1、§1.1 變化率與導數學案§1.1.1 變化率問題學習目標：1.理解平均變化率的概念; 2.了解平均變化率的幾何意義; 3.會求函數在某點處附近的平均變化率.教學重點：平均變化率的概念、函數在某點處附近的平均變化率.教學難點：平均變化率的概念.教學過程： (一)問題提出問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?hto 分析： (1)當從增加到時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 (2)當從增加到時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 可以看出： 思考: 當空氣容量從V

2、1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度(單位:)與起跳后的時間(單位:)存在函數關系.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?思考計算: 和的平均速度探究: 計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考以下問題:(1)運動員在這段時間內使靜止的嗎？(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？ (二)平均變化率概念1.上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數從到的平均變化率.2.若設, (這里看作是對于的一個“增量”可用代替,同樣)則平均變化率為思考: 觀察函數的圖象平均變化率表示什么?三、典例分析例1 已知函

3、數的圖象上的一點及臨近一點則 .解: 例2 求在附近的平均變化率.解: 四、課堂練習1.質點運動規律為,則在時間中相應的平均速度為 .2.物體按照的規律作直線運動,求在附近的平均變化率.3.過曲線上兩點和作曲線的割線,求出當時割線的斜率.五、課堂反饋1 設函數，當自變量由改變到時，函數的改變量為（）ABCD2 一質點運動的方程為，則在一段時間內的平均速度為（）A4B8C6D63 將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加，則球的表面積增加等于（）ABCD4 在曲線的圖象上取一點（1,2）及附近一點，則為（）ABCD5 在高臺跳水運動中，若運動員離水面的高度h（單位：m）與起跳后時間t（單位：s）的函數

4、關系是，則下列說法不正確的是（）A在這段時間里，平均速度是B在這段時間里，平均速度是C運動員在時間段內，上升的速度越來越慢D運動員在內的平均速度比在的平均速度小§1.1.2 導數的概念學習目標：1.了解瞬時速度、瞬時變化率的概念;2.理解導數的概念,知道瞬時變化率就是導數,體會導數的思想及其內涵;3.會求函數在某點的導數.教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數的概念.教學難點：導數的概念.學習過程：一、創設情景hto (一)平均變化率：(二)探究探究: 計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考以下問題:(1)運動員在這段時間內使靜止的嗎？(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態

5、有什么問題嗎？探究過程: 二、學習新知1.瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度,那么,如何求運動員的瞬時速度呢？比如,時的瞬時速度是多少？考察附近的情況:思考: 當趨近于時,平均速度有什么樣的變化趨勢？結論: 小結: 2.導數的概念從函數在處的瞬時變化率是:我們稱它為函數在出的導數,記作或即說明: (1)導數即為函數在處的瞬時變化率; (2),當時,所以.三、典例分析例1 (1)求函數在處的導數.(2)求函數在附近的平均變化率,并求出該點處的導數.分析: 先求,再求,最后求.解: (1) (2) 例2 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種

6、不同產品,需要對原油進行冷卻和加熱,如果第時,原油的溫度(單位:)為,計算第時和第時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.解: 注: 一般地,反映了原油溫度在時刻附近的變化情況.四、課堂練習1.質點運動規律為,求質點在的瞬時速度為.2.求曲線在時的導數.3.例2中,計算第時和第時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.五、課堂反饋1自變量由變到時，函數值的增量與相應自變量的增量之比是函數（ ）A 在區間上的平均變化率 B 在處的變化率C 在處的變化率D 在區間上的導數2下列各式中正確的是（ ）A B C D 3設，若，則的值（ ）A 2 B . 2C 3 D 34任一做直線運動的物體，其

7、位移與時間的關系是，則物體的初速度是（ ）A 0 B 3C 2 D 5函數， 在處的導數是 6，當時 ， 7設圓的面積為A，半徑為，求面積A關于半徑的變化率。8（1）已知在處的導數為,求及的值。（2）若,求的值.9槍彈在槍筒中運動可以看作勻速運動，如果它的加速度是，槍彈從槍口，射出的時間為，求槍彈射出槍口時的瞬時速度。§1.1.3 導數的幾何意義學習目標：1.了解平均變化率與割線斜率之間的關系;2.理解曲線的切線的概念;3.通過函數的圖像直觀地理解導數的幾何意義,并會用導數的幾何意義解題.教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數的幾何意義.教學難點：導數的幾何意義.學習過程：一、

8、創設情景(一)平均變化率、割線的斜率(二)瞬時速度、導數我們知道,導數表示函數在處的瞬時變化率,反映了函數在附近的變化情況,導數的幾何意義是什么呢？二、學習新知(一)曲線的切線及切線的斜率如圖,當沿著曲線趨近于點時,割線的變化趨勢是什么？我們發現:問題: (1)割線的斜率與切線的斜率有什么關系？ (2)切線的斜率為多少？說明: (1)設切線的傾斜角為,那么當時,割線的斜率,稱為曲線在點處的切線的斜率.這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質函數在處的導數.(2)曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;2)要根據割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切

9、線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多.(二)導數的幾何意義函數在處的導數等于在該點處的切線的斜率,即說明: 求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:求出點的坐標;求出函數在點處的變化率得到曲線在點的切線的斜率;利用點斜式求切線方程.(三)導函數由函數在處求導數的過程可以看到,當時,是一個確定的數,那么,當變化時,便是的一個函數,我們叫它為的導函數.記作:或,即.注: 在不致發生混淆時,導函數也簡稱導數.(四)函數在點處的導數、導函數、導數之間的區別與聯系(1)函數在一點處的導數,就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量

10、之比的極限,它是一個常數,不是變數.(2)函數的導數,是指某一區間內任意點而言的,就是函數的導函數.(3)函數在點處的導數就是導函數在處的函數值,這也是求函數在點處的導數的方法之一.三、典例分析例1 (1)求曲線在點處的切線方程.(2)求函數在點處的導數.解: 例2 如圖3.1-3,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數,根據圖像,請描述、比較曲線在、附近的變化情況.解: 例3 如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度(單位:)隨時間(單位:)變化的圖象.根據圖像,估計時,血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到).解: 下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值:0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率

11、0.40-0.7-1.4四、課堂練習1.求曲線在點處的切線.2.求曲線在點處的切線.五、課堂反饋1曲線在處的（ ）A 切線斜率為1 B 切線方程為 C 沒有切線 D 切線方程為2已知曲線上的一點A（2，8），則點A處的切線斜率為（ ）A 4 B 16 C 8 D 23函數在處的導數的幾何意義是（ ）A 在點處的函數值 B 在點處的切線與軸所夾銳角的正切值C 曲線在點處的切線的斜率 D 點與點（0，0）連線的斜率4已知曲線上過點（2，8）的切線方程為，則實數的值為（ ）A 1 B 1 C 2 D 25若，則（ ）A 3 B 6 C 9 D 126設為可導函數，且滿足條件，則曲線在點（1，1）處的切線的斜率為