1、 bxaxDf x y ddxf x y dy 21( )( )( , )( , ) dycyDf x y ddyf x y dx 21( )( )( , )( , )xOD2( )xy 1( )xy yyxyO2( )yx 1( )yx abxD在直角坐標系下二重積分的計算的公式有在直角坐標系下二重積分的計算的公式有dc9.3 二重積分的換元法二重積分的換元法在計算定積分時, 換元法是一種強有力的方法. 在計Df x y d ( , )不易計算時, 算二重積分時, 也常用此法. 特別是二重積分( , )( , )xu vyu v 上的二重積分, 以達到簡化二重積分的計算.1D那么這兩個二重積

2、分有何關(guān)系呢？把 xy 平面內(nèi)區(qū)域 D上的二重積分, 變成 uv 平面內(nèi)區(qū)域(x, y)的特點的特點, 用一個適當(dāng)?shù)淖儞Q用一個適當(dāng)?shù)淖儞Q我們也可根據(jù)積分區(qū)域D的形狀和被積函數(shù)定理定理2 2 若若(x, y)(x, y)在在 xy xy 平面的閉區(qū)域平面的閉區(qū)域DD上連續(xù)上連續(xù), , 且變換且變換( , )( , )xu vyu v (1) 與與 在在 uv 平面的閉區(qū)域平面的閉區(qū)域 上具有一階連續(xù)上具有一階連續(xù)1D(2)它將它將xy平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域D 一對一地變?yōu)橐粚σ坏刈優(yōu)閡v平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 ；1Dx yDJu v 1( , )(3) 0,( , )在區(qū)域上的雅可比行列式則

3、在此變換下, 二重積分為偏導(dǎo)數(shù)； 1( , )( , ) ( , ),( , )( , )DDx yf x y dxdyfu vu vdudvu v 滿足：( , )u v ( , )u v 注注2 換元法計算二重積分的關(guān)鍵是根據(jù)被積函數(shù)換元法計算二重積分的關(guān)鍵是根據(jù)被積函數(shù)(Jacobix yu,v)1,雅可比行列式為對的偏導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成的函數(shù) 行列 注式.記為(x, y)的特點和區(qū)域的特點和區(qū)域 D的形狀的形狀, 構(gòu)造變換式構(gòu)造變換式.注注3 3 的實質(zhì)就是變換前后的實質(zhì)就是變換前后DD與與 的伸縮率的伸縮率( (或比或比J1D例系數(shù)). 111,;1,DDDDJSSJSS 當(dāng)時當(dāng)時xyxyu

4、vvuxxx yuvJu vyyuv ( , )( , )14JD若雅可比行列式 只在內(nèi)個別點上或注一條曲線,上為零 而在其他點上為不為零,則換元公式仍然成立 ,212yxyxDedxdyDxyxy 計算其中 是由 軸軸和直線例所圍成的閉區(qū)域.解 區(qū)域 D 的圖形如右圖解得變換式22vuxvuy 令 u = y x, v = y + xxyODx+ y=2那么 xy 平面上的閉區(qū)域 D 在 uv 平面上的對應(yīng)區(qū)域 Du vvuvv 1( , ),02 ,如右圖：xxx yuvJu vyyuv ( , )( , )且11221122 112yxuyxvDDedxdyedudv 故2012uvvv

5、dve du 2101()2eevdv uvO1Du= vv=2u=v1ee 12 201()2vuvvvedv DAdxdy 解設(shè)所求面積為.D所圍成閉區(qū)域的面積cdab (0,0)二重積分直接化為二次積分較麻煩.現(xiàn)采用換元法. 令,11vuvxyuu 解得 作出區(qū)域 D 的圖形如右圖,yuvxyx xyc xyd yax ybx ,13由直線例計算 1( , ),Du v aub cvd ,如下圖xyODx+y=cx+y=dy=axy=bxdcd那么 xy 平面上的閉區(qū)域 D 在 uv 平面上的對應(yīng)區(qū)域2211(1)( , )( , )1(1)vuux yJu vvuuu 且120 ( ,

6、 )(1)vu vDu DAdxdy 故12(1)Dvdudvu 2(1)bdacduvdvu 22()()2(1)(1)ba dcab 211() ()12bdacvu Ocdabuv1D那么 xy 平面上的閉區(qū)域 D 在 uv 平面上的對應(yīng)區(qū)域21().xyxy dxdy 計算例14解 作出區(qū)域 D 的圖形如右圖現(xiàn)采用換元法. 令,22解得 uvuvxy ,uxyvxy 1( , )11, 11Du vuv ,如右圖x yJu v 11( , )22( , )1122且xyODx+y =1xy =1x+y = 1x+y =1Ouv1111D1 12那么 xy 平面上的閉區(qū)域 D 在 uv 平面上的對應(yīng)區(qū)域12211 () )