1、xyCH.4CH.5CH.5測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識xyCH.5l第一節第一節 測量誤差概述測量誤差概述l第二節第二節 評定精度的指標評定精度的指標mm）l第三節第三節 誤差傳播定律誤差傳播定律 ( (函數式函數式中誤中誤差函數式差函數式) ) l第四節第四節 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差xyCH.55-1 測量誤差概述測量誤差概述5.1.1 測量誤差及其來源l誤差存在的現象:觀測值與理論值不符，如高差閉合差fh。l 測量誤差：觀測值與相應真值之差。 觀測值：測量所獲得的數值。l 真誤差()關系式： (真誤差)=L (觀測值)X (真值) ， 即：= L X （或：= X

2、L ）例：例： =（L1+L2+L3）- 180 xyCH.5 l 觀測誤差來源：觀測誤差來源：（1儀器、工具的精密程度；儀器、工具的精密程度；（2觀測者的視覺器官的鑒別能力和技術水平；觀測者的視覺器官的鑒別能力和技術水平； （3觀測時的外界條件好壞。觀測時的外界條件好壞。l 觀測條件觀測條件觀測條件：觀測者的技術水平、儀器的精度和外界條觀測條件：觀測者的技術水平、儀器的精度和外界條件的變化這三個方面綜合起來稱為件的變化這三個方面綜合起來稱為 。觀測條件與觀測成果精度的關系：觀測條件與觀測成果精度的關系： 若觀測條件好，則測量誤差小，測量的精度就高；若觀測條件好，則測量誤差小，測量的精度就高；

3、 若觀測條件不好，則測量誤差大，精度就低；若觀測條件不好，則測量誤差大，精度就低； 若觀測條件相同，則可認為觀測精度相同。若觀測條件相同，則可認為觀測精度相同。等精度觀測：在相同觀測條件下進行的一系列觀測等精度觀測：在相同觀測條件下進行的一系列觀測不等精度觀測不等精度觀測:在不同觀測條件下進行的一系列觀測在不同觀測條件下進行的一系列觀測 xyCH.5ll 研究誤差理論的目的研究誤差理論的目的 由于在測量的結果中有誤差是不可避免的，研究誤差理論由于在測量的結果中有誤差是不可避免的，研究誤差理論不是為了去消滅誤差，而是要對誤差的來源、性質及其產生不是為了去消滅誤差，而是要對誤差的來源、性質及其產生

4、和傳播的規律進行研究，以便解決測量工作中遇到的一些實和傳播的規律進行研究，以便解決測量工作中遇到的一些實際問題。際問題。l 研究誤差理論所解決的問題：研究誤差理論所解決的問題： （1在一系列的觀測值中，確定觀測量的最可靠值；在一系列的觀測值中，確定觀測量的最可靠值； （2如何來評定測量成果的精度，以及如何確定誤差的限如何來評定測量成果的精度，以及如何確定誤差的限度等；度等； （3根據精度要求，確定測量方案選用測量儀器和確定根據精度要求，確定測量方案選用測量儀器和確定測量方法）。測量方法）。xyCH.55.1.2 測量誤差的分類測量誤差的分類測量誤差按其性質可分為：測量誤差按其性質可分為： 系統

5、誤差系統誤差 偶然誤差偶然誤差 粗差粗差xyCH.51 1系統誤差系統誤差l定義：在相同的觀測條件下，對某一未知量進行一定義：在相同的觀測條件下，對某一未知量進行一系列觀測，若誤差的大小和符號保持不變，或按照系列觀測，若誤差的大小和符號保持不變，或按照一定的規律變化，這種誤差稱為一定的規律變化，這種誤差稱為 。 l產生的原因產生的原因 ： 儀器工具上的某些缺陷；觀測者的儀器工具上的某些缺陷；觀測者的某些習慣的影響；外界環境的影響。某些習慣的影響；外界環境的影響。l系差的特點：系差的特點： 具有累積性。具有累積性。l 系統誤差對觀測值的準確度偏離真值的程度系統誤差對觀測值的準確度偏離真值的程度影

