1、§8-1 引 言一、 變換域分析的目的變換域分析的目的，在于將原來的求解問題簡化。對于連續時間系統，通過L.T.，可以將原來求解微分方程的問題轉變為求解代數方程的問題；對于離散時間系統，通過Z變換（Z.T.），可以將原來求解差分方程的問題轉變為求解代數方程的問題。二、 Z變換的發展史 十八世紀，DeMoivre提出生成函數，并應用于概率論； 十九世紀Laplace、二十世紀Seal對其進行了進一步深入研究； 二十世紀六十年代起，由于計算機技術和控制技術的飛速發展，抽樣控制理論的應用，離散信號處理和數字信號處理得到了廣泛應用。作為離散時間系統分析的重要工具，Z.T.得到了很大的發展，其

2、用途甚至超過了L.T.三、 離散時間序列的頻域分析方法離散時間系統和離散時間序列也可以通過正交分解的方法，在頻域進行分析。離散系統也有頻率響應（對各種頻率的離散正弦信號的響應）。傅利葉變換的離散形式離散傅利葉變換（DFT）在離散時間系統分析中同樣占用很重要的地位，而DFT的快速算法FFT的提出使得DFT在各種信號處理場合得到的廣泛的應用。除了DFT以外，其信號分析方法，如沃爾什變換等，在離散信號處理中同樣得到的很廣泛的應用。§8-2 Z變換及其性質一、 Z變換的定義Z變換的定義可以從純數學的角度進行，也可以通過信號分解的角度提出。后者更加容易理解。本課程中，通過連續時間系統的F.T.

3、，導出Z.T.。離散時間信號f(k)可以看成是連續時間信號通過抽樣而得到的沖激序列：>對其進行F.T.：根據Dirichlet條件，只有在信號滿足絕對可積條件這里可以變成絕對可和條件：時，FT才存在。如果不滿足，可以利用LT中的方法，在信號上首先乘以一個衰減因子，然后再求FT。這樣一來上式就可以變成為：為了簡化，假設T=1，則：設，帶入：上式稱為序列f(k)的Z變換。F(z)由被稱為序列f(k)的生成函數，用它可以導出f(k)。l 上面的推導反映了抽樣信號的FT與用其沖激序列的強度構成的信號序列的ZT之間的關系，即： 而抽樣信號的LT與用其沖激序列的強度構成的信號序列的ZT之間的關系為：

4、l 如果實際抽樣序列的抽樣間隔T不等于1,則上面兩個關系變為： ，l 在某些情況下，Z變換的求和限可以簡化：1、 如果f(k)是一個左邊序列（其在k<0時才有非零值），則： 2、 如果f(k)是一個右邊序列，則： 3、 如果f(k)是一個有限長序列，則： 二、 單邊Z變換與雙邊Z變換上面的Z變換中的求和在（-，0）和0，+）中進行，稱為雙邊Z變換。實際工作中，信號是有始信號，系統也是因果系統，其單位函數響應也是一個有始信號，所以只要考慮0，+）一邊就可以了，響應的變換稱為單邊Z變換：與單邊LT一樣，單邊Z變換也是我們研究的重點。三、 Z變換的收斂域 和LT一樣，ZT也有收斂域的問題。ZT

5、是一個級數求和問題。ZT存在意味著級數收斂。Z變換的收斂域也就是使這個級數收斂的全部z的集合。1、 級數收斂的判別方法：1） 比值法：2） 根值法：2、 幾種常見序列的收斂域：1） 有限長序列：a、 當,收斂域b、 當,收斂域c、 當,收斂域2） 右邊序列：利用根值法，有：所以，右邊信號的收斂域為是半徑R、圓心在原點的圓以外的全部區域。例821例821： 單邊指數序列的收斂域。解：用上面的結論（根值法）：（也可以用一般等比序列求和的方法求解）思考：如果右邊序列的起始點不在0,收斂區間應該怎樣？提示：收斂域是否包含+？3） 左邊序列同上可得左邊序列的收斂域為：即左邊信號的收斂域為是半徑R、圓心在

