1、空間向量的應用-求空間角與距離一、考點梳理1 .自新教材實施以來， 近幾年高考的立體幾何大題，在考查常規解題方法的同時，更多地關注向量法（基向量法、坐標法）在解題中的應用。坐標法（法向量的應用），以其問題（數量關系：空間角、空間距離）處理的簡單化，而成為高考熱點問題。可以預測到，今后 的高考中，還會繼續體現法向量的應用價值。2 .利用法向量求空間角和空間距離，其常用技巧與方法總結如下：| AB , CD |I AB | CD |1）求直線和直線所成的角若直線AR CD所成的角是a, cosa=| COS < AB, CD >|3 ）.利用法向量求線面角II設H為直線l與平面0（所成

2、的角，邛為直線l的方向向量V與平面口的法向量n之間的=±時 e =0, l u a或lL|a。計算公式為: 2sin 二-sin( - -) - - cos :=品= |v/a24 ）.利用法向量求二面角iIII4444設ni、n2分別為平面a、P的法向量，二面角 a -1 一 P的大小為日,向量ni、n2的 夾角為中,則有日+呼=冗或8 =中。計算公式為:cosi - -cos 二5 ).利用法向量求點面距離如圖點P為平面外一點，點A為平面內的任一點，平面的法向量為n,過點P作平面ot的垂線PQ記/ OPA=i,則點P到平面的距離d =|PO |三| PA | cos 丁=| PA

3、 11 n . PA | - T UJ|PA|二 I n .A II n IA B, AB在n上的射影長即6 ).法向量在距離方面除應用于點到平面的距離外，還能處理異面直線間的距離，線面 間的距離，以及平行平面間的距離等。 其一，這三類距離都可以轉化為點面間的距離；其二, 異面直線間的距離可用如下方法操作：在異面直線上各取一點 為所求。n為異面直線 AR BC公共垂直的方向向量，可由 n AD =0及n BC = 0求得,教育資料其計算公式為：d =LnABj。其本質與求點面距離一致。|n|向量是新課程中引進的一個重要解題工具。而法向量又是向量工具中的一朵廳葩，解題方法新穎，往往能使解題有起死

4、回生的效果，所以在學習中應起足夠的重視。二、范例分析例1已知ABC皿上、下底邊長分別為2和6,高為J3的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖所示，（1）證明：AC_L BOi ； （ 2）求二面角 O AC Oi的大小。分析：題干給出一個直二面角和一條對稱軸 有著明顯的建系條件；另外給出梯形的邊長、高， 避開二面角的尋找、理推等困撓，只需先求面與面OO1 ,易知 OO1 .LOB , OO1 _L OA ,故 則各點坐標較易求得。用坐標法求解，可OAC的法向量，再用公式計算便可。第（1）問的作用在于證明44 1向量可用由n，AC =0及n 01c = 0求得，只是解出1B _L面OA

5、C ,也就找到了一個法向量；而面 OAC的法x、v、 z關系后，對z的取值要慎重,可先觀察二面角的大小是銳角、直角，還是鈍角。解：（1）證明：由題設知 OO1_LOA、OO1_LOB,所以/AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA1 OB o故可以O為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y 軸、z軸建立空間直角坐標第，如圖，則相關各點的坐標是：A(3,0,0) , B(0,迎，C(0,1,73),。1(0,0, 73),從而, AC -(-3,1,v3) BO1 =(0,-3, 3)AC BOi =3j/ A/ /h7/0的（2）解：因為0C BO1 = 3 +出黑J3=0,所以OC

6、-L BO1。_由（1） AC -L BO1,所以BO1 1平面OAC , BO1是平面OAC的一個法向量。n AC =0 I 3x - y 3z = 0設n =(x, y,z)是平面O1 AC的一個法向重，由= 4n 01c =0y = 0取 z=73,得 6= (1,0,祁)。設二面角0 AC -01的大小為日，由n、B01的方向可知n =< n, B01 > , j 0 廠所以 cos<3 = cos < n, B01=3,即二面角 0-AC01 的大小是|nUBOi |4,3arccos。4感悟：(1)用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統求二面角問題時的三步

7、曲： “找一一證一一求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎淡化了學生的空間想象 能力，但實質不然，向量法對學生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學生創新能力 的培養，體現了教育改革的精神。(2)利用坐標法求解和距離，關鍵是有明顯或較為明顯的建系條件，從而建立適當的 空間直角坐標系一一盡可能多地使空間的點在坐標軸上或坐標平面內，正確表達已知點的 坐標。在立體幾何數量關系的解決中，法向量的運用可以使問題簡單化，其難點在于掌握和 應用法向量解決空間解和距離求法的常用技巧與方法，特別是體會其中的轉化和思想方法。例2.如圖，平面 ABCDL平面ABEF ABC比正方形，ABEF是矩形，1AF =

8、 AD = a,y且 2G是EF的中點，(I )求證平面 AGCL平面BGC(n)求GB與平面AGO成角的正弦值.(出)求二面角 B AC- G的大小.解析：如圖，以A為原點建立直角坐標系，則 A(0,0,0), B(0,2a,0), C(0,2a,2a),G(a,a,0)F(a,0,0)(I)證明：略.TT(II )由題意可得 AG =(a, a,°), AC =(0,2a, 2a)BG =(a, -a,0)BC =(0,0, 2a)設平面AGC勺法向量為n1 = (x1, y1,1),TAG n, =0T 4由 AC R =01axi ay1 =0 一 Wzzji2ay1 2a=