6、響很大，應盡量消除或減弱它對測量成果的影響。影響很大，應盡量消除或減弱它對測量成果的影響。 l 例：水準測量中例：水準測量中LL/CCLL/CC產生產生l的的i i角誤差對尺讀數的影響：角誤差對尺讀數的影響：l即：即： = a= a a = S tani a = S tanil隨著隨著S S 的增長而加大的增長而加大-系統誤差系統誤差xyCH.5l系統誤差消減方法：系統誤差消減方法： l（1在觀測方法和觀測程序上采取一定的措施。在觀測方法和觀測程序上采取一定的措施。l 水準測量中前后視距相等：消減儀器水準測量中前后視距相等：消減儀器 i 角誤差、角誤差、球氣差及調焦誤差對球氣差及調焦誤差對 h

7、 產生的影響。產生的影響。l 測角中盤左盤右取均值：消減經緯儀的測角中盤左盤右取均值：消減經緯儀的CC不垂不垂直于直于HH；HH不垂直于不垂直于VV；度盤偏心差、豎盤指標；度盤偏心差、豎盤指標差對測角的影響。差對測角的影響。l 水準測量往返觀測取均值水準測量往返觀測取均值儀器和尺墊下沉儀器和尺墊下沉對對h的影響。的影響。l（2找出產生的原因和規律，對測量結果加改正數。找出產生的原因和規律，對測量結果加改正數。l 光電測距中的氣象、加常數、乘常數與傾斜光電測距中的氣象、加常數、乘常數與傾斜改正數等。改正數等。l（3仔細檢校儀器。仔細檢校儀器。 l 經緯儀的經緯儀的LL不垂直于不垂直于VV對測角的

8、影響對測角的影響例例例例例例xyCH.52 2偶然誤差偶然誤差l 定義：在相同的觀測條件下，對某一未知量進行一定義：在相同的觀測條件下，對某一未知量進行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號沒有明顯的規系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號沒有明顯的規律性，即從表面上看，誤差的大小和符號均呈現偶然律性，即從表面上看，誤差的大小和符號均呈現偶然性，這種誤差稱為性，這種誤差稱為 。l 產生的原因：產生的原因： 主要是由于儀器或人的感覺器官能力主要是由于儀器或人的感覺器官能力的限制，如觀測者的估讀誤差、照準誤差等，以及環的限制，如觀測者的估讀誤差、照準誤差等，以及環境中不能控制的因素境中不能控制的因素(

9、(如不斷變化著的溫度、風力等外如不斷變化著的溫度、風力等外界環境界環境) )所造成。所造成。l 偶差的特點：隨機性。就單個偶差而言無法預知，偶差的特點：隨機性。就單個偶差而言無法預知，但正因其隨機性而具有其內在的統計規律性。但正因其隨機性而具有其內在的統計規律性。l 將每次觀測結果視作一次字樣抽取，所含有將每次觀測結果視作一次字樣抽取，所含有的這種偶差視作一隨機變量，則可以證明，它是服從的這種偶差視作一隨機變量，則可以證明，它是服從于正態分布的隨機變量。于正態分布的隨機變量。l即即(0(0，2)2)xyCH.53. 3. 粗差粗差l 定義：亦即錯誤有時也稱之為粗差）。定義：亦即錯誤有時也稱之為

10、粗差）。l 產生的原因：較多產生的原因：較多 l 作業人員疏忽大意、瀆職。如：讀錯、記錯、瞄作業人員疏忽大意、瀆職。如：讀錯、記錯、瞄錯等；錯等；l 儀器突發性故障；儀器突發性故障；l 容許誤差取值過小造成。容許誤差取值過小造成。l 粗差對成果影響極大，所以在測量成果中粗差對成果影響極大，所以在測量成果中必須剔除。必須剔除。l 發現錯誤的方法：發現錯誤的方法：l 必要的重復觀測，通過多余觀測條件，進行檢核必要的重復觀測，通過多余觀測條件，進行檢核驗算；驗算；l 恪守有關恪守有關 0稱為標準差，是與觀測條件有關的一個參數。它稱為標準差，是與觀測條件有關的一個參數。它的大小可以的大小可以 反映觀測