6、原點的圓以內的全部區域。例822例822： 單邊指數序列的收斂域。解：用上面的結論（根值法）：（也可以用一般等比序列求和的方法求解）思考：如果左邊序列的起始點不在-1,收斂區間應該怎樣？提示：收斂域是否包含原點？4） 雙邊序列與連續時間系統一樣，雙邊序列也可以看成右邊序列和左邊序列之和，收斂域為兩個序列的公共收斂域。收斂域可能存在（當兩個序列的收斂域公共區間時），也可能不存在（當兩個序列的收斂域沒有公共區間）。如果存在，其收斂域為一個環行區域。例823例823： 求序列的收斂區。解：它的收斂域為左邊序列和右邊序列的公共收斂區間，1、 當時，兩者沒有公共收斂區間，Z變換不存在。2、 當時，收斂域

7、為四、 常見序列的單邊ZT1、 單位函數： ，收斂域：全平面2、 單位階躍信號： ，收斂域：3、 單邊指數序列： ，收斂域：4、 單邊正弦和余弦序列： 可以通過上面指數序列推導出。其它常見ZT：見P61,表8-1例824例824： 求左邊指數序列的變換。解：這個序列的z變換可以直接用定義求解，而且非常方便。但這里為了說明如何通過右邊序列的z變換求解，按照下列步驟求得：（1）令,將原信號反褶同時補齊，這樣完整的右邊序列為（2）對求Z變換，由式(88a)可得，收斂區：（3）令代入上式則得,收斂區：例825例825： 求雙邊指數序列的變換。解：將雙邊序列分解為左邊序列和右邊序列之和，即：其中右邊序列

8、的Z變換已由式(88a)給出為，根據（8-10），不難得到左邊序列的Z變換和收斂區： ,綜合上面的結論，可以得到：（1） 當時，由于左邊序列與右邊序列的Z變換沒有公共的收斂區，此時該序列不存在雙邊z變換。（2） 當時，左邊序列與右邊序列的Z變換存在公共的收斂區，此時該序列的雙邊z變換為： 有兩個極點，其中處的極點是由右邊序列產生的，它處于收斂邊界的內部；處的極點是由左邊序列產生的，它處于收斂邊界的內部。五、 左邊和雙邊序列的ZT計算方法：1、 左邊序列ZT求法： 由此可以得到由右邊序列計算左邊序列ZT計算方法：1） 將序列f(k)反褶，稱為右邊序列f(-k)；2） 求f(-k)的單邊ZT，假設

9、為，收斂域為；3） 得到左邊序列的ZT：，收斂域為2、 雙邊序列ZT求法：與雙邊信號的LT一樣，可以將雙邊序列分解為左邊序列和右邊序列之和，分別求解。例：求的ZT解：其中：1），收斂域：2）為了求，a、 將信號反褶，成為新的右邊序列：b、 求右邊序列ZT：，收斂域：c、 得到原序列ZT：，收斂域：4） 綜合得到雙邊序列的LT：a、 如果，則f(k)的雙邊ZT不存在；b、 如果，則f(k)的雙邊ZT為：收斂域：六、 ZT性質：1、 線性2、 移序特性：1） 單邊ZT移序特性：a、 增序： b、 減序： 推廣：l 移序算子S的作用相當于乘z;l 移序計算不影響收斂域；l 移序特性與LT中的微分特性

10、很相似：l 減序計算中，默認信號是一個右邊序列。如果f(k)是一個雙邊序列，則有： 2） 雙邊序列移序： ， 3、 （z域）尺度變換特性：4、 （z域）尺度變換特性：例：求斜變函數的ZT。5、 卷積定理：6、 初值和終值定理：在f(0)存在的條件下，在f()存在的條件下，§8-3 反Z變換反Z變換有三種方法：1） 級數展開法；2） 部分分式展開法；3） 留數法。四、 級數展開法：將F（z）表示成Z變換的原始形式，將各個元素與f(k)對號入座。實現途徑：長除。例：求的原函數。l 用這種方法容易求得信號的前面的幾個點上的值，但是無法得到解析表達式。l 用這種方法可能得到多個解。l 這種方

