1、4.在某種環境下貓頭鷹的主要食物是田鼠，設田鼠的年平均增長率為r 1 ，貓頭鷹的存在引起的田鼠增長率的減少與貓頭鷹的數量成正比，比例系數為a1；貓頭鷹的年平均減少率為r2 ；田鼠的存在引起的貓頭鷹減少率的增加與田鼠的數量成正比，比例系數為a2。建立差分方程模型描述田鼠和貓頭鷹共處時的數量變化規律，對以下情況作圖給出50 年的變化過程。( 1)設r10.2, r20.3, a10.001, a20.002,開始時有100 只田鼠和50 只貓頭鷹。( 2) r1 , r2 , a1 , a2同上，開始時有100 只田鼠和 200 只貓頭鷹。(3)適當改變參數a1, a2(初始值同上)( 4)求差分

2、方程的平衡點，它們穩定嗎？解： 記第k代田鼠數量為Xk ,第k代貓頭鷹數量為yk,則可列出下列方程：xk+1 =xk+(r1-yk*a1)*x kK+1 =yK+(-r2+XK*a2)*y K運用 matlab 計算，程序如下：function z=disiti(X0,y0,a1,a2,r1,r2)X=X0;y=y0;for k=1:49X(k+1)=X(k)+(r1-y(k)*a1)*X(k);y(k+1)=y(k)+(-r2+X(k)*a2)*y(k);endz=X',y'( 1)z=disiti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z

3、(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),'r')得到如下結果：z =100.000050.0000115.000045.0000132.825041.8500153.831340.4125178.380840.7221206.793043.0336239.252547.9216275.637656.4758315.198370.6668355.963994.0149393.6908 132.7422420.1696 197.4383421.2459304.1220377.3850469.1057275.8285682.4408142.7576854.18

4、1949.3682841.809217.6832672.38369.3300494.44836.5828355.34025.5602253.41645.2632180.20965.3674128.04365.753691.00516.380764.75087.243746.15188.358132.97499.754123.633611.474417.004613.574212.293516.12218.939219.20246.545722.91724.833327.38993.604932.76912.720939.23382.082946.99881.621556.32241.28756

5、7.51431.046380.94650.873797.06510.7530116.40510.6733139.60770.6280167.44160.6150200.82690.6364240.86450.7011288.86850.8286346.40291.0587415.31671.4745497.76772.2570900800 -700 -600 -500 -I400 、' */ I / I |/300 -200 -/ I / JI100 -0 Jc105101520253035404550紅線為貓頭鷹數量曲線，藍線為田鼠曲線(2)z=disiti(100,200,0.00

6、1,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),'r')z =100.0000100.0000102.0000105.8760111.5459118.9610128.0906138.9010151.3273165.2367180.3771196.3091212.3165227.2997239.6737247.3278247.7713200.0000180.0000162.0000146.4480133.5243123.2551115.6037110.5381108.0844108.3713111.673711

7、8.4584129.4298145.5610168.0647198.2066236.7886238.6561 283.0909218.8260 333.2864189.6595 379.1639155.6793 409.2388123.1052 413.887296.7745 391.624478.2302 349.935666.5007 299.706059.8702 249.655556.8973 204.652756.632658.527262.305467.871475.251984.563195.9905109.7770126.2121145.6183168.3287194.6461

8、224.7665258.6395295.7109334.4547371.5513400.5521410.1726166.5452135.4454110.666391.256676.267164.865456.376250.286546.241244.041243.655345.255649.296556.668068.980789.0832121.9469175.9818264.1671383.8530 401.6251306.4586 589.4677187.1029 773.922279.7204 831.351730354045508007006005004003002001000 L&

9、#39;110510152025紅線為貓頭鷹數量曲線，藍線為田鼠曲線當a1,a2分別取0.002,0.002時，得到如下圖像：45040035030025020015010050 005101520253035404550可見，當a1,a2參數在一定范圍內改變時，貓頭鷹與田鼠數量在一定范圍內震蕩，且不滅絕。4 4)令 xK =xK+1=x;yK=yK+1 =y解方程得到如下結果：x=150y=200經 matlab 驗證如下：z=disiti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),'

10、;r')z =1502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001502001

11、502001502002001195 -190185 -180 -17517016516015550150 051015202530354045由此可知：平衡點為：x=150 y=2005 .研究將鹿群放入草場后草和鹿兩種群的相互作用。草的生長遵從Logistic規律，年固有增長率0.8,最大密度為3000 (密度單位)，在草最茂盛時每只鹿每年可吃掉1.6 (密度單位)的草。若沒有草，鹿群的年死亡率高達 0.9,而草的存在可使鹿的死亡得以補償，在草最茂 盛時補償率為1.5。作一些簡化假設，用差分方程模型描述草和鹿兩種群數量的變化過程， 就以下情況進行討論：(1)比較將100只鹿放入密度為100