11、精度的高低。反映觀測精度的高低。xyCH.5 標準差定義為： (2)誤差概率曲線：叫作偶然誤差的理論分布(見圖5-2) 誤差分布曲線到橫坐標軸之間的面積恒等于1圖5-2 的誤差分布曲線是對應著某一觀測條件的，當觀測條件不同，其相應的誤差分布曲線的形狀也隨之改變。)35(limnnxyCH.5(3)偶然誤差的四個特性偶然誤差的四個特性l特性一特性一 有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；會超過一定的限值；l特性二特性二 集中性：即絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出集中性：即絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的概率大；現

12、的概率大；l特性三特性三 對稱性：絕對值相等的正誤差和負誤差出現的概率相對稱性：絕對值相等的正誤差和負誤差出現的概率相同；同；l特性四特性四 抵償性：當觀測次數無限增多時，偶然誤差的算術平抵償性：當觀測次數無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨近于零。即均值趨近于零。即: : ）（niinnn21)55(0lim 在數理統計中，在數理統計中，(5-5)(5-5)式也稱偶然誤差的數學期望為零，式也稱偶然誤差的數學期望為零，用公式表示：用公式表示： E( E()=0.)=0.xyCH.5(4)不同精度的誤差分布曲線：不同精度的誤差分布曲線：如圖如圖5-3：曲線：曲線、對應著不同觀測條件得出的兩對應著不

13、同觀測條件得出的兩組誤差分布曲線。組誤差分布曲線。v 曲線曲線I 較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測精度較高。因而觀測精度較高。v 曲線曲線II較為平緩，即離散度較較為平緩，即離散度較大，因而觀測精度較低。大，因而觀測精度較低。 精度與準確度的區別精度與準確度的區別xyCH.5vv當當=0 =0 時，時， vv上式是兩誤差分布曲線的峰值。上式是兩誤差分布曲線的峰值。 其中曲線其中曲線的峰值較曲線的峰值較曲線的的高，即高，即112 2 ，故第，故第組觀測的小誤差出現組觀測的小誤差出現的概率較第的概率較第組的大。組的大。 由于誤差分布曲線到橫坐

14、標軸由于誤差分布曲線到橫坐標軸之間的面積恒等于之間的面積恒等于11，所以當小誤差出現的概率，所以當小誤差出現的概率較大時，大誤差出現的概率必然要小。較大時，大誤差出現的概率必然要小。v v 曲線曲線II表現為較陡峭，即分布比較集中，或稱離表現為較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測精度較高。散度較小，因而觀測精度較高。v v 曲線曲線IIII相對來說較為平緩，即離散度較大，因相對來說較為平緩，即離散度較大，因而觀測精度較低。而觀測精度較低。 21)(11f21)(22f 如圖如圖5-3中，曲線中，曲線、對應著不同觀測條件得出的兩組誤差對應著不同觀測條件得出的兩組誤差分布曲線。分布曲線

15、。xyCH.5v 精度精度是指一組觀測值的密集與離散程度，也是指一組觀測值的密集與離散程度，也可說是一組觀測值的誤差的密集與離散程度。可說是一組觀測值的誤差的密集與離散程度。v 例例:對對A邊三次丈量值為邊三次丈量值為56.882, 56.885, 56.884 后對后對A邊丈量了三次邊丈量了三次 為為56.882, 56.883, 56.883，可以看出：，可以看出：v 前者離散度大前者離散度大,精度低精度低;后者離散度小，精度高。但后者離散度小，精度高。但為了準確評定觀測結果的精度，需要有一些確定的指為了準確評定觀測結果的精度，需要有一些確定的指標。標。v評定精度的指標評定精度的指標:v

