1、直線、平面平行的判定及其性質【考點梳理】1.直線與平面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形匕u/ /IIzEO條件aA a =?a?a ,b?a ,a/ba/ a4 fa/ a ,a?B , a A B=bc 結論a/ ab/ aaA a =?7、p rXa/b2 面面平行的判定與性質判定性質 定義定理圖形z/_ k/W /IzC71 /A /*/7條件a A B =?、a? B ,b? B ,1- - -aAb=P,a/ a ,b/ aa / B , a AY=a,B AY=ba / B ,a?B ,結論么z/匕a / Ba / Ba/ba/ a3.與垂直相關的平行的判定(1)a丄a,b丄a

2、?a/b.(2)a丄a ,a丄B?a /B.【考點突破】考點一、與線、面平行相關命題真假的判斷【例 1】已知m n是兩條不同的直線，a,B,丫是三個不同的平面，則下列命題中正 確的是( )A.ma,門/久貝m nB.m/n,ma，貝Un/aC.mX a , mX B ,V a / BD.a丄Y , B丄Y，V a/ B2答案C解析A 中，m與n平行、相交或異面， A 不正確；B 中，n/a或n?a, B 不正確; 根據線面垂直的性質， C 正確；D 中，a/3或a與B相交于一條直線，D 錯誤【類題通法】1 判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是

3、含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或 排除，再逐步判斷其余選項.2. (1)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷.(2)特別注意定理所要求的條件是否完備， 圖形是否有特殊情形， 通過舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確.【對點訓練】n表示不同的直線，a,3表示不同的平面，則下列結論中正確的是答案D考點二、直線與平面平行的判定與性質【例 2】如圖，四棱錐P ABCD中,PA!底面ABCD AD/ BC, AB= AD= AC=3,PA= BC=4,M為線段AD上一點，AM=2MD N為PC的中點證明：MN/平面PAB(2)求四面體N- BCM勺體積.A.ma,

4、m/n,貝Un/aB.m?a,n?3,m/ 3,n/a,貝UC.3,貝U rr/ nD.m n?3,貝U,m/n,貝Un/a或n?n?3, m/3,n/a,貝U a與3相交或平行，故 B 錯誤.在 C 中，若 /3,貝UmWn相交、平行或異面，故C 錯誤.在 D 中，若a/3, m/則由線面平行的判定定理得n/3,故 D 正確.解析在 A 中，若m/ aa，故 A 錯誤.在 B 中，若a丄3 ,ma ,na ,n/m n?3 ,3解析由已知得AM=2AD=2.3如圖，取BP的中點T,連接AT, TN1 由N為PC中點知TN/ BC TN=qBO2.又AD/ BC故TN綉AM所以四邊形AMN為平

5、行四邊形，于是MIN/ AT因為AT?平面PAB MN平面PAB所以M/平面PAB因為PAL平面ABCD N為PC的中點，1所以N到平面ABC啲距離為 qPA如圖，取BC的中點E,連接AE由AB= AC=3 得AELBC AE= . ABBE=5.1由AM/ BC得M到BC的距離為，5,故 &BCZ寸4X5= 2 5.所以四面體N- BCM勺體積VNBC=【類題通法】1 判斷或證明線面平行的常用方法有：(1) 利用反證法(線面平行的定義)；(2) 利用線面平行的判定定理(a?a,b?a,a/b?a/a)；(3) 利用面面平行的性質定理(a/B,a?a?a/3);利用面面平行的性質(a/3,a?

6、3,a/a?a/3) 2利用判定定理判定線面平行，關鍵是找平面內與已知直線平行的直線常利用三角 形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.【對點訓練】如圖，四棱錐F-ABC中，底面ABC助矩形，PAL平面ABCD E為PD的中點.(1) 證明：PB/平面AEC(2) 設AP=1,AD= ,3，三棱錐RABD勺體積V=，求A到平面PBC的距離.4解析設BD與AC的交點為0,連接E05因為四邊形ABC國矩形, 所以0為BD的中點， 又E為PD的中點，解析/G H分別是AiBi,AC的中點, 6是厶ABC的中位線，GIH/ BCi.又BC/BCGIH/ BCB, C, H, G四點共

7、面.所以EO/ PB因為E0?平面AEC PB?平面AEC所以PB/平面AEC又V=#可得AB=|.作AHL PB交PB于點H由題設知BC丄平面PAB所以BCLAH故AHL平面PBC在 RtPAB中，由勾股定理可得PB= J3,所以AHh PA-AB_2PB13所以A到平面PBC勺距離為 111.考點三、平面與平面平行的判定與性質【例 3】如圖所示，在三棱柱ABGABC中，E,F,G H分別是AB ACABi,AC的中點，求證:(1)B, C, H, G四點共面；平面EFA/平面BCHG由V=1PA- AB- AD=/lL16在厶ABC中,E, F分別為AB, AC的中點， EF/ BC/ E

8、F?平面BCHG BC?平面BCHGEF/平面BCHG AG綊EB四邊形AiEBG是平行四邊形，貝UAE/ GB/ AE?平面BCHG G平面BCHGAE/平面BCHG/ A EQEF=E,平面EFA/平面BCHG【變式 1】在本例條件下，若點D為BC的中點，求證：HD/平面ABBA解析如圖所示，連接HD AB,/ D為BC的中點，H為AC的中點，HD/ AB又HD?平面ABBAAB?平面ABBAHD/平面ABBA【變式 2】在本例中，若將條件“E, F,G H分別是AB AC AB,A C的中點”D分別為BC,BC的中點”，求證：平面AiBD/平面ACD.解析如圖所示,連接AC交AC于點M四

9、邊形AACC是平行四邊形，M是AiC的中點，連接MD/ D為BC的中點，AB/ DMTAB?平面AiBD,DM平面ABD,DM/ 平面ABD,又由三棱柱的性質知，D C綉BD,四邊形BDCD為平行四邊形，變為“D,7 DG/ BD.又DC?平面ABD,BD?平面ABD,DG/平面ABD,又DGQDM= D, DG, DIM平面AGD,因此平面ABD/平面AGD.【變式 3】在本例中，若將條件“E, F,G H分別是AB AG A1B1,AG的中點”變為“點ADAD D分別是AG AQ上的點,且平面BGD/平面ABD”，試求D的值.解析連接AB交AB于0,連接0D由平面BGD/平面ABD，且平面

10、A1BGQ平面BGD BG,平面ABGQ平面ABD=DiO,(1)面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行的性質定理的作用:(1)判定線面平行；(2)判斷線線平行，線線、 線面、面面平行的相互轉化是解決與平行 有關的問題的指導思想解題時要看清題目的具體條件，選擇正確的轉化方向.AiDAi0所以BG/DO,則DGA1D DG又由題設北=AD0B=1.DG加AD A -AC=1即D(=1.【類題通法】1判定面面平行的主要方法:DiAnCi8性質定理f判定定理判定定理線尹行曬 E 線面平行盂青警平行判定定理9【對點訓練】一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示(1)請將字母F,G H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；判斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論 解析(1)點F，G H的位置如圖所示平面BEG