11、法無法與收斂域相結合，得到正確的原函數。二、 部分分式展開法：同LT中的Heaviside分解法。1、 其用到的基本變換為：2、 對進行部分分式展開，對應于上面的基本的ZT公式，就可以得到原函數。3、 也可以采用另外一種基本函數：這時候只要對F（z）進行部分分式展開即可。例：同上。4、 上面討論的是單邊ZT的反變換。與LT一樣，在雙邊ZT中，F(z)的原函數與其收斂區間有關。可以是右邊序列的像函數，也可以是左邊序列的像函數，差別在于收斂域不同。所以，必須根據收斂域，決定部分分式展開式中各項的歸屬。三、 留數法1、 通過計算留數，可以得到原函數：很多教材上將其作為反Z變換的定義： 例：同上。l

12、留數法不僅可以用于計算單邊反Z變換，而且可以用于計算雙邊反Z變換。l 用留數法進行計算，可能會遇到計算z=0點的各階留數的計算，不很方便。l 根據復變函數理論，可以得到另外一種留數法的公式：這個公式因為不要考慮z=0點，所以不用計算z=0點的各階留數。但是它會牽涉到處留數的計算。對于一般的復變函數f(z),有： l 在某些情況下（一般在k大于一定值的情況下），在z=0處無極點，不用考慮z=0點的留數，這時候用原來的公式比較方便；l 在某些情況下（一般在k小于一定值的情況下），在的留數為零，不用考慮z=點的留數，這時候用后面的公式比較方便。例831例831： 設有Z變換式 試用本節所述三種進行反

13、Z變換的方法求原序列。這里是有始序列。解：這里分別用上述三種方法求解。1、 冪級數展開法將進行長除：由長除后的商的系數，得 這是一個數值的序列，可記為 如果對這個序列加以細究，還可看出其規律。但是，要從一個數值序列去找出它的閉合式來，只有在極為明顯的情況下才能做到，在一般情況下是很困難的。所以用冪級數展開法求反變換，一般只能得到序列的頭幾項。2、 部分分式展開法把展開為這里兩個簡單分式的反Z變換可以查表得到，3、 圍線積分法 用圍線積分法首先要確定收斂區，以確定圍線的位置。這里雖然題目中沒有給出收斂區，但是已知是一個有始序列，所以其收斂區一定處于某個以原點為圓心的圓的外部區間，在有限點上的極點

14、一定都處于收斂邊界內（收斂區內不可能有極點），所以在收斂區內包圍原點的圍線C一定包含了所有的極點。由上面的部分分式，有：因為已知序列是一個有始序列，所以可以直接判定當時。當時,上式只有兩個極點：和。它們的留數分別為 所以可以得到 以上三種解法所得結果均相同。例832例832： 已知，收斂區間為。求原時間序列。解：該題很難用冪級數展開法求解。這里只用其余兩種方法解：1、 部分分式分解法 將展開為部分分式： 由給定的收斂區，可見的極點在收斂邊界內，相應的部分分式項對應為右邊序列。而的極點在收斂邊界外，相應的部分分式項對應為左邊序列。右邊序列由前述單邊Z變換可求得為根據（8-10），可以得到左邊序列

15、的反變換為：將右邊序列與左邊序列合并則構成所求的雙邊序列 2、 圍線積分法 其中帶來兩個極點：和。兩極點上的留數分別為：根據的收斂區，可以確定處的極點一定處于圍線以內的區域，處的極點一定處于圍線以外的區域。這里分兩種情況討論：1） 當時，在原點沒有極點，圍線內只有處有極點。2） 可以得到：2）當時，在圍線內原點處有極點，而且隨著的變換，原點處極點的階數會變化，為此首先計算在無窮遠處的留數：可見，當時，在無窮遠處的留數等于零。這時候，在圍線以外只要考慮處極點的留數就可以了。這時有： 將和時的結果合并，可以得到與部分分式分解法相同的結論。§8-4 ZT與LT關系ZT與LT有很多相似之處，