16、中誤差、相對誤差、極限誤差和容許誤差中誤差、相對誤差、極限誤差和容許誤差5-2評定精度的指標評定精度的指標xyCH.5一、中誤差一、中誤差l注意：在一組同精度的觀測值中，盡管各觀測值的真誤注意：在一組同精度的觀測值中，盡管各觀測值的真誤差差 出現的大小和符號各異，而觀測值的中誤差卻是相同出現的大小和符號各異，而觀測值的中誤差卻是相同的，因為中誤差反映觀測的精度：的，因為中誤差反映觀測的精度：l 只要觀測條件相同，則中誤差不變。只要觀測條件相同，則中誤差不變。l 中誤差代表的是一組觀測值的誤差分布。中誤差代表的是一組觀測值的誤差分布。 )65(nm 式5-3定義的標準差是衡量精度的一種指標，是理

17、論上的表達式。在測量實踐中觀測次數不可能無限多，因此實際應用中，以有限次觀測個數n計算出標準差的估值定義為中誤差m，作為衡量精度的一種標準，計算公式為：xyCH.5【例【例5-1】l有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個三角有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個三角形的內角，得三角形的閉合差即三角形內角和形的內角，得三角形的閉合差即三角形內角和的真誤差分別為：的真誤差分別為：l 甲：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3；l 乙：乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。l 試分析兩組的觀測精度。試分析兩組的觀測精度。l【 解解 】用中誤差公式】用中誤差公式5-6計算得：計算得：3 . 46534

18、1560 . 26301213222222222222 ）（乙甲nmnmxyCH.5l從上述兩組結果中可以看出，甲組的中誤差較小從上述兩組結果中可以看出，甲組的中誤差較小（2.0），所以觀測精度高于乙組（），所以觀測精度高于乙組（ 4.3）。）。l而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出甲組觀測而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出甲組觀測的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀測精度高的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀測精度高于乙組。于乙組。l在測量工作中，普遍采用中誤差來評定測量成果的在測量工作中，普遍采用中誤差來評定測量成果的精度。精度。xyCH.5二、相對誤差二、相對誤差l 絕對誤差絕對誤差

19、:有符號，并且有與觀測值相同的單位的有符號，并且有與觀測值相同的單位的誤差，被稱為誤差，被稱為 。（如真誤差和中誤差）。（如真誤差和中誤差）l絕對誤差：用于衡量其誤差與觀測值大小無關的觀絕對誤差：用于衡量其誤差與觀測值大小無關的觀測值的精度。（如角度、方向等）測值的精度。（如角度、方向等）l相對誤差相對誤差: 在某些測量工作中，絕對誤差不能完全在某些測量工作中，絕對誤差不能完全反映出觀測的質量。反映出觀測的質量。 l 相對誤差相對誤差“K ” 等于誤差的絕對值與相應觀測等于誤差的絕對值與相應觀測值的比值。它是一個不名數，常用分子為值的比值。它是一個不名數，常用分子為1的分式的分式表示，即：表示

20、，即：T1觀測值誤差的絕對值相對誤差xyCH.5相對中誤差：當誤差的絕對值為中誤差相對中誤差：當誤差的絕對值為中誤差m 的絕對值時，的絕對值時，K稱為稱為 。相對較差：在距離測量中還常用往返測量結果的相對較差：在距離測量中還常用往返測量結果的 相對較差來進行檢核。相對較差來進行檢核。相對較差定義為：相對較差定義為：DDDDDDD平均平均平均返往1相對較差是相對真誤差，它反映的只是往返測的符相對較差是相對真誤差，它反映的只是往返測的符合程度，顯然，相對較差愈小，觀測結果愈可靠。合程度，顯然，相對較差愈小，觀測結果愈可靠。xyCH.5三、極限誤差和容許誤差三、極限誤差和容許誤差 1極限誤差 l 在

