1、淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中逆向思維方法的應(yīng)用以定義、定理、公式的逆用為例江蘇省如皋市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)城北中學(xué) 顧秀明在數(shù)學(xué)解題中，通常是從已知到結(jié)論的方式，然而有些數(shù)學(xué)題，若總是按照這種思維方式則比較困難，而且常常伴隨有較大的運(yùn)算量，有時甚至無法解答，在這種情況下，只要我們多注意定義、定理、公式的逆用，往往可以使問題簡化。經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。一、定義的逆用在數(shù)學(xué)解題中“定義法”是一種比較常見的方法，但定義的逆用容易被人們忽視，只要我們重視定義的逆用，進(jìn)行逆向思維，就能使有些問題解答簡捷。例1 若化簡|1-x|x-4|的結(jié)果為2x-5，求x的取值范圍。 分析：原式=|1-x|-|x-

2、4| 根據(jù)題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5 從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是： 1-x0，且x-40 x的取值范圍是：1x4 例2、a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab。則的值是_.分析：常見的方法是先解出a，b的值，然后再代入中求解，這樣將十分麻煩，但如果我們逆用方程根的定義，把化成，把,看成是一個方程的兩個根，這樣可以使此題的運(yùn)算量減少，解答非常簡捷。解：a2+2a-1=0，a.又而1-ab.即是方程的兩個實(shí)數(shù)根。=(2-1)=1二、定理的逆用對于定理而言，眾所周知，不是所有的定理的逆命題都是正確的，但是，在教學(xué)中重視引導(dǎo)學(xué)生探討定理的逆命題是否正確，不失是

3、指導(dǎo)學(xué)生研究新問題的一個有效方法，它對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和指導(dǎo)學(xué)生正確地運(yùn)用逆定理解題，更具有重要意義。例3、實(shí)數(shù)m，n，l滿足m-n=8，mn+l2+16=0，求證：m+n+l=0分析：若直接求出m，n，l的值，運(yùn)算量非常大而且很容易出錯，如果運(yùn)用韋達(dá)定理的逆定理就非常簡單。證明：由m-n=8得到m+（-n）=8由mn+l2+16=0得m·（-n）=l2+16故以m，-n為根的一元二次方程應(yīng)為x2-8x+l2+16=0m，-n為實(shí)數(shù)=（-8）2-4（l2+16）0解得-4l20l=0，代入式得x2-8x+16=0即（x-4）2=0 因此m，-n為相等的實(shí)數(shù)，即m+n=0m+n+l

4、=0例4、已知，在平行四邊形ABCD中的AD和CD邊上取E、F兩點(diǎn)，且有AF=CE，AF與CE相交于O點(diǎn)，連接OB。求證：OB平分AOC分析：我們知道角平分線定理，角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊距離相等。這道題要證OB平分AOC，只要用角平分線定理的逆定理，到一個角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上。所以只要證到OB上有一點(diǎn)到AOC兩邊的距離相等，那么問題就解決了。證明：連結(jié)BF、BE，作BHAF，BGEC，H，G為垂足因ABF、BCE與平行四邊形ABCD具有同底同高的關(guān)系SABF=S平行四邊形ABCDSBCE= S平行四邊形ABCDSABF= SBCE即AF·BH=CE·BG

5、又AF=EC，BH=BG根據(jù)角平分線定理的逆定理知：B在AOC的平分線上因而OB平分AOC三、公式的逆用數(shù)學(xué)公式記憶非常重要，只從單一方面去記憶公式，不能使學(xué)生全面掌握和利用公式進(jìn)行靈活有效的計算或證明，記憶了公式以后，應(yīng)力求將關(guān)系式進(jìn)行變式訓(xùn)練，通過順用和逆用公式聯(lián)系起來，從而使問題層層深入，思維不斷變化，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性，使學(xué)生熟練掌握解題技巧，提高解題速度。例5、已知方程，當(dāng)m為何值時，方程兩根之差的絕對值最小？最小值是多少？分析：有些同學(xué)拿到這道題目可能采用的方法是先把方程的兩根解出來，然后再進(jìn)行解答，雖然這種方法可以解答出結(jié)果，但明顯地增加了運(yùn)算量，比較復(fù)雜。如果我們逆用了a這一公式，就非常快速地解答出來。解： =-()=當(dāng)m=時，有最小值例6、 若關(guān)于x的不等式（a-1）xa2-2的解集為x2，求a的值。  分析：根據(jù)不等式性質(zhì)3，從反方向進(jìn)行分析，得：  a-10，且a2-2=2（a-1）  所求a值為a=0.  綜上所述，在中學(xué)數(shù)