16、也有很多聯系。一、 理想抽樣信號的LT與其相應的離散序列的ZT之間的關系。 通過§8-2節的推導，可以看出，抽樣信號的LT與用其沖激序列的強度構成的信號序列的ZT之間的關系為： ，或 此時s平面與z平面之間的映射關系為：，或 假設：，則有：，l s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內；l s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外；l s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上；l s平面上的多個點可以映射到z平面的一個點上，相角隨以為周期重復。所以這種映射關系并不是一一對應的。但是，在信號帶寬滿足Nyquist取樣率的情況下，這種多點映射關系并不影響我們分析。二、 一般連續信號f(t)的LT與

17、它抽樣后得到的離散序列的ZT之間的關系。 抽樣 取沖激幅度連續信號>理想抽樣序列>離散序列 F(s) <> F(z)已知信號的F(s),通過可以得到：對f(t)理想抽樣，其沖激幅度序列為：對序列求ZT：l 假設：，則：可見：F(s)在處有極點，而F(z)在處有極點。l 假設（假設沒有重極點），則有： 在F(s)沒有重根的情況下,可以通過部分分解的方法得到F(z)。l 從上面可以看出：F(s)的極點和F(z)的極點之間的關系為：，或 或：，可見，F(s) 和F(z)的極點的映射關系與上面的關系相同。這里同樣有多點映射的問題。§8-5 離散時間系統ZT分析法與LT

18、在連續時間系統中的作用一樣，在離散時間系統中同樣也可以通過ZT，將求解差分方程的問題轉變成為求解代數方程的問題，從而是求解過程得到簡化。但是，它同樣也要引入兩次變換計算。同LT一樣，通過對差分方程取ZT，可以自動引入初始條件，一次性得到系統的全響應。但是，它不宜分清系統的響應的物理含義。在本課程中，依然分和兩部分，討論系統響應的求解方法。一、 的ZT求解法在輸入信號為零的條件下，差分方程變為了一個齊次差分方程。其一般形式為：對其求ZT，可以得到：所以，有了初始條件，就可以通過直接寫出，再由反ZT就可以得到。但是，這種方法比時域解法復雜，因為：1、 形式復雜，難于記憶；2、 要進行反ZT計算。二

19、、的ZT求解法零狀態響應有很多推導方法。教材上提出了直接用這個差分方程的求解方法。這里給出一個更加簡單的方法。為此將差分方程改寫為：然后對方程兩邊求ZT（注意：1、系統初始狀態為零;2、同時激勵信號也是一個有始信號;3、對于因果系統，m<=n）：定義：則：其中，H(z)稱為系統的轉移函數。它可以根據系統的差分方程的系數直接寫出。可見，離散時間系統的零狀態響應的求解方法與連續時間系統中的方法完全一樣，只不過LT變成了ZT而已。這里，同樣可以證明，H(z)是系統的單位函數響應的ZT，即：三、 系統的全響應求解1、通過和分別求綜合上面的結果，可以得到：在實際應用中一般不直接使用這個公式，而是利

20、用其原理進行計算。例：P83，Ex8.6。注意其中的初始條件為零輸入響應下的初始值。2、 直接求解法：對差分方程兩邊直接求ZT，并帶入初始條件。原始差分方程：或：兩邊同時求ZT：注意這個公式與前面公式的差別：1、響應初始條件的含義；2、是否考慮激勵的初始值。四、 離散時間系統的穩定性l 與連續時間系統中的結論相似，離散時間系統穩定的充分必要條件是其單位函數響應絕對可和。l 這要求系統傳輸函數的極點都在單位圓的內部。l 如果系統在單位圓上有單極點，則系統是臨界穩定的。l 如何根據H(z)的分母D(z)的系數判斷系統是否穩定？直接根據D(z)的系數不能判斷其根是否處于單位圓以內。為此引入雙線性變換

