1、鄭州輕工業學院20062007學年度第二學期 量子力學課程期末試卷（A）題號一二三四總分得分得分評卷人一、基本概念解釋與簡答題（每題7分，共14分1. 哪些實驗表明電子具有自旋現象？舉例說明電子具有自旋。電子的自旋是在實驗事實的基礎上以假設方式提出的。 實驗事實： 原子的精細結構 塞曼效應 斯特恩蓋拉赫實驗 3分斯特恩革拉赫實驗：現象：K射出的處于S態的氫原子束通過狹縫BB和不均勻磁場，最后射到照相片PP上，實驗結果是照片上出現兩條分立線。2分解釋：對于基態氫原子，,沒軌道角動量，因此與磁矩無相互作用， 應連續變化，照片上應是一連續帶，但實驗結果只有兩條, 說明是空間量子化的，只有兩個取向，所

2、以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩,即自旋磁矩。 2分2. 為什么說軌道角動量具有空間量子化現象？畫出l =3 時角動量空間量子化分布圖。因為軌道角動量及其分量是取分離值，而不能取任意值。3分 4分得分評卷人二、證明題（共16分）1. 證明： 。 (5分)證明：設任意態函數 4分 1分2. 證明：厄密算符的本征值必為實數。 (5分)證明：設：為厄密算符，為其本征值，因此有， 3分取：， 2分所以：是實數。3. 設電子1、2的自旋分別為：，體系處于對稱波函數為的狀態，證明：總自旋角動量平方Z分量的本征值為。 (6分)證明： , 2分由單一電子本征方程： 2分 2分所以得分評卷人三、計算題（共70分

3、）1. 一維諧振子處在第一激發態，其中，求：（1）粒子的概率密度； （2）幾率最大的位置。 （10分） 解： （1） （5分） （2） 令， (3分)得 （2分）2. 設 ，在表象中，其中，用微擾論求能級修正（準到二級近似），并繪出示意圖。 （20分）解： 2分，對于題設 4分 4分對于 4分 4分圖： 4分3. 已知氫原子在時處于狀態 其中，為該氫原子的第個能量本征態。求：（1）能量的可能值、相應概率及平均值；（2）自旋分量的可能值、相應概率及平均值；（3）寫出時的波函數。 （20分）解 （1）已知氫原子能量為 ， 因為，則氫原子能量的可能值為 ， 3分歸一化：，能量的可能取值為，相應的取值

4、幾率為 3分 能量平均值為 3分（2）將時的波函數寫成矩陣形式 3分 自旋分量的可能取值為，相應的取值幾率為 3分 自旋分量的平均值為 3分 （3）時的波函數 2分 4. 設粒子在寬度為a的一維無限深勢阱中運動，如粒子的狀態由波函數 描寫。求粒子能量的可能值相應的概率及平均值。解：寬度為a的一維無限深勢井的能量本征函數 3分由三角公式： 5分能量本征值 3分 3分出現的幾率 , 出現的幾率 3分能量平均值 3分 鄭州輕工業學院20072008學年度第二學期 量子力學課程期末試卷（B）題號一二三四總分得分得分評卷人一、基本概念解釋與簡答題（每題7分，共14分）1. 解釋斯特恩-革拉赫實驗。答：斯

5、特恩革拉赫實驗能夠說明電子具有自旋角動量：基態氫原子束通過不均勻磁場時，射到照相片，出現兩條分立線。 3分 如磁矩在空間可取任何方向，照片上應是一連續帶，但實驗結果只有兩條, 說明是空間量子化的，只有兩個取向，對S 態 ,沒軌道角動量，所以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩,即自旋磁矩。 4分2. 解釋隧道貫穿現象(要求畫出圖形)，該現象說明微觀粒子具有什么性質？時，電子也有可能穿越勢壘的可能，這表明電子具有波粒二象性。 3分 4分得分評卷人二、證明題（共16分）1. 證明： (5分)證明： 2分 2分 1分 2. 證明： 是線性算符。(5分)線性算符滿足：令 3分 2分2. 設電子1、2的自旋分

6、別為：處于對稱波函數為的狀態，證明：總自旋角動量平方的本征值為。(6分)證明： , 2分由單一電子本征方程： 2分 2分所以 得分評卷人三、計算題（共70分）1. 一維運動的粒子處于的狀態，式中， 求：（1）證明歸一化常量；（2）粒子的概率密度； （3）粒子出現在何處的概率最大？ （10分） 解：（1） , 3分(2) 3分(3) , , 3分 極小值 極大值，所以處概率最大。 2分2. 設一體系未受微擾作用時只有兩個能級；及，現在受到微擾的作用，微擾矩陣元為，；均為實數。用微擾公式求能量至二級修正值。 （20分）解：由微擾公式得 得 4分 4分 4分 能量的二級修正值為 4分 4分3. 一粒

