1、3.4復合函數的導數復合函數的導數一、復習與引入：一、復習與引入：1. 函數的導數的定義與幾何意義函數的導數的定義與幾何意義.2.常見函數的導數公式常見函數的導數公式.3.導數的四則運算法則導數的四則運算法則.4.例如求函數例如求函數y=(3x-2)2的導數的導數,那么我們可以把平方式那么我們可以把平方式 展開展開,利用導數的四則運算法則求導利用導數的四則運算法則求導.然后能否用其它然后能否用其它 的辦法求導呢的辦法求導呢?又如我們知道函數又如我們知道函數y=1/x2的導數是的導數是 =-2/x3,那么函那么函數數 y=1/(3x-2)2的導數又是什么呢的導數又是什么呢?y 為了解決上面的問題

2、為了解決上面的問題,我們需要學習新的導數的運算我們需要學習新的導數的運算法則法則,這就是復合函數的導數這就是復合函數的導數.二、新課二、新課復合函數的導數復合函數的導數1.復合函數的概念復合函數的概念:對于函數對于函數y=f (x),令令u= (x),若若y=f(u)是中間變量是中間變量u的函數的函數, u= (x)是自變量是自變量x的函數的函數,則稱則稱y=f (x)是自變量是自變量x的復合函數的復合函數. 2.復合函數的導數復合函數的導數:設函數設函數 在點在點x處有導數處有導數 ,函數函數y=f(u)在在點點x的對應點的對應點u處有導數處有導數 ,則復合函數則復合函數在點在點x處也有導數

3、處也有導數,且且 或記或記)(xu )(xux )(ufyu )(xfy ;uyyxux ).()()(xufxfx 如如:求函數求函數y=(3x-2)2的導數的導數,我們就可以有我們就可以有,令令y=u2,u=3x-2,那么那么 從而從而 .結果與結果與我們利用導數的四則運算法則求得的結果完全一致我們利用導數的四則運算法則求得的結果完全一致., 3,2 xuuuy1218 xuyyxux 在書寫時不要把在書寫時不要把 寫成寫成 ,兩者是不完兩者是不完全一樣的全一樣的,前者表示對自變量前者表示對自變量x的求導的求導,而后者是對中間而后者是對中間變量變量 的求導的求導.)()(xfxfx )(x

4、 3.復合函數的求導法則復合函數的求導法則: 復合函數對自變量的導數復合函數對自變量的導數,等于已知函數對中間等于已知函數對中間變量的導數變量的導數,乘以中間變量對自變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.法則可以推廣到兩個以上的中間變量法則可以推廣到兩個以上的中間變量. 求復合函數的導數求復合函數的導數,關鍵在于分清函數的復合關關鍵在于分清函數的復合關系系,合理選定中間變量合理選定中間變量,明確求導過程中每次是哪個變明確求導過程中每次是哪個變量對哪個變量求導量對哪個變量求導,一般地一般地,如果所設中間變量可直接如果所設中間變量可直接求導求導,就不必再選其他中間變量就不必再選其他中間變量. 復合

5、函數的求導法則與導數的四則運算法則要有復合函數的求導法則與導數的四則運算法則要有機的結合和綜合的運用機的結合和綜合的運用.要通過求一些初等函數的導要通過求一些初等函數的導數數,逐步掌握復合函數的求導法則逐步掌握復合函數的求導法則.三、例題選講：三、例題選講：例例1:求下列函數的導數求下列函數的導數:5) 12() 1 ( xy解解:設設y=u5,u=2x+1,那么那么:xuxuyy 21254)( x41210)(xxuxu)()(125254 u解解:設設y=u-4,u=1-3x,那么那么:xuxuyy4)31 (1) 2(xy )( 345u53112)(xxuxu)()(31442)si

6、n1()3(xy 解解:設設y=u4,u=1+v2,v=sinx,那么那么:xvuxvuyy 闡明闡明:在對法則的運用熟練后在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟就不必再寫中間步驟.xvuxvu)(sin)()(241xvucos243xxxcossin)sin(21432xx21432sin)sin( 例例2:求下列函數的導數求下列函數的導數:解解:)()(xxxxxxy12124333(2)51 xxy解解:)()(xxxxy115154)()(1161242233xxxxx43121)( )(xxxy5654151)(xx25411151)()(xxx(3)y=tan3x;解解:)(t