12、0和密度為3000的草場兩種情況。(2)適當改變參數，觀察變化趨勢。解：設1.單獨立生存，獨立生存規律遵從 Logistic 規律；2 .草場上除了鹿以外，沒有其他以草為食的生物；3 .鹿無法獨立生存。沒有草的情況下，鹿的年死亡率一定；4 .假定草對鹿的補償率是草場密度的線性函數；5 .每只鹿每年的食草能力是草場密度的線性函數。記草的固有增長率為r,草的最大密度為N,鹿獨立生存時的年死亡率為d,草 最茂盛時鹿的食草能力為a,草對鹿的年補償作用為b;第k+1年草的密度為% ,鹿的數量為乃1 ,第k年草的密度為 ,鹿的數量為網0草獨立生存時，按照Logistic規律增長，則此時草的增長差分模型為M

13、 ，但是由于鹿對草的捕食作用，草的數量會減少，則滿足如 下方程：(& L2,)(1)鹿離開草無法獨立生存，因此鹿獨立生存時的模型為 "*久=-打匕但是草的 存在會使得鹿的死亡率得到補償，則滿足如下差分方程：嚕以(一)(2)另外，記初始狀態鹿的數量為 加，草場密度初值為 演。各個參數值為:r = 0.3, 17= 3000 , =0,9 , “1.6 , b = 1.5利用MATLA的程序分析計算該差分方程模型，源程序如下：%定義函數diwuti ,實現diwuti-Logistic綜合模型的計算，計算結果返回種群量function B =diwuti(x0,y0,r,N,b,

14、a,d,n)% 描述 diwuti-Logistic綜合模型的函數x(1)= x0;%草場密度賦初值y(1)= y0;%鹿群數量賦初值for k = 1 : n;x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N;y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k); end B = x;y;%， clear allC1 =diwuti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2 = diwuti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k = 0 : 50;plot

15、(k,C1(1,:),'b' ,k,C1(2,:),'b' ,k,C2(1,:),'r' ,k,C2(2,:),'r',),.axis(0 50 0 3000);xlabel('時間/年)ylabel('種群量/草場：單位密度，鹿：頭 )title('圖1.草和鹿兩種群數量變化對比曲線) gtext( 'x0=1000')gtext( 'x0=3000')gtext（'草場密度）gtext（鹿群數量）比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場兩種情況（繪

16、制曲如 圖1所示）：圖1 .草和鹿兩種群數量變化對比曲統 3000斌 2600200013001000500D“母-的昌冊-»»«黠茸05 W 1520253035404550時間再由圖中可以看到，藍色曲線代表草場密度的初始值為 1000時，兩種群變化 情況；而紅色曲線則代表草場密度的初始值為 3000時，兩種群的變化情況。觀 察兩種情況下曲線的演變情況，可以發現大約40-50年左右時間后，兩種群的數 量將達到穩定。使用MatLab計算可以得到，當（醺，"* =600）,即兩種群數量的平 衡點為（1800, 600）。為進一步驗證此結論，下面通過改變相關

17、參數，研究兩種群變化情況，找到 影響平衡點的因素：（1）改變草場密度初始值；300005 W 15202530354045時間再圖工種群數量變化曲線快變草場密度初值)O _ o o O SO005000602 2 11 褶“眼樹昌肝®ssD50圖3種群數量變優曲線做變鹿數量初值) 300005 W 1520253035404550時間再從圖2中可以看到，改變草場的初始密度不會對兩種群數量的平衡點造成影 響。(2)改變鹿的數量初值26002000150010005000由圖2可以看到，鹿初始的數量的改變在 理論上也不會改變最終種群數量的 平衡值。但是，我們可以看到，y0=2000的那條

18、曲線(紫色曲線)，在515區間內 降低到了非常小的值，這顯然是不符合鹿的現實繁殖規律的， 因為鹿的種群可持 續繁殖的最小數量是存在域值的。當種群數量低于這個值時，在實際情況下，鹿 的種群就要滅絕。同樣道理，草場的密度也存在一個最小量的域值，低于這個閾值，草也將滅 絕。綜合上面分析，可以在此得出一個結論：最大密度一定的草場所能承載的鹿的數量存在上限。(3)改變草場的最大密度N,畫圖比較結果；圖4種群數量變化曲線微變草場最大密度M)400035003000200005 W 1520253035404550時間再冰帽旭昌冊點幀小酷r160010005JL0如圖4所示，如果草場密度的最大值 N發生變化