21、一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是極限誤差。 在一組等精度觀測值中， （ 中誤差） 絕對值大于 的偶然誤差，其出現的概率為31.7%； 絕對值大于2 的偶然誤差，其出現的概率為4.5%； 絕對值大于3 的偶然誤差，出現的概率僅為0.3%。 l 在測量工作中，要求對觀測誤差有一定的限值。 大于3m的誤差出現的機會只有3，在有限的觀測次數中，實際上不大可能出現。所以，可取3 作為偶然誤差的極限值，稱極限誤差。3極xyCH.52 2容許誤差容許誤差 l l 在實際工作中，測量規范要求觀測中不容許存在較大在實際工作中，測量規范要求觀測中不容許存在較大的誤差，可由極限誤差

22、來確定測量誤差的容許值，稱為容許誤的誤差，可由極限誤差來確定測量誤差的容許值，稱為容許誤差，即：差，即： l l 當要求嚴格時，也可取兩倍的中誤差作為容許誤差，即當要求嚴格時，也可取兩倍的中誤差作為容許誤差，即 如果觀測值中出現了大于所規定的容許誤差的偶然誤差，如果觀測值中出現了大于所規定的容許誤差的偶然誤差，則認為該觀測值不可靠，應舍去不用或重測。則認為該觀測值不可靠，應舍去不用或重測。 m3容m2容xyCH.55-35-3誤差傳播定律誤差傳播定律 在測量工作中一般采用中誤差作為評定精度的指標。 誤差傳播定律： 說明觀測值中誤差與其函數中誤差之間關系的定律 。xyCH.5v 間接觀測量:v

23、在實際測量工作中，往往會碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測的,v由直接觀測的量，通過函數關系間接計算得出的量稱為。v 例如：用水準儀測量兩點間的高差h，通過直接觀測值后視讀數a 和前視讀數b 來求得的：h =ab 。v 間接觀測量的誤差：v 由于直接觀測值(a、b)中都帶有誤差,因而v 間接觀測量函數(h)也必然受到影響而產生誤差。v xyCH.5一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律ixf設設Z是獨立觀測量是獨立觀測量x1，x2，xn的函數，即的函數，即式中：式中：x1，x2，xn為直接觀測量，它們相應的觀為直接觀測量，它們相應的觀測值的中誤差分別為測值的中誤差分別為m1，m 2，mn，則

24、觀測值，則觀測值的函數的函數Z的中誤差為的中誤差為:式中式中 為函數為函數Z分別對各變量分別對各變量xi的偏導數，并將觀測的偏導數，并將觀測值值xi=Li代入偏導數后的值，故均為常數。代入偏導數后的值，故均為常數。)(21nxxxfZ，10)-(522222221212nnzmxfmxfmxfmxyCH.5任意函數中誤差計算方法和步驟：任意函數中誤差計算方法和步驟：)(21nxxxfZ，nndxxfdxxfdxxfdZ221122222221212nnzmxfmxfmxfm1、列出函數式：、列出函數式：2、對函數式全微分，得出函數與觀測量自變量的、對函數式全微分，得出函數與觀測量自變量的真誤差

25、關系式：真誤差關系式：4、求出中誤差關系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，、求出中誤差關系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，系數也平方，即可直接寫出中誤差關系式：系數也平方，即可直接寫出中誤差關系式：3、獨立性判斷：、獨立性判斷：注意單位統一！注意單位統一！xyCH.5表表5-2 5-2 常用函數的中誤差公式常用函數的中誤差公式kxz nxxxz21nnxkxkxkz2211xzkmm22221nzmmmmnmmm21nmmz2222222121nnzmkmkmkm函函 數數 式式函函 數數 的的 中中 誤誤 差差倍數函數倍數函數和差函數和差函數 線性函數線性函數假設假設xyCH.5【例5-2

26、】 在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點的長度為 d=23.4 mm，其中誤差 md=0.2 mm，求該兩點的實際距離D及其中誤差 mD 。解：函數關系式：D=M d，屬倍數函數，M=500是地形圖比例尺分母。兩點的實際距離結果可寫為：11.7 m0.1 m。mmmMmmmmmMdDdD1 .0100)2 .0(5007 .11117004 .23500二、應用舉例二、應用舉例xyCH.5【例【例5-35-3】水準測量中，已知后視讀數水準測量中，已知后視讀數a =1.734 ma =1.734 m，前視讀數前視讀數b=0.476 mb=0.476 m，中誤差分別為，中誤差分別為ma=ma=

