因， 就在于教材的編者根本就沒有想 展示三角函數(shù)建構(gòu)的過程， 而只是想讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)是刻畫周期性現(xiàn)象的 數(shù)學(xué)模型。 也就是說，教材的定位是對(duì)三角函數(shù)的研究， 而不涉及這個(gè)數(shù)學(xué)模型 是如何從對(duì)周期性現(xiàn)象的研究中被建構(gòu)出來的過程。 由于蘇教版對(duì)教材的定位不 同，在處理上也就不同了。插入蘇教版的任意角的三角函數(shù) P12。教材在提出：“怎樣將銳角三角函數(shù)推廣到任意

7、角?”之前，還安排 了一個(gè)問題：“用怎樣的數(shù)學(xué)模型模型建立（x,y）與（r,a）之間的關(guān)系?這就是考察銳角三角函數(shù)的“理由” 。那么，又怎么想到要研究 （x,y ）與（）間的聯(lián)系的呢?這是因?yàn)橛茫╮, a） （x,y ）都可以表示圓周上的點(diǎn)。那么，為什么要表示圓周上的點(diǎn)呢？ 這是為了刻畫圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。那么為什么要刻畫圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)呢?這是因?yàn)樗侵芷诂F(xiàn)象的 “一個(gè)簡單又基本的例子” 為什么要研究周期現(xiàn)象呢?因?yàn)槲覀兊娜蝿?wù)就是要“建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。 ” 這里使用的這是問題串， 它揭示了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思維過程， 在問題 串的指引下， 學(xué)生真正主動(dòng)地參與了建構(gòu)活動(dòng)。 這正是我們把本章定

8、 位為“展示建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型” 的原因。問題串展示了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系。2。以“數(shù)學(xué)地研究”的一般程序來組織、選取教學(xué)內(nèi)容。說明要點(diǎn)（1）教材以現(xiàn)實(shí)世界 中的問題建立數(shù)學(xué)模型對(duì)數(shù)學(xué)模型 進(jìn)行研究利用數(shù)學(xué)模 型解決問題為主線展開。（2）教材充分發(fā)揮學(xué)習(xí)“函數(shù)” 一章的 經(jīng)驗(yàn)在建構(gòu)“刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù) 學(xué)模型”中的作用，在結(jié)構(gòu)上盡可能地與“函數(shù)” 一章相同。（3）為了突出“建構(gòu)一研究一應(yīng)用”這一主線，教材對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容做了 “強(qiáng)干削技”的處理。如，抽出“三角變換”的內(nèi)容，另立一章；把 6種三 角函數(shù)減為3種等等。這樣做一方面可以讓學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)，掌握學(xué)習(xí)的

9、主動(dòng)權(quán)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知 識(shí)的聯(lián)系，加深對(duì)知識(shí)的理解；另一方面又突出了基本的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)地 研究問題的方法，有利于正確的數(shù)學(xué)觀念的形成。插入本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖3, 突出周期性。說明要點(diǎn)：（1）本章的研究對(duì)象是周期性現(xiàn)象，建構(gòu)的是“刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”，在教材中，我們突出了周期性，把它看成是教材編寫的出發(fā)點(diǎn)和歸屬（2）例子：三角函數(shù)的性質(zhì)在很多教材中，總是通過作出三角函數(shù)的圖象，然后再由圖象的觀察得到三 角函數(shù)的性質(zhì)的。對(duì)此，蘇教版的教材做了不同的處理。插入蘇教版：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（P 26）這里的處理有如下特點(diǎn)：（1）首先研究“三角函數(shù)的周期性”，為此專門列了一節(jié);（2）三角函數(shù)的周期性，不

10、是由圖象得到的，而是從三角函數(shù)的定義，從終 邊位置周而復(fù)始的出現(xiàn)，從誘導(dǎo)公式即從以前的研究過程中得到的。相反， 三角函數(shù)周期性的研究為正確起了指導(dǎo)作用。（3） 在正式研究三角函數(shù)的性質(zhì)之前，教科書就從總體上作出了判斷： “周 而復(fù)始的基本性質(zhì)必然蘊(yùn)含在三角函數(shù)的性質(zhì)之中”，因?yàn)槿呛瘮?shù)就是我們 為刻劃周期運(yùn)動(dòng)而建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。這樣的判斷對(duì)不對(duì)呢？這就促使我們來研究三角函數(shù)具有哪些性質(zhì)？首先什么是“周而復(fù)始的基本性質(zhì)？“這樣就 提出了本小節(jié)的問題：如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)的周期性？這樣的編排，不僅為三角函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)提供了問題背景，突出了本章“建立刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”這一主題，而且充分地發(fā)揮

11、了理性思維的作用。周期函數(shù)的定義是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)中，可以從“周而復(fù)始的重復(fù) 出現(xiàn)”出發(fā)，一步步地使語言精確化，通過“每隔一定時(shí)間出現(xiàn)”、“自變量每增加或減少一個(gè)值函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)”等逐步抽象出函數(shù)周期性的定義。(4) 在教學(xué)中應(yīng)該注意的是，本章討論的只是三角函數(shù)的周期性， 在教學(xué)中 不要過多地對(duì)一般的周期性函數(shù)做討論。4。加強(qiáng)幾何直觀，強(qiáng)調(diào)形數(shù)結(jié)合的思想說明要點(diǎn)(1) 三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的， 因此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步 的聯(lián)系。在本章中，充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想.一方面是以形助數(shù)，突出 了幾何直觀對(duì)理解抽