19、，則最終兩種群數量的平衡 點也會發生相應的變化。結論：N值越大，平衡點兩種群的數量就越大；N越小, 平衡點兩種群的數量就越小。(4)改變鹿群獨立生存時的死亡率圖51 .種群數量變化曲線做變死亡率d）3000 kiiii4 2600庭_ 2000 - md=0.95草場密度o O5000JI昌珊宓»諭50100150 200250 300 350400 450500時間再圖52.種群數量變化曲線做變死亡率力水050100150 200250 300 350400 450500時間再“艘.褪®曰冊“香*明祐茸實驗中，改變了鹿單獨生存的死亡率得到如圖 5.1和5.2兩幅圖，可以得

20、出結論: 鹿單獨生存的死亡率越大，則兩種群數量達到平衡點的時間越短；相反，鹿單 獨生存的死亡率越小，則兩種群數量達到平衡點的時間越長（甚至有可能會出 現分叉、混沌）。（5）草場密度對鹿數量的補償作用變化（b變化）圖6種群數量變化曲線做變補償率可從圖中可以看到，如果b增大，則達到穩定點的時間會加長，但如果b減小則會 有一個域值，當b低于域值時，草-鹿種群數量的平衡時將不收斂于同一個平衡 點，出現多值性。6. Leslie種群年齡結構的差分方程模型已知一種昆蟲每兩周產卵一次，六周以后死亡（給出了變化過程的基本規律）。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產卵100個，四周齡的成蟲平均產卵150個。假設每個卵

21、發育成2周齡成蟲的概率為 0.09,（稱為成活率），2周齡成蟲發育成4周齡成蟲的概率為 0.2。假設 開始時，02, 24, 46周齡的昆蟲數目相同，計算 2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲數 目；討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數目的演變趨勢：各周齡的昆蟲比例是否有一個穩定 值？昆蟲是無限地增長還是趨于滅亡？假設使用了除蟲劑，已知使用了除蟲劑后各周齡的成活率減半，問這種除蟲劑是否有效？解：將兩周分成一個時段，設k時段2周后幼蟲數量為：xi（k）, 2到4周蟲的數量為：X2（K）,4到6周蟲數量為：X3（K）。據題意可列出下列差分方程：X1（k+1）=X 2（k）*100+x 3（k）*150 X2（

22、k+1）=x 1（k）*0.09 X3（k+1）=X2（k）*0.2運用matlab編寫的程序如下：function z=diliuti（a,r1,r2,n） x（1） =a;y（1）=a;w（1）=a;for k=1:nx(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;y(k+1)=x(k)*r1;w(k+1)=y(k)*r2;endz=x',y',w'for k=1:n+1 m=x(k)+y(k)+w(k)endplot(1:n+1,x);holdononplot(1:n+1,y,'r');holdplot(1:n+1,w,'k'),

23、grid計算前三年的結果為：z=diliuti(100,0.009,0.2,2)m =300 m =2.5021e+004 m =3.3152e+003 z =1.0e+004 *0.0100 0.0100 0.01002.5000 0.0001 0.00200.3090 0.0225 0.00002.2600e+004(藍線為02周的蟲，紅線為24周的蟲，黑線為46周的蟲)其中，m表示三個不同生長周期的蟲的總數，可見蟲并未滅絕。當年份足夠長時，可觀 察到各年齡段蟲的數量變化：>> z=diliuti(100,0.009,0.2,20)3002.5021e+0043.3152e+0

24、03m =9.7393e+003m =2.1235e+004m =1.4867e+004m =2.1741e+004m =1.9114e+004m =2.3581e+004m =2.3073e+004m =2.6384e+0042.7132e+004m =2.9975e+004m =3.1543e+004m =3.4303e+004m =3.6482e+004m =3.9389e+004m =4.2095e+004m =4.5301e+0041.0e+004 *0.01000.01000.01002.50000.00010.00200.30900.02250.00002.25270.00280.00450.95310.02030.00062.11090.00860.00411.46600.01900.00172.15710.01320.00381.88930.01940.00262.33720.01700.00392.28280.02100.00342.61360.02050.00422.68560.02350.00412.96860.02420.00473.12270.02670.00483.39690.02810.00533.61200.03060.00563.90030.03250.00614.16790.035