1、第二章 數(shù)學(xué)模型一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化三、拉氏變換和拉氏反變換四、傳遞函數(shù)五、系統(tǒng)方框圖和信號(hào)流圖六、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例七、小結(jié)、數(shù)學(xué)模型的基本概念第二章 數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型的基本概念l 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。 第二章 數(shù)學(xué)模型l 建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法 解析法 實(shí)驗(yàn)法 依據(jù)系統(tǒng)及元件各變

2、量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。第二章 數(shù)學(xué)模型l 數(shù)學(xué)模型的形式數(shù)學(xué)模型的形式 時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、差 分方程、狀態(tài)方程 復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖 頻率域：頻率特性 第二章 數(shù)學(xué)模型一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程l 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟 分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過(guò)程，

3、確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量； 從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換過(guò)程，依 據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各 元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程； 消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、 輸出變量之間關(guān)系的微分方程； 標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排第二章 數(shù)學(xué)模型l 控制系統(tǒng)微分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素： 質(zhì)量mfm(t)參考點(diǎn)x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm第二章 數(shù)學(xué)模型 彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)ttKdttvKdttvtvKt

4、KxtxtxKtf)()()()()()()(2121第二章 數(shù)學(xué)模型 阻尼dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()()()()()(2121CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第二章 數(shù)學(xué)模型q 機(jī)械平移系統(tǒng))()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCimmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m

5、、C、K通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。第二章 數(shù)學(xué)模型顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。 q 彈簧阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi第二章 數(shù)學(xué)模型q 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C 粘性阻尼系數(shù)柔性軸第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoi

6、K)()()()(22tKtKtdtdCtdtdJiooo第二章 數(shù)學(xué)模型 電氣系統(tǒng) 電阻)()(tRitu電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)第二章 數(shù)學(xué)模型 電容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 電感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)第二章 數(shù)學(xué)模型dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)第二章 數(shù)學(xué)模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若L=0，則系

7、統(tǒng)簡(jiǎn)化為：)()()(tututudtdRCioo第二章 數(shù)學(xué)模型)()(0)(21titituaq 有源電網(wǎng)絡(luò)+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：第二章 數(shù)學(xué)模型 小結(jié) 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模 型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一 方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方 法） 。 從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下， 數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出 響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn) 模擬的基礎(chǔ)； 第二章 數(shù)學(xué)模型 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等 于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能

8、元（慣性 質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容 等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能 元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決 于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。 第二章 數(shù)學(xué)模型 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)； q 線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf 齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章 數(shù)學(xué)模型用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。q 非線性系統(tǒng)為分析方便，通

9、常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)處理。 實(shí)際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。 第二章 數(shù)學(xué)模型 液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過(guò)節(jié)流閥的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱體截面積；第二章 數(shù)學(xué)模型)()()(tqtHtHdtdAi上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。 ：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，為常數(shù)。第二章 數(shù)學(xué)模型q 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，mn。

10、)()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章 數(shù)學(xué)模型二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化l 線性化問(wèn)題的提出線性化問(wèn)題的提出 線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系 統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性 微分方程進(jìn)行處理。 非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻 尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由 于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有 鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。 第二章 數(shù)學(xué)模型 線性化的提出q 線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作 范圍內(nèi)具有線性

11、特性； q 非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的； q 對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線 性化模型近似代替非線性模型進(jìn)行處理，能 夠滿足實(shí)際需要。 第二章 數(shù)學(xué)模型l 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 泰勒級(jí)數(shù)展開法 函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0, y0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式為： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy第二章 數(shù)學(xué)模型)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的項(xiàng)，則：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y = K

12、x， 其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0 = f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；第二章 數(shù)學(xué)模型增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標(biāo)的原點(diǎn)移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點(diǎn)上，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)，這時(shí)，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。 對(duì)多變量系統(tǒng)，如：y = f (x1, x2)，同樣可采用泰勒級(jí)數(shù)展開獲得線性化的增量方程。 第二章 數(shù)學(xué)模型)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 靜態(tài)方程：2021012021012211,xxxx

13、xxxxxfKxfK其中：第二章 數(shù)學(xué)模型 滑動