12、象數(shù)學(xué)概念的作用.如在三角函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)中， 注意充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函 數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù) 的圖象；通過角終邊之間的對(duì)稱關(guān)系來研究誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)的圖象理解三角函數(shù)在一個(gè)周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等性質(zhì)；另一方面以數(shù)助形，例如應(yīng)用三角函數(shù)的周期性來簡化函數(shù)圖象的作 圖.(2) 例子：誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)。插入老教材誘導(dǎo)公式的幻燈片在過去的教材中，誘導(dǎo)公式是求三角函數(shù)值的問題引人的。教科書的研究程 序是：(1) 提出的問題：“對(duì)于0°到360°范圍冉非銳角的三角函

13、數(shù)，能否轉(zhuǎn)化成 銳角三角函數(shù)呢？如果能，轉(zhuǎn)化的公式是什么？”(2) 明確問題：要研究特定的角(a與 180°±a, - a，360° - a等等) 之間的三角函數(shù)值的關(guān)系。(3) 研究特定角的終邊的位置關(guān)系；(4) 研究特定角的三角函數(shù)值的關(guān)系，得到誘導(dǎo)公式。問題*24蘇教版是這樣處理的：插入蘇教版誘導(dǎo)公式的幻燈片提出問題：由三角函數(shù)的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等。除此以外還有一些角，它們的終邊具有某種特殊關(guān)系,如關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱等，那么它們之間的三角函數(shù)值之間具有什么樣的關(guān)系呢?解決問題的程序如下:這兩種處理方式的區(qū)別是明顯的：第一

14、、提問題的角度不同。老教材從“計(jì)算求角”提出問題，這和它把三角函 數(shù)看成“變換”的工具這個(gè)認(rèn)識(shí)一致的。這樣的問題就偏離了“研究刻劃周期性 數(shù)學(xué)模型”的中心；而蘇教版中的問題是“從對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究”，這個(gè)主題中派生出來的，是對(duì)“模型“研究的一個(gè)有機(jī)的組成部分。第二、三角函數(shù)的值是由角的終邊的位置決定的，因此從終邊的位置關(guān)系提 出問題就更為合理；第三、蘇教版的處理方式突出了形數(shù)結(jié)合思想。特別是教材中，在小結(jié)時(shí)， 更是深刻地揭示了誘導(dǎo)公式的本質(zhì)，堪稱經(jīng)典：“誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊有某種對(duì)稱關(guān)系的兩個(gè)角三角函數(shù)之間的關(guān)系。換句話說，誘導(dǎo)公式實(shí)質(zhì)是將終邊對(duì)稱的圖形關(guān)系”翻譯“成三角函數(shù)之間的代數(shù)

15、關(guān)系。第四。由于蘇教版教材更好準(zhǔn)確地抓住了誘導(dǎo)公式的本質(zhì)，所以整個(gè)處理過 程，一氣呵成，自然合理，便于理解和記憶。四、教學(xué)建議1。準(zhǔn)確把握教學(xué)要求說明要點(diǎn)：（1）與過去的教材相比， 新教材強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)是一種 “數(shù)學(xué)模型”課程標(biāo)準(zhǔn)提出的教學(xué)要求是： 了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。 借助單位圓理解任意角三角函數(shù) （正弦、余弦、正切）的定義。 借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（n /2 ±a , n±a 的正 弦、余弦、正切），能畫出 y=sin x , y =cos x , y=tan x 的圖象，了解三角函 數(shù)的周期性。 借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦

16、函數(shù)在 0，2n ，正切函數(shù)在（-n /2， n /2 ）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與 x軸交點(diǎn)等）。理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： sin 2x+cos2x=1， sin x/cos x=tan x。結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin（3 x +©）的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或 計(jì)算機(jī)畫出y=Asin （ 3x +©）的圖象，觀察參數(shù) A,®,©對(duì)函數(shù)圖象變化的 影響。會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn) 象的重要函數(shù)模型。（ 2）與以往的三角函數(shù)內(nèi)容相比較，本章提出了對(duì)三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實(shí) 世界的數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)的要求，

17、 加強(qiáng)了對(duì)借助單位圓理解三角函數(shù)的概念、 性質(zhì)， 以及通過建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題等內(nèi)容。" 標(biāo)準(zhǔn)" 刪減了任意角的余切、正割、余割，已知三角函數(shù)求角， 反三角函數(shù)符號(hào)等內(nèi)容。 降低了對(duì)任意角概念， 弧度制概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式， 誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的奇偶性的要求。 這樣的處理， 把重點(diǎn)放在使學(xué)生理解三角函數(shù)及其基本性質(zhì)、 體會(huì)三角函數(shù)在解 決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用上，而對(duì)一些細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容不再 作過多要求。教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)把握好這種變化，遵循 " 標(biāo)準(zhǔn)" 所規(guī)定的內(nèi)容和要求， 不要隨意補(bǔ)充已被刪減的知識(shí)點(diǎn)。 也不要引進(jìn)那些繁瑣的、 技巧性