27、0.002 m0.002 m，mb=mb=0.003 m0.003 m，試求兩點的，試求兩點的高差及其中誤差。高差及其中誤差。解：函數關系式為解：函數關系式為h=a-bh=a-b，屬和差函數，得，屬和差函數，得mmmmmmbahbah004.00036.0003.0002.0258.1476.0734.12222兩點的高差結果可寫為兩點的高差結果可寫為1.258 m1.258 m0.004 m0.004 m。xyCH.5【例【例 5-4 5-4】在斜坡上丈量距離，其斜距為在斜坡上丈量距離，其斜距為L=247.50 mL=247.50 m，中誤差中誤差mL=mL=0.05 m0.05 m，并測得

28、傾斜角，并測得傾斜角=10=103434，其中誤差，其中誤差m=m=33，求水平距，求水平距離離D D及其中誤差及其中誤差mDmDcosLD mD303.2433410cos50.247864 3 .453410sin50.2473410sin830 9 . 03410cosLDLD解解: 1: 1首先列出函數式首先列出函數式 2 2水平距離水平距離這是一個非線性函數，所以對函數式進行全微分，這是一個非線性函數，所以對函數式進行全微分， 3 3先求出各偏導值如下先求出各偏導值如下 xyCH.5 5 5得結果得結果 ： D=243.30 m D=243.30 m0.06 m0.06 m。mmDm

29、LDmLD063. 03438 3)3864.45(05. 09830. 0 222222224 4寫成中誤差形式：寫成中誤差形式：xyCH.5【例【例5-55-5】 圖根水準測量中，已知每次讀水準尺的中誤差為圖根水準測量中，已知每次讀水準尺的中誤差為mi=mi=2 mm2 mm，假定視距平均長度為，假定視距平均長度為50 m50 m，若以，若以3 3倍中誤倍中誤差為容許誤差，試求在測段長度為差為容許誤差，試求在測段長度為L kmL km的水準路線的水準路線上，圖根水準測量往返測所得高差閉合差的容許值。上，圖根水準測量往返測所得高差閉合差的容許值。解解:1):1)每站觀測高差為：每站觀測高差為

30、： 2) 2)每站觀測高差的中誤差：每站觀測高差的中誤差： 因視距平均長度為因視距平均長度為50 m50 m，則每公里可觀測，則每公里可觀測1010個測站，個測站，L L公里共觀測公里共觀測10L10L個測站，個測站，L L公里高差之和公里高差之和為：為：L(km)L(km)高差和的中誤差為：高差和的中誤差為：bahmm 222ihmmLhhhh1021mm 54221010LLmLmhxyCH.5往返高差的較差即高差閉合差為：往返高差的較差即高差閉合差為：高差閉合差的中誤差為：高差閉合差的中誤差為：以以3 3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值

31、為：在第二章中，取在第二章中，取 作為閉合差的容許作為閉合差的容許值是考慮了除讀數誤差以外的其它誤差的影響如外界值是考慮了除讀數誤差以外的其它誤差的影響如外界環境的影響、儀器的環境的影響、儀器的i i角誤差等）。角誤差等）。mm 3810123LLmfhfh容mm 1042Lmmhf返往hhfhmm40 Lfh容xyCH.5三、本卷須知三、本卷須知 應用誤差傳播定律應注意以下兩點： 1要正確列出函數式 例：用長30 m的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中誤差為ml=5 mm，求全長D及其中誤差mD。 (1) 函數式 按倍數函數式求全長中誤差，將得出： (2) 實際上根據測量過程全長應是10個尺