9、0 一X =1% =t = n =(1,-1,1)2a , 6=2a .3 =T(III )因ni =(xi,yi,1)是平面AGC勺法向量,又AU平面ABCD平面ABCDJ法向量AF = (a，0，0),得T T_|cosf= 1P AF J = a =_33|n1| |AF | 揚 3 ,二面角 BAC_GW大小為 arccosy感悟：因為二面角的大小有時為鈍角，有時為銳角、直角，所以在計算之前應先 依題意判斷一下所求二面解的大小，然后根據計算取“相等角”或“補角”。例3如圖，四面體 ABC珅，Q E分另1J BDBC的中點，CACB=CD=BD=2(I )求證：AOL平面BCD(n )求

10、異面直線 AB與CD所成角的大小；(出)求點E到平面的距離.本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所 成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象 能力、邏輯思維能力和運算能力。(I )證明：連結OCBO =DO, AB = AD，. AO _ BD.7 BO =DO, BC =CD，CO _ BD.在AAOC中，由已知可得 AO=1，CO=J3.而 AC =2,. AO2 CO2 -AC2,AOC =90°，即 AO.LOC.BA CDK n.AD-n.AC =(x，y,z).(0,、3,= (x，y，z).( -1,0, -1) = 0,-1)=0,0,3y - z =

11、0.,bd Doc =o, - ao _l平面 bcd(II )解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則 B(1,0,0), D(1,0,0)，-13 T-C(。,、3,。)，&。,。,”(1,萬,0), “十,。,1),。,。).H 士BA.CD2,二 cos < BA, CD >= I l II =二異面直線AB與CD所成角的大小為 arccos4(III )解：設平面 ACD的法向量為n=(x，y，z)，則令y =1,得n =( 73，1, J3)是平面ACD的一個法向量。、：5. 21(2)(3)設平面ABC的法向量為n1=(x, y, z),z軸建立空間直角坐標

12、系.X_2_ _J<1 143又EC =(-, ,0), 點E到平面ACD勺距離2 2例4、如圖，已知三棱錐 O ABC的側棱OA, OB, OC兩兩垂直，且 OA=1 ,OB =OC =2, E是OC的中點.(1)求O點到面ABC的距離；求異面直線BE與AC所成的角;求二面角EABC的大小.解析：(1)以O為原點，OB、OC、OA分別為x、 則有 A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).則由 n1 _ A歐: n1AB = 2x-z = 0;由叫 _ AC知：n1 AC = 2y - z = 0.取n, =(1,1,2),則點。到面ABC的距離為(2)E

13、B =(2,0,0) -(0,1,0) =(2, -1,0), AC =(0,2, -1).-T-22 一cos < EB, AC > =尸=,所以開面直線、5 、55BE與AC所成的角arccos.5T 4 AB 知：n AB = 2x z = 0;貝 U cos < n, n,1 2 4 _ 77.69 J6 3；618(3)設平面EAB的法向量為n =(x,y,z),則由n _LEB 知：n EB=2x y=0.取 n=(1,2,2).由(1)知平面 ABC的法向量為n1 =(1,1,2).7.6結合圖形可知，二面角E - AB -C的大小為：arccos-.例5、在正

14、三角形ABC中，E、F、P分別是ARAGBC邊上的點，滿足AE:EB= CF:FA= CP:PB= 1:2 (如圖1)。將4AEF沿EF折起到 M1EF的位置，使二面角 AEF B成直二 面角，連結A® AP (如圖2)(I)求證:AE，平面BEP(D)求直線 AiE與平面ABP所成角的大小;(出)求二面角 BAiP F的大小(用反三角函數表示)解法：(1)作 AH _L面BCD 于 H ,連 BH、CH、DH , 則四邊形BHCD是正方形，且AH =1,以D為原點，以DB 為x軸，DC為y軸建立空間直角坐標系如圖則 B(1,0,0),C(0,1,0), A(1,1,1).B三工1,

15、0), DA =(1,1,1),- BC DA =0,則 BC 1 AD.(2)設平面ABC的法向量為n1 = (x, y, z),則由口 _L BC知：n1 BC = -x y =0；同理由 n1 _LCA知：n1 CA = x + z = 0.可取 n1 = (1,1, -1).同理，可求得平面 ACD的一個法向量為n2=(1,0,1).由圖可以看出，三面角B-AC-D的大小應等于小，出貝U cos <口，& > =10 1 6 LA , =,即所求二面角的大小是3 .23.6 arccos.設E(x, y, z)是線段AC上一點，則x = z>0,y =1,平面

16、 BCD 的一個法向量為 n =(0,0,1), DE =(x,1,x),要使ED與面BCD成30 口角，由圖可知DE與n的夾角為60°所以 cos < DE ,n > =DE"nx1 2x2=cos60貝U 2x= J1 +2x2 ,解得，x =上，貝UCE故線段AC上存在E點，且CE=1,時ED與面BCD成30*.【解后反思】在立體幾何學習中，我們要多培養空間想象能力，對于圖形的翻折問題， 關健是利用翻折前后的不變量 ，二面角的平面角的適當選取是立體幾何的核心考點之一.是高考數學必考的知識點之一.作,證，解，是我們求二面角的三步驟.作：作出所要求的二面角 證：證明這是我們所求二面角，并將這個二面角進