18、高的變換題目 （例如求定義域、值域;已知sina=m求的其他三角函數(shù)值；用誘導(dǎo)公式進(jìn)行復(fù)雜變 換的問題等）。（3）但是也不能放松基本的技能訓(xùn)練， 應(yīng)該讓學(xué)生記牢并熟練地使用誘導(dǎo)公式， 同角三角函數(shù)關(guān)系式，能用五點(diǎn)法畫出正（余）弦函數(shù)的圖象等，因?yàn)檫@是利用 三角函數(shù)解決問題的基礎(chǔ)。2。注意從數(shù)學(xué)模型的角度來認(rèn)識(shí)三角函數(shù)，突出數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)模型建構(gòu)中的作用。說明要點(diǎn)：（1）要突出數(shù)學(xué)模型思想。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分利用章引言提供的情境，引導(dǎo) 學(xué)生利用學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，自覺地參與建構(gòu)刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的活動(dòng)， 使學(xué)生從學(xué)習(xí)之初就建立起從數(shù)學(xué)模型的角度看三角函數(shù)的意識(shí)，在此基礎(chǔ)上， 要充分注意運(yùn)用三角函

19、數(shù)模型解決實(shí)際問題的教學(xué)， 使學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用三角函數(shù)模 型描述周期現(xiàn)象、解決實(shí)際問題的全過程。（2）要充分發(fā)揮形數(shù)結(jié)合思想方法在本章的運(yùn)用。發(fā)揮單位圓、三角函數(shù) 線、圖象的作用。（3）運(yùn)用和深化函數(shù)思想方法。 三角函數(shù)是學(xué)生在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的又一個(gè)基本初等函數(shù)，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué) l 中學(xué)到的研究函數(shù)的方法為指導(dǎo)來學(xué)習(xí)本章知識(shí)， 即在函 數(shù)觀點(diǎn)的指導(dǎo)下， 學(xué)習(xí)三角函數(shù)， 這對(duì)進(jìn)一步理解三角函數(shù)概念， 理解函數(shù)思想 方法對(duì)提高學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)思維水平都是十分重要的。（4）例：用集合與對(duì)應(yīng)的函數(shù)觀點(diǎn)看三角函數(shù)，這是一種“多對(duì)一”的函 數(shù)；用函數(shù)研究中的基本問題（對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、值

20、域、表示方法、圖象，性 質(zhì)等）來理解學(xué)習(xí)三角函數(shù)的進(jìn)程；在討論 y=Asin（ co x+ © ）的圖象時(shí)，滲透函數(shù) 變換與圖象變換 （平移、伸 ）的關(guān)系。（需要注意分寸）3。以問題為中心，充分發(fā)揮理性思維在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型中的作用。4。恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)。第 9 章 平面向量一、教材定位問：首先請(qǐng)你談?wù)剬?duì)本章教材的定位。對(duì)一種具有豐富的幾何背景與物理背景的近代數(shù)學(xué)模型的研究。說明要點(diǎn)：1）向量是具有深刻的幾何背景和物理背景的數(shù)學(xué)模型；（2）向量是近代數(shù)學(xué)中重要的、基本的概念，也是一種基本的重要的數(shù)學(xué) 工具；向量既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象。作為代數(shù)對(duì)象，向量可以運(yùn)算。 作為幾何對(duì)象，

21、向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何對(duì)象；向量有長度，可 以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。向量由大小和方向兩個(gè)因素確定，大 小反映了向量數(shù)的特征， 方向反映了向量形的特征， 因此， 向量是集數(shù)形于一身 的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)。 向量是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析中的基本數(shù)學(xué)模型，是理解這些數(shù) 學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)： 向量也是重要的物理模型。平面力場(chǎng)、平面位移場(chǎng)以及二者混合產(chǎn)生的 做功問題，都可以用向量空間來刻畫和描述。向量不僅溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，而且，體現(xiàn)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，它 在高中數(shù)學(xué)中的重要地位是不言而喻的。二、教材特點(diǎn)問：教材的定位對(duì)教材的編寫有什么樣的影響，蘇教

22、版教材有什么樣的特點(diǎn)？ 按照數(shù)學(xué)模型研究的一般程序展開教材；說明要點(diǎn)：（1）和函數(shù)、三角函數(shù)類似，本章也是對(duì)一種數(shù)學(xué)模型的研究。教 材也是按照對(duì)數(shù)學(xué)模型研究的一般程序即“建構(gòu)模型研究模型應(yīng)用模 型”的順序展開的。 這樣的編寫順序不僅符合向量知識(shí)的發(fā)展過程， 而且可以喚 起學(xué)生在函數(shù)、三角函數(shù)學(xué)習(xí)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，在助于發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主動(dòng)權(quán)。（2）本章首先現(xiàn)實(shí)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，從大量的實(shí)際 背景中抽象出向量的概念（數(shù)學(xué)模型），然后用數(shù)學(xué)的方法研究向量及其運(yùn)算的 性質(zhì)，最后再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題. 這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā) 展的過程，突出了數(shù)學(xué)的來龍去脈，有助于學(xué)生理