32、段之和，故函數式應為： 用和差函數式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為： 按實際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數公式則是錯誤的。 m 300301010lD1021lllDmm 1610lDmmmm5010lDmmxyCH.52 2在函數式中各個觀測值必須相互獨立，即互在函數式中各個觀測值必須相互獨立，即互不相關。不相關。 如有函數式：如有函數式： 而：而：若已知若已知x x的中誤差為的中誤差為mxmx，求，求Z Z的中誤差的中誤差mzmz。1 1直接用公式計算直接用公式計算, ,由由a a式得：式得：由由b b式得：式得：代入代入c c式得式得(a) 1221yyz)(2

33、2321bxyxy；xyxymmmm2321，)(42122cmmmyyzxxxzmmmm5)2(4)3(22xyCH.5上面所得的結果是錯誤的上面所得的結果是錯誤的! 因為y1和y2都是x的函數，它們不是互相獨立的觀測值，因此在a式的基礎上不能應用誤差傳播定律。 正確的做法是：先把a式代入(a)式，再把同類項合并，然后用誤差傳播定律計算。xmxxz7m 57x 1)22(23z3、注意單位統一！、注意單位統一！xyCH.5l多余觀測多余觀測:對一個未知量，進行重復觀測對一個未知量，進行重復觀測.l多余觀測目的多余觀測目的 :提高觀測成果的質量，發現和消除錯誤。提高觀測成果的質量，發現和消除錯

34、誤。有一個多余觀測，就會產生一個矛盾閉和差），消除矛有一個多余觀測，就會產生一個矛盾閉和差），消除矛盾的過程，稱為測量平差。盾的過程，稱為測量平差。l直接觀測平差直接觀測平差:重復觀測重復觀測.也就產生了觀測值之間互不相等也就產生了觀測值之間互不相等這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測值求出觀測值的這樣的矛盾。如何由這些互不相等的觀測值求出觀測值的最佳估值，同時對觀測質量進行評估，即對一個未知量的最佳估值，同時對觀測質量進行評估，即對一個未知量的直接觀測值進行平差直接觀測值進行平差.l根據觀測條件，有等精度直接觀測平差和不等精度直接觀根據觀測條件，有等精度直接觀測平差和不等精度直接觀測平差。測

35、平差。5-4等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差xyCH.5 最或然值最或然值: :平差的結果是得到未知量最可靠的平差的結果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般稱這個最接近真估值，它最接近真值，平差中一般稱這個最接近真值的估值為值的估值為“最或然值最或然值”，或，或“最可靠值最可靠值”，有時，有時也稱也稱“最或是值最或是值”，一般用，一般用 x x 表示。表示。一、等精度直接觀測值的最或然值算術平均值(最或然值x )nLxnLXlinn;算術平均值：真值：xyCH.5二、評定精度二、評定精度（一觀測值的中誤差（一觀測值的中誤差1由真誤差來計算由真誤差來計算當觀測量的真值已知時當觀

36、測量的真值已知時,可根據中誤差估值的定義即可根據中誤差估值的定義即由觀測值的真誤差來計算其中誤差。由觀測值的真誤差來計算其中誤差。nm 2 2由改正數最或然值誤差由改正數最或然值誤差v v來計算來計算 在實際工作中，觀測量的真值除少數情況外一般是不易求在實際工作中，觀測量的真值除少數情況外一般是不易求得的。因此在多數情況下，我們只能得的。因此在多數情況下，我們只能按觀測值的最或然值來求觀測值按觀測值的最或然值來求觀測值的中誤差。的中誤差。 1nvvmxyCH.5（1 1改正數及其特征改正數及其特征l 觀測值的改正數: 最或然值x與各觀測值Li之差稱為，其表達式為: 在等精度直接觀測中，最或然值x即是各觀測值的算術平均值。即 顯然l 式是改正數的一個重要特征，在檢核計算中有用。11)-(5 n)2 , 1( ， iLxviinLx12)-(5 0)(1LnxLxvnii 0vxyCH.5（2 2觀測值的中誤差觀測值的中誤差白塞爾公式： 1nvvm 上式即是等精度觀測用改正數計算觀測值中誤上式即是等精度觀測用改正數計算觀測值中誤差的公式差的公