7、an)(tanxxy23)cossin(tanxxx23xxxxxxx223cos)sin(sincoscos)cossin( xxx2213cos)cossin( xx423secsin (4)221) 32 (xxy xxxxxy212132142122212)()()(22132xxy)(解解:2122132)(xx22213214xxxxx)(.2316xxx例例3:如果圓的半徑以如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加的等速度增加,求圓半徑求圓半徑R= 10cm時時,圓面積增加的速度圓面積增加的速度.解解:由已知知由已知知:圓半徑圓半徑R=R(t),且且 = 2cm/s.tR 又圓面積又

8、圓面積S=R2,所以所以=40(cm)2/s.210221010 RtRtRRS|故圓面積增加的速度為故圓面積增加的速度為40(cm)2/s.例例4:在曲線在曲線 上求一點上求一點,使通過該點的切線平行使通過該點的切線平行于于 x軸軸,并求此切線的方程并求此切線的方程.211xy 解解:設所求點為設所求點為P(x0,y0).則由導數的幾何意義知則由導數的幾何意義知:切線斜率切線斜率.,)(|)()(00121102200200 xxxxxfkxx把把x0=0代入曲線方程得代入曲線方程得:y0=1.所以點所以點P的坐標為的坐標為(0,1),切線方程為切線方程為y-1=0.例例5:設設f(x)可導

9、可導,求下列函數的導數求下列函數的導數: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)1() 2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 闡明闡明:對于抽象函數的求導對于抽象函數的求導,一方面要從其形式是把握其一方面要從其形式是把握其結構特征結構特征,另一方面要充分運用復合關系

10、的求導法則另一方面要充分運用復合關系的求導法則. 我們曾經利用導數的定義證明過這樣的一個結論我們曾經利用導數的定義證明過這樣的一個結論:“可導的偶函數的導函數為奇函數可導的偶函數的導函數為奇函數;可導的奇函數的導函可導的奇函數的導函數為偶函數數為偶函數”.現在利用復合函數的導數重新加以證明現在利用復合函數的導數重新加以證明:證證:當當f(x)為可導的偶函數時為可導的偶函數時,則則f(-x)=f(x).兩邊同時對兩邊同時對x 求導得求導得: ,故故 為為 奇函數奇函數.)()()()(xfxfxfxxf )(xf 同理可證另一個命題同理可證另一個命題. 我們還可以證明類似的一個結論我們還可以證明

11、類似的一個結論:可導的周期函數可導的周期函數的導函數也是周期函數的導函數也是周期函數.證證:設設f(x)為可導的周期函數為可導的周期函數,T為其一個周期為其一個周期,則對定義則對定義 域內的每一個域內的每一個x,都有都有f(x+T)=f(x). 兩邊同時對兩邊同時對x求導得求導得: 即即 也是以也是以T為周期的周期函數為周期的周期函數.),()(xfTxTxf ).x (f)Tx (f) x (f例例6:求函數求函數 的導數的導數. 11311)(2xxxxxf闡明闡明:這是分段函數的求導問題這是分段函數的求導問題,先根據各段的函數表達先根據各段的函數表達 式式,求出在各可導求出在各可導(開開

12、)區間的函數的導數區間的函數的導數,然后再用然后再用 定義來討論分段點的可導性定義來討論分段點的可導性.解解:當當x1時時, . 1312)(xxxxf又又 ,故故f(x)在在x=1處連續處連續.2) 1 ()(lim)(lim11 fxfxfxx而而; 2) 1(lim121lim1) 1 ()(lim1211 xxxxfxfxxx;33lim12)1(3lim1)1()(lim111 xxxxxxfxf,11)(lim1) 1 ()(lim11 xxfxfxfxx從而從而f(x)在在x=1處不可導處不可導.1312)( xxxxf四、小結：四、小結： 利用復合函數的求導法則來求導數時利用復合函數的求導法則來求導數時,選擇中間變選擇中間變量是復合函數求導的關鍵量是復合函數求導的關鍵.必須正確分析復合函數是由必須正確分析復合函數是由哪些基本函數經過怎樣的順序復合而成的哪些基本函數經過怎樣的順序復合而成的,分清其