23、解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對(duì)數(shù)學(xué)完 整的認(rèn)識(shí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和理性思維的目的， 同時(shí)也有助于數(shù)學(xué)應(yīng)用 意識(shí)的發(fā)展.（3）以問題為中心，用問題鏈為線索揭示知識(shí)的發(fā)生過程。插入幻燈片向量的線性運(yùn)算用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻劃位移，速度、力這樣的量?這樣的數(shù)學(xué)模型在什么性質(zhì)與應(yīng)用？ 這里的向量0A，AB，OB之間有什么關(guān)系?本章按照如下次序來編排：向量的實(shí)際背景及基本概念-向量的幾何表示和線性運(yùn)算-平面向量基本 定理f向量看坐標(biāo)表示f向量的數(shù)量積f向量應(yīng)用舉例。插入本章結(jié)構(gòu)圖幻燈片丨背景1丨平面向*1右! I幾何表示I I符號(hào)裘示I 坐標(biāo)表奉i二 m II向量的運(yùn)菊i I加法1 I減法I 展棗較量積ij

24、 I'向*的應(yīng)用如何幫當(dāng)然，和函數(shù)這樣的數(shù)學(xué)模型不同，向量這一數(shù)學(xué)模型也有它的特點(diǎn)，在向 量的學(xué)習(xí)中， 學(xué)生會(huì)碰到新的問題， 如何突出向量這一數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)， 助學(xué)生理解向量的核心內(nèi)容，是我們?cè)诰帉懡滩臅r(shí)著重考慮到的問題。問：向量這一數(shù)學(xué)模型具有什么樣的特點(diǎn)呢？特別地，在對(duì)這一數(shù)學(xué)模型的研究中要注意什么問題呢？說明要點(diǎn)：突出向量的物理背景和幾何背景；突出運(yùn)算的核心地位；突出向量與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。說明要點(diǎn)： 突出向量的物理背景和幾何背景；說明要點(diǎn)：1） 教科書特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引人向量概念。插入章引言幻燈片：引言章頭圖中矯健的銀燕連同它身后的航跡，像利箭直插天穹。它使人

25、聯(lián)想到面的問題：怎樣表示運(yùn)動(dòng)物體的位移和速度呢？于是建構(gòu)向量的思維活動(dòng)就此 展開了。引言首先說明了本章的研究課題是第 8 章研究內(nèi)容的拓展。 三角函數(shù)可以看 成是圓周（0）上一點(diǎn)P繞圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。而向量則是為了刻畫更一般的 運(yùn)動(dòng)而建立的數(shù)學(xué)模型。這時(shí)，只有同時(shí)考慮點(diǎn) P 的方向和大小才能確定點(diǎn) P 的位置。接著引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速 度、力等等都是。這樣就從知識(shí)結(jié)構(gòu)和現(xiàn)實(shí)生活兩個(gè)方面為向量的研究提供了廣 闊的背景。在此基礎(chǔ)上，引言提出了問題：用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻劃位移、速度、力 這樣的量？這個(gè)數(shù)學(xué)模型有什么性質(zhì)與應(yīng)用？這就是本章的中心問題，也是本

26、章的知識(shí)增長點(diǎn)。接著教材又以位移為原型，建立了向量的概念，接著用有向線段給出了向 量的兒何背景，并定義向量的模、單位向量等概念。這樣的安排，可以使學(xué)生認(rèn) 識(shí)到向量在刻畫現(xiàn)實(shí)問題、 物理問題以及數(shù)學(xué)問題中的作用， 使學(xué)生建立起理解 和運(yùn)用向量概念的背景支撐。（ 2）在有關(guān)向量的運(yùn)算中， 教材也注意突出向量運(yùn)算的原型。如：以位移的“積累“為原型定義向量的加法和數(shù)乘；以功為原型定義向量 的數(shù)量積。 在研究向量的線性運(yùn)算時(shí)， 充分發(fā)揮有向線段幾何背景的作用。 如用 有向線段來解釋數(shù)乘的幾何意義。 在向量基本定理中， 提供力的分解和速度分解 的背景。（3）在向量的應(yīng)用中，揭示它豐富的背景。 插入向量的數(shù)

27、量積的幻燈片。 突出運(yùn)算的核心地位 說明要點(diǎn) ：（1）運(yùn)算是向量的核心內(nèi)容，對(duì)中學(xué)生來說，根據(jù)現(xiàn)實(shí)的原型，自覺地“構(gòu)造” 運(yùn)算，還是第一次。雖然學(xué)生對(duì)運(yùn)算并不陌生，但是，他們眼中的運(yùn)算只有數(shù)的 運(yùn)算、字母（式）的運(yùn)算。現(xiàn)在要學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算，這對(duì)于運(yùn)算的理解時(shí)一個(gè)突 破；（2）教材在處理向量運(yùn)算的內(nèi)容時(shí)，注意和數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，這樣既可以有 效地利用學(xué)生有關(guān)數(shù)的運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，而且可以幫助學(xué)生發(fā)展對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)。例如：和數(shù)進(jìn)行類比， 在建立了向量的運(yùn)算以后， 研究向量的運(yùn)算 （加、減、 數(shù)乘等等）和它們滿足的運(yùn)算律，在定義了運(yùn)算以后，探討運(yùn)算的應(yīng)用，就都是 很自然的了。（3）和數(shù)學(xué)中的概念一樣， 數(shù)學(xué)

