1、復變函數小結第一章 復變函數1)掌握復數的定義(引入),知道復數的幾何意義(即復數可看成復數平面的一個點也可以表示為復數平面上的向量)2) 掌握 復數的直角坐標表示與三角表示式及指數表示式的關系.3) 掌握復數的幾種運算: (1) 相等; (2)加法; (3) 減法;(4) 乘法; (5) 除法; (6)開方; (7) 共軛 .需要注意的是開方 : 開n次有n個根. 例題 4) 掌握復變函數的定義,知道復變函數的極限與連續的定義.5) 熟悉幾個常用的基本初等函數及性質: (1)多項式;(2) 有理分式; (3)根式; (4) 指數;(5)三角函數.6)掌握復變函數導數的定義, 因復變函數導數的

2、定義在形式上跟實變函數的導數定義一樣,故實變函數中關于導數的規則和公式在復變函數情況仍適用.7) 復變函數可導的充要條件是:(1) 函數f(z)的實部u 與虛部的偏導數存在,且連續. (2) 滿足 C-R條件 8)知道復變函數解析的定義,復變函數解析,可導及連續的關系. 9) 解析函數的性質: (1) 若f(z)在區域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v的等值(勢)線互相正交.(2)若f(z)在區域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v均為調和函數.(3) 若f(z)在區域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v 不是獨立的,可由己知解析函數的實部u(或v)求出解析函數f(z).具體求法有3種 :1

3、.直接積分法; 2. 湊全微分法; 3.路徑積分法. 10) 解析函數性質的應用: 平面標量場. 11) 知道復變函數中多值性的起源在于幅角,只需對幅角作限定(一般限定在主值范圍,且一般把幅角作限定的復變平面稱為黎曼面.),多值函數就退化為單值函數.第二章 復變函數的積分 1)知道復變函數積分的定義,以及它與實變函數的路徑的關系.2) 掌握單連通區域與復連通區域上Cauchy定理及數學表示式: (1) 其中L為區域的所有邊界線. 對單連通區域(1)可表示為 (2)對復連通區域(1)也可表示為: (3)其中l為區域的外邊界線,ci為區域的內邊界線.(3)式反映對復連通區域的解析函數沿外邊界的積分

4、值與沿內邊界積分的關系. 作為(3)式一個特例: 包含一個奇點的任意一個閉合曲線積分值相同,它為求積分帶來方便.一個重要的積分公式: 其中l 包含a 點. Cauchy定理為本章的重點.3) 解析函數的不定積分.4) Cauchy公式 若對復連通區域 l 為區域的所有邊界線.第三章 冪級數1)了解一般的復數項級數,知道級數收斂的Cauchy判據,絕對收斂與一致收斂的概念,掌握外氏定理及運用.2) 掌握冪級數的一般形式,收斂半徑的計算( ), 知道冪級數在收斂圓內絕對且一致收斂，能逐項求導與積分.3) 掌握解析函數在單連通區域的Taylor 展開式:知道Taylor 展開式是唯一的,即同一個函數

5、在同一區域的展開式不管用什么方法得出其結果是相同的. 熟悉一些基本的Taylor 展開式: 例知道函數在無窮運點的展開式.4) 掌握解析函數在復連通區域的洛朗 展開式:c為環域內任一沿逆時針方向的閉合曲線.知道洛朗 展開式是唯一的,即同一個函數在同一環域的展開式不管用什么方法得出其結果是相同的. 所以對洛朗展開可利用熟悉的一些基本Taylor展開式來處理,例如對有理分式總可以把它分解為一系列最簡單的有理分式()之和,而對能用等比級數來展開(關鍵是滿足公比的絕對值小于1).并與 比較.知道在什么情況下洛朗展開就退化為Taylor展開.5) 掌握孤立奇點的分類方法:(1) 可去奇點:設z0是f(z

6、)的奇點當f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中沒有負冪項,就稱z0是f(z)的可去奇點. 性質 a為常數.(2) m階極點: 設z0是f(z)的奇點當f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有有限項負冪項,其負冪項的最高冪為m,就稱z0是f(z)的m階極點.性質.(4)本性奇點: 設z0是f(z)的奇點當f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有無窮多項負冪項,就稱z0是f(z)的本性奇點.性質知道函數在無窮運點奇點的分類.第四章 留數定理1)掌握留數定理及其計算2) 掌握留數計算的兩種方法(1) 洛朗展開 : 設z0是f(z)的奇點當f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中的負一次冪的系數a-1=Resf(z0).任何情況都適合.(2) 對m階極點作為一個特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),當f(z)為一階極點,主要處理有理分式中分母為單根情況.3) 應用留數定理計算實變函數定積分類型一 1)被積函數為三角函數的有理分式. 2)積分區域為0,2作變換z=ei,當從變到2時,復變數z恰好在單位圓上走一圈.類型二 積分條件: 1) 積分區域為(-,) 2) f(z)在實軸有一價極點bk,且在上半平面除有限個奇點ak外是解析的, 3)當z時,zf(z