7、子在一維勢場中運動，其勢能分布為，求粒子的能級和對應的波函數。解： 薛定諤方程：， 4分 ， 4分， 令 ， 方程的解為：， 利用邊界條件：得：， 即：， ，（時，無物理意義）, 對應的波函數為：。4分利用歸一化條件：, 得：，4分歸一化后的波函數為：。4分4. 設力學量 F 在某一表象A中的矩陣為， 其中 為常數，求：(1) F 的本征值、正交歸一本征函數。(2) F 的對角化矩陣及其幺正矩陣。 解:1.設力學量 F 在某一表象A中的本征函數為則 F 在A表象中的本征方程為, 2不同時為零的條件是 , 2分, ， 2分歸一化條件 ， 2分同理： 同上，10分鄭州輕工業學院20082009學年

8、度第二學期量子力學課程期末試卷A卷題號一二三四總分得分得分評卷人一、簡答題（每小題8分，共32分）1. 態疊加原理2波函數的統計解釋及波函數的標準條件3. 全同性原理和泡利不相容原理4. 量子力學五個基本假設是什么？得分評卷人二、計算題（共68分）1. 假設一平面轉子角速度為，轉動慣量為I，試用波爾-索莫非條件求其能量可能值 （8分）2. 證明對易關系 （8分3.  設氫原子處于歸一化狀態 求其能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現的幾率和這些力學量的平均值。 （154. 二元矩陣A，B滿足，（1）證明 （2）在B表象中求出A的矩陣 （共15分）5. 在某一選定的一組

9、正交基下哈米頓算符由下列矩陣給出 （1）設c << 1，應用微擾論求H本征值到二級近似； （2）求H 的精確本征值； （3）在怎樣條件下，上面二結果一致。 （共22分）鄭州輕工業學院20082009學年度第二學期量子力學課程期末試卷A卷標準答案一、 簡答題（共32分）1. 態疊加原理：如果和是體系可能的狀態，那么，它們的線性迭加 （c1，c2是復數）也是這個體系的一個可能狀態。2. 波函數的統計解釋：波函數在空間某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成正比。 波函數的標準條件：單值性，有限性，連續性3. 全同性原理：在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物

10、理狀態的改變。泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態。4. （1）微觀體系的狀態可以用一個波函數完全描述，從這個波函數可以得出體系的所有性質。波函數一般應滿足連續性，有限性和單值性三個條件。（2）力學量用厄米算符表示。如果在經典力學中有相應的力學量，則在量子力學中表示這個力學量的算符，由經典表示式中將動量換為算符得出。表示力學量的算符有組成完全系的本征函數。（3）將體系的狀態波函數用算符的本征函數展開（，）：，則在態中測量力學量得到結果為的幾率是，得到結果在范圍內的幾率是。（4）體系的狀態波函數滿足薛定諤方程：，是體系的哈密頓算符。（5）在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互

11、代換不改變體系的狀態。二、 計算題 （共68分）1.（8分） 解：根據波爾-索莫非條件 （2分） （2分）平面轉子能量 （2分）將代入能量公式，得能量量子化公式： （2分）2. （8分）證明：得證3. （15分）解：由波函數可得該狀態所對應各量子數取值為：n=2，l=1，m=0，-1 （3分）能量可能值為： （2分）出現的幾率： （1分）能量平均值： （1分）角動量平方可能取值： （2分）出現的幾率為： （1分）平均值： （1分）角動量Z分量可能取值：，故可取0， （2分）出現的幾率分別為0：；： （1分）平均值： （1分）4. （15分）（1）證明：用左乘， （1分）得（）= （2分）又，故

12、有 （2分）（2）解：B表象中，設B的本征矢（函數）為，則其滿足本征方程， （1分）又由（1）可知，所以，則有，所以B的本征值只有2個： （2分）又因為算符B在自身表象中為對角矩陣，其本征值即為矩陣元，故B算符在其自身表象中的應為一二元矩陣， （1分）設A在B表象中的矩陣為 （1分）根據題中所給條件有下列關系：（i）， （ii）， （iii），由（iii）得，所以b=0，d=0 （2分）則代入（ii）得由可知，則由其余三式可知a=0 （2分）因此A在B表象中的矩陣表示為 （1分）5. （22分）解：（1）近似解c << 1，滿足微繞條件，可取 0 級和微擾 Hamilton 量分別為： （2分）H0 是對角矩陣，是Hamilton H0在自身表象中的形式，所以能量的 0 級近似為：E1(0) =1 ,E2(0) =3, E3(0) = -2 （1分）由非簡并微擾公式