28、對(duì)象的運(yùn)算也是一種數(shù)學(xué)模型， 它也有一個(gè)建 構(gòu)的過程，它同樣是從原型中抽象出來的。教材特別注意展示這個(gè)建構(gòu)過程。如向量的加法就是從位移的積累，從分力和合力的關(guān)系中抽象出來的。特別地，向量的數(shù)量積是以功為原型抽象出來的。（4）我們知道，只有建立了數(shù)的表示方法，才能討論數(shù)的運(yùn)算問題。類似地， 在討論向量的運(yùn)算之前， 必須先要解決向量表示的問題。 由于向量既是代數(shù)對(duì)象， 又是幾何對(duì)象，因而向量具有多種表示方法。 作為代數(shù)對(duì)象，向量可以用一個(gè)“符 號(hào)”表示；作為幾何對(duì)象，向量可以用有向線段表示。在學(xué)習(xí)了向量基本定理以 后，還可以用坐標(biāo)來表示。 實(shí)際上，向量的每一種表示方法， 都建立了一種語言。 對(duì)向量

29、的運(yùn)算也可以用不同的語言來表示。 在教材中，先用幾何語言即有向線段 來表示向量的線性運(yùn)算。 然后再用代數(shù)語言來坐標(biāo)語言來表示。 這樣就使向量成 為聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁， 成為解決現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)問題的工具。（ 5）向量是通過運(yùn)算來解決問題的。向量之所以能解決幾何問題， 是是因?yàn)橄蛄烤哂忻鞔_的幾何背景， 向量的運(yùn) 算及運(yùn)算律具有明顯的幾何意義， 因此涉及長度、 夾角的幾何問題可以通過向蛩 及其運(yùn)算得到解決。 幾何圖形的性質(zhì)， 也可以在向量的運(yùn)算律中得到反映。 例如， 平行四邊形可以看成表示向景加法和減法的幾何模型， 而向量的加法及其交換律 又可以表示平行四邊形的性質(zhì)（在平行四邊形ABCD中, AB

30、/CD AD/ BC,所以 ABDACDB這樣，建立了向量運(yùn)算（包括運(yùn)算律），與幾何圖形之間的關(guān)系 后,可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平, 向量運(yùn)算 （ 運(yùn)算律, 把向量與幾 何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起。 突出向量的工具作用，注意與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系； 說明要點(diǎn)：（1）教材特別注意聯(lián)系實(shí)際，注意向量與相關(guān)學(xué)科（如：力學(xué)、物理學(xué)、 幾何、代數(shù)、三角）的聯(lián)系。注意用向量方法解決各類問題。2）在例題和習(xí)題中都安排了向量在相鄰領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用題。P87頁“閱讀”：向量源自力學(xué)）三、編寫中考慮的幾個(gè)問題1。本章和本模塊其它各章的關(guān)系。（1）三角函數(shù)、平面上的向量、三角變換，一起構(gòu)成了本教學(xué)模塊。對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中廣

31、泛存在的周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)的研究是本模塊的主題。在第 8 章中，我們邁出了對(duì)周期現(xiàn)象研究的第一步： 建立了一種描述和刻劃 周期現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型： 并初步探討了它的性質(zhì)。 而在第 9 章中，又將以向 量為工具來探討三角函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。因此，從整體上看，在新課程中， 向量 的學(xué)習(xí)應(yīng)該放在對(duì)周期性現(xiàn)象的研究這一大背景下進(jìn)行。 這樣可以更好地體現(xiàn)向 量這工具價(jià)值。這種考慮集中地體現(xiàn)在本章的引言中。插入“引言”幻燈片。2。知識(shí)展開的順序說明要點(diǎn)：（1）向量既是幾何對(duì)象，又是代數(shù)對(duì)象。向量的知識(shí)體系有各種不同的展開方 式。如：“先代數(shù)后幾何”的方式。即先講向量的坐標(biāo)表示，從代數(shù)的角度研究 向量的運(yùn)算，然

32、后再把它應(yīng)用到幾何中去： 也可以采用“先幾何后代數(shù)” 的方式。 教科書基本上就是采用的第 2 種方式。（2）第二種方式比較符合中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和抽象思維的水平。也基本上和建 立向量的歷史過程相符。（3）教材以向量知識(shí)發(fā)展的過程為依據(jù)，采用了先形后數(shù)，形數(shù)結(jié)合，逐步 形式化的呈現(xiàn)方式。教材從有關(guān)的背景建立平面向量的概念后， 首先介紹了向量的幾何表示方法， 用有向線段表示向量，并以此為依托，討論了向量的線性運(yùn)算。在這個(gè)過程中， 緊緊地抓住向量的“長度”和“方向”這兩個(gè)要素，在直觀層面，在幾何的層面 上對(duì)向量進(jìn)行研究。這構(gòu)成兒本章的第一段落：接著，我們把向量放到坐標(biāo)系中，建立了向量的坐標(biāo)表示（即代數(shù)