21、：將D(z)表示成的函數：這種雙線性變換滿足：1、 這是一個單映射；2、 映射后的函數仍然是一個有理函數；3、 z平面單位圓以外的點映射到平面的右半平面；z平面單位圓以內的點映射到平面的左半平面；所以，只要判斷是否有右半平面內的根，就可以判定D(z)的根是否處于單位圓以內。如何判斷是否有右半平面內的根？依然可以用羅斯-霍維斯法則。§8-6 離散時間系統頻率響應與連續時間系統中的FT方法相似。離散時間系統同樣可以通過信號的正交分解的方法進行分析。離散時間系統和連續時間系統一樣，也可以求其頻率響應。只不過這里的頻率響應是指系統對離散正弦信號或離散復正弦信號的響應。一、 離散時間系統的頻率

22、響應假設對在復正弦信號的激勵下，系統的響應為：可見：l 系統對復正弦信號的響應仍然是同頻率的復正弦信號，其相位和幅度有所變化；l 系統對于復正弦信號的相位和幅度的影響可以由其傳輸函數在z平面單位圓上的值確定。其幅頻響應和相頻響應分別為和：l 與連續時間系統中的結論一樣，其幅頻響應是頻率的偶函數，相頻響應是頻率的奇函數。與連續時間系統不同的是，這里的幅頻響應函數和相頻響應函數都是以為周期的周期性函數。l 這里的T是對實際正弦信號的取樣間隔，而是（連續）正弦信號的頻率。有時我們對這個離散正弦信號對應與何頻率的連續正弦信號在何種取樣率下取樣并不關心，而把（T）作為一個變量統一考慮（用表示，稱為歸一化

23、角頻率）， 這時候歸一化后的頻率響應函數的周期變為。通過它很容易導出系統在任意取樣率條件下的頻率響應。l 同樣的離散時間系統，在不同的取樣頻率下，有著不同的頻率響應。l 在離散時間系統中，同樣有低通濾波器、高通濾波器以及帶通濾波器等。只不過這時候的頻率只考慮在（或）頻率范圍內。二、 離散時間系統頻率響應的畫法：1、 解析法2、 極零圖法三、 幾種特殊的離散時間系統：1、 全通系統：對任意頻率的離散正弦時間信號都有相同的幅頻響應>除了在z=0處的極點外，其余的極點和零點關于單位圓鏡像對稱（即兩者相角相等，幅度互為導數,或）。（思考：如何證明？）2、 最小相位系統：極零點全部在單位圓內。例8

24、61例861： 圖所示的電阻梯形網絡中，若令，則此電路的差分方程為 且具有邊界條件，。求解電路中第k個節點的電壓。解：這里的并不是對應于時間，而是對應于電路節點號，但是依然可以用Z變換求解。對齊次差分方程進行Z變換 由此式解出并代入邊界條件，但暫時還不知道，待后面再解出。 把此式與表81中第16、l7兩個Z變換對相比較，即可看出等式右邊第一項相當于雙曲線余弦的Z變換，第二項相當于雙曲線正弦的Z變換。根據第一項，可以得到： ，根據第二項，有。將上面求出的代入，可以得到：因此，的反變換式為 現在，再用另一邊界條件代入上式,求出，即將它代入式，最后得例862例862： 一受單位階躍信號激勵的系統由以下差分方程描寫 初始狀態是1)，。2),。求系統分別在這兩種初始條件下的響應。解：這里分別在兩種初始條件下求解。1）這里已知系統零輸入響應的初始狀態為零，所以零輸入響應一定都為零，系統只有零狀態響應。將系統方程用移序算子寫成算子式 由此可直接寫出轉移函數為 單位階躍序列的Z變換是