33、表示）方 法，把用幾何方法得到的研究成果，逐一“翻譯”成代數(shù)的語言。這樣就可以用 坐標(biāo)來表示向量（有向線段）的平行，相等等關(guān)系，表示向量的線性運(yùn)算法則， 即將研究的成果形式化。就構(gòu)成了本章的第二段落。最后，教材又從幾何和代數(shù)兩個(gè)層面定義了向量的數(shù)量積。得到了用兩種不 同的語言表示的數(shù)量積的法則， 從而建立起代數(shù)和幾何的聯(lián)系， 這就構(gòu)成了用形 數(shù)結(jié)合的方法研究向量的第三個(gè)段落。（ 4）向量法是一種重要的數(shù)學(xué)方法。 其實(shí)向量法的思想正來從上述過程中抽象出來的。用向量的方法解決幾何問題的主要程序如下：形到向量 向量的運(yùn)算 向量到形 （5）由于向量的概念和運(yùn)算都具有物理的原型， 因此， 上述研究也建立

34、了幾 何，代數(shù)與物理的聯(lián)系。 類似地也可以利用向量解決物理問題。（6）上面的研究程序，實(shí)際上是從代數(shù)層面上對(duì)向量的研究。所有這些，這 樣就得到了用代數(shù)形式表示的，得到了用我們知道，只有建立了數(shù)的表示方法， 才能討論數(shù)的運(yùn)算問題。 類似地， 在討論向量的運(yùn)算之前， 必須先要解決向量表 示的問題。由于向量既是代數(shù)對(duì)象， 又是幾何對(duì)象， 因而向量具有多種表示方法。 作為代數(shù)對(duì)象，向量可以用一個(gè)“符號(hào)”表示；作為幾何對(duì)象，向量可以用有向 線段表示。在學(xué)習(xí)了向量基本定理以后，還可以用坐標(biāo)來表示。實(shí)際上，向量的 每一種表示方法，都建立了一種語言。 對(duì)向量的運(yùn)算也可以用不同的語言來表示。 在教材中， 先用幾

35、何語言即有向線段來表示向量的線性運(yùn)算。 然后再用代數(shù)語言 來坐標(biāo)語言來表示。3。平面向量和空間向量的關(guān)系說明要點(diǎn)：（1）教材中研究的平面向量只是向量的特例。 但是它卻蘊(yùn)含了向量的基本思想， 也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量的基礎(chǔ)， 在選修教材中， 學(xué)生還會(huì)學(xué)習(xí)空間向量， 如何使本 章的學(xué)習(xí)內(nèi)容具有發(fā)展性， 為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)留有空間是編寫教材時(shí)考慮的一 個(gè)問題。（2）以“平面向量基本定理”為例說明。 插入幻燈片平面向量基本定理 在學(xué)習(xí)平面向量基本定理之前，介紹“向量共線定理”作為鋪墊； 在學(xué)習(xí)平面向量基本定理時(shí)，先提供物理背景，進(jìn)而提出（猜想）課題: 在證明定理以后，用思考提出問題：“平面向量基本定理與前面

36、所學(xué)的向 量共線定理，在內(nèi)容和表述上有什么區(qū)別和聯(lián)系？” 在P90的數(shù)學(xué)探究中，提出下面的問題：“給出空間向量定理，并說明理 由。”為學(xué)生的發(fā)展留下空間。插入數(shù)學(xué)探究幻燈片。四、教學(xué)建議1。明確教學(xué)要求； 說明要點(diǎn):（ 1）教學(xué)要求:2 平面向量（約 12 課時(shí)）1）平面向量的實(shí)際背景及基本概念通過力和力的分析等實(shí)例， 了解向量的實(shí)際背景， 理解平面向量和向量相等 的含義，理解向量的幾何表示。2）向量的線性運(yùn)算 通過實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算， 并理解其幾何意義。 通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共 線的含義。 了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。3）平面向量的基

37、本定理及坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義。掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。4）平面向量的數(shù)量積通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式， 會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。（5）向量的應(yīng)用 經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、 力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問 題的過程， 體會(huì)向量是一種處理幾何問題、 物理問題等的工具， 發(fā)展運(yùn)算能力和 解決實(shí)際問題的能力。（2）實(shí)現(xiàn)

38、教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵在于： 清晰準(zhǔn)確地理解概念、運(yùn)算；為此要明確“原型”，“物理意義”，“幾何意 義”； 運(yùn)用向量運(yùn)算解決問題，掌握作為重要數(shù)學(xué)工具的向量。關(guān)鍵在于理解向 量方法的實(shí)質(zhì)。2。讓學(xué)生參與建構(gòu)活動(dòng)；說明要點(diǎn)：（1）要讓學(xué)生參與建構(gòu)向量及其運(yùn)算的活動(dòng)，經(jīng)歷建構(gòu)過程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到 向量是一種描述現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)模型。（ 2）要讓學(xué)生了解向量的物理背景、 幾何背景，知道它的原型。（3）通過建構(gòu)活動(dòng)，讓學(xué)生熟悉向量及其運(yùn)算的幾何意義，物理意義，這是靈 活運(yùn)用向量解決問題的基礎(chǔ)。3。讓學(xué)生明確研究向量問題的基本思路。（1）向雖是代數(shù)的對(duì)象。作為代數(shù)對(duì)象，向量可以運(yùn)算，而且正是因?yàn)橛辛诉\(yùn) 算，向量的

39、威力才得到充分的發(fā)揮：（2）向量又是幾何對(duì)象，所以向量可以刻畫兒何元素 （ 點(diǎn)、線、面，利用向量 的方向可以與三角函數(shù)發(fā)生聯(lián)系：（3）正因?yàn)椋蛄俊耙簧矶巍保詭缀螆D形的許多性質(zhì)會(huì)表現(xiàn)為向量的運(yùn)算 性質(zhì)，這樣我們就可以通過向量的運(yùn)算來描述和研究幾何元素之間的關(guān)系 （如直 線的平行、垂直等），確定幾何圖形的長度、 面積、夾角等等： 例子：在貫穿向量教學(xué)的全過程中， 都要向?qū)W生講清本章研究的總思路， 讓學(xué)生明確向 量研究的基本思路。 特別是在學(xué)完本章后， 更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思， 因?yàn)檫@對(duì)于向量方法的理解 是至關(guān)重要的。（4）讓學(xué)生理解向量方法的實(shí)質(zhì)。建立平面幾何與向量的聯(lián)系， 用向量表示問題中涉及

40、的幾何元素， 將平面兒 何問題摶化為向量問題 ;夾角等問題 ;通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、 把運(yùn)算結(jié)果 "翻譯 "成幾何關(guān)系。第 10 章三角變換1。教材的定位問：首先請(qǐng)你談?wù)剬?duì)本章教材的定位。答：本章的主要教學(xué)內(nèi)容是三角函數(shù)式的恒等變換。其實(shí)只涉及一個(gè)角的恒等變換在三角函數(shù)中已經(jīng)做了研究。插入本章目錄對(duì)教材的定位是：1）是（在第 8章的基礎(chǔ)上） 對(duì)三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型（運(yùn)算）性質(zhì)的進(jìn)一步研究；2）是用演繹方法（借助于運(yùn)算） ，建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一個(gè)范例。說明要點(diǎn)：（1）三角恒等變換公式實(shí)質(zhì)上是三角函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，而運(yùn)算性質(zhì)是函數(shù) 的重要性質(zhì)；是對(duì)函數(shù)研究

41、的一個(gè)方面（可以和對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)類比）（2）如果不研究三角變形就不能發(fā)揮三角的工具價(jià)值；（3）三角變換公式繁多，但相互之間存在著緊密的邏輯聯(lián)系，從一個(gè)公式 出發(fā)，就可以推出其它的公式。 這種類似于公理化的結(jié)構(gòu)， 在中學(xué)數(shù)學(xué)中是不可 多得的。另一方面， 三角恒等變換也是一種演繹推理的方式， 應(yīng)該充分發(fā)揮它在 培養(yǎng)學(xué)生推理能力2。教材特點(diǎn)問：教材的定位對(duì)教材的編寫有什么樣的影響，蘇教版教材有什么樣的特點(diǎn)？答：教材具有下面的的特點(diǎn)把演繹的知識(shí)結(jié)構(gòu)放在“對(duì)周期性現(xiàn)象作數(shù)學(xué)研究”的大背景下展開。本章的教學(xué)內(nèi)容是按照三角變換公式之間的邏輯聯(lián)系展開的。 :C+ 11S +C2S2這是一個(gè)邏輯的演繹的體系

42、， 為了突出三角函數(shù)的主干內(nèi)容， 特別是突出三角函數(shù)作為 描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)，在教科書中，這個(gè)演繹的體系是放在對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行研究的大背景下建立的。 首先，在引言中就從周期運(yùn)動(dòng)合成的角度提出三角變換的課題，在討論了和差角公式以后，教科書又通過鏈接，給出了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)疊加的問題的結(jié)論。本章就構(gòu)成了一個(gè)相對(duì)完整的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用的過程。這樣的安排，有助于學(xué)生從總體上理解三角變換。運(yùn)用問題鏈，展現(xiàn)公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，往往把三角變換單純地視為基本的技能訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)反復(fù)的練習(xí)和操作,重視強(qiáng)調(diào)三角變換的具體方法和技巧，造成了公式頭緒多，練習(xí)習(xí)題難，技巧方法刁的現(xiàn)象。和 過去相

43、比，教科書更重視公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，重視學(xué)生在三角變換中的思維過程，這些過程中的思維活動(dòng)，和指導(dǎo)這些活動(dòng)的思想方法。這和傳統(tǒng)的教學(xué)是有明顯的區(qū)別的。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求， 教科書降低了對(duì)三角變換的要求。特別是不再要求用積化和 差、和差化積、半角公式等作復(fù)雜的恒等變形，而把推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式作 為三角恒等變換的基本訓(xùn)練， 避免任意加大三角變換的難度，防止在三角變換中深挖洞的現(xiàn)象。注意從運(yùn)算的角度看待三角變換。注意從運(yùn)算的角度看待三角變換。把三角變換看成是三角函數(shù)的運(yùn)算。這樣就使的三角變換和運(yùn)算（包括向量的運(yùn)算） 發(fā)生了聯(lián)系。在教科書中，三角變換的公式都是通過運(yùn)算的 方法推導(dǎo)和證明的

44、。在本章最后更從運(yùn)算的角度提出和差化積、積化和差的研究課題。注意突出向量和三角函數(shù)的聯(lián)系。并由此公式作為出發(fā)點(diǎn)，推教科書利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程,導(dǎo)出兩角和與差的正弦、 余弦、正切公式， 二倍角的正弦、 余弦、正切公式。8本章中的三角變換公式都是由余弦的差角公式推導(dǎo)出來的，化歸思想是推導(dǎo)這些公 式的主導(dǎo)思想。 在教學(xué)中，不任是在推導(dǎo)公式時(shí)， 還是在應(yīng)用公式時(shí)， 都應(yīng)該自始至終地貫 徹這一思想。3。編寫中考慮的幾個(gè)問題1。背景的的設(shè)置問：請(qǐng)結(jié)合教材中幾個(gè)重要的問題談?wù)劊銈兪窃鯓犹幚淼摹＠缒銈兪窃鯓犹峁┍菊碌谋尘暗模坎迦胝乱哉f明要點(diǎn)： 這種處理方法體現(xiàn)了（1）本章的研究內(nèi)

45、容與第 8 章的聯(lián)系，是它的深入；（2）體現(xiàn)了向量的作用； 章頭圖、引言 從章頭圖中我們又看到了大海浩瀚的大海中兩朵撞擊的浪花。 這暗示著本章和第 8 章三角函數(shù) 的聯(lián)系。事實(shí)上，本章討論的主題是三角函數(shù)的運(yùn)算， 它可以看成是笫 8 章的延伸和發(fā)展。循著第 8 章的軌跡，在引言中，提出了“周期運(yùn)動(dòng)的疊加”的問題。 （兩個(gè) 簡諧搖動(dòng)疊加后是否還是簡諧掀動(dòng)？）接著，教科書以向量為工具對(duì)一個(gè)特例進(jìn)行了分析， 提出了一個(gè)具體的問題： sinX+COSX能夠恒等變形為 Asin（ 3 x+ © ）的形式嗎？這樣就抓住了本章知識(shí)的增 長點(diǎn)，從此展開了探索活動(dòng)。 這樣的安排， 就為三角變換的教學(xué)提

46、供了一個(gè)大背 景，使它不僅僅是一種抽象的形式的變換， 而且成為“對(duì)周期性現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模 型”（這正是本教學(xué)模塊的這樣一個(gè)大課題）的研究中的重要組成部分。在這個(gè)引言中，還突出了向量作用，為用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式做 鋪墊。2。兩角差的余弦公式的推導(dǎo)問：余弦的差角公式的推導(dǎo)是本章教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教科書是怎樣處理這部分教學(xué)內(nèi)容的？插入P97兩角和與差的余弦答：（ 1）余弦的差角公式的推導(dǎo)是本章教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它不僅是推導(dǎo)正弦的和（差）角公式、正切的和（差）角公式以及倍角公式的基礎(chǔ)，而且其推導(dǎo)過程本身就具有重 要的教育價(jià)值。(2) 課標(biāo)要求：經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一

47、步體會(huì)向量 方法的作用。(3) 為了讓學(xué)生主動(dòng)地參與公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)活動(dòng)，教科書為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)活動(dòng)提供了 廣闊的空間。(4) 從解決引言中的問題出發(fā)， 提出了本節(jié)的研究課題 (問題鏈)教科書在本大節(jié)的引言中首先用向量的方法解決了本章引言中提出的問題， 向量方法推導(dǎo)cos(a -3 )的公式的“預(yù)演”，而且由此提出了本節(jié)的研究課題： 否用a的三角函數(shù)與3的三角函數(shù)來表示？(5) 教科書直接用向量的數(shù)量積的方法來推導(dǎo)余弦的差角公式的，這樣做不僅推導(dǎo)的過程更為簡捷，而且可以更好地揭示向量與三角函數(shù)的聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地學(xué)會(huì)這一重要的方法。(6) 為了讓學(xué)生理解向量方法，教科書做了若干輔墊。(如在向量一

48、章的練習(xí)中，安排了使用向量運(yùn)算的方法推導(dǎo)有關(guān)結(jié)論的練習(xí)題，更在本節(jié)的引言部分，通過利用這種方法這不僅是用COS(a -3 )能n推出了 cosx+sinxyJ2 cos(x )等等)。(7)在提出問題和用向量解決問題之間，教科書用“留白”的方式給學(xué)生的活動(dòng)留下兒空間。在教學(xué)中可以適當(dāng)展示推導(dǎo)公式的思維過程。在正式推導(dǎo)之前，可以讓學(xué)生談?wù)勛约旱南敕ǎ芯亢头治隹赡艹霈F(xiàn)的思路。例如可以向?qū)W生提出如下的問題：a)b)c)cos (a + 3)是否等于 coSa +COS 3?在正式的推導(dǎo)公式之前你能猜出公式嗎？如果不能猜出具體的公式，你能猜出公式所具有的某些特點(diǎn)嗎?說說你推導(dǎo)公式的思路。d)在推出公式之后，還可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)推導(dǎo)過程進(jìn)行反思，欣賞向量方法的美妙。(8)為了讓學(xué)生真正體會(huì)到向量方法的優(yōu)越性，教科書通過“探究”、“思考”、“習(xí)題”等形式給出了推導(dǎo)公式的不同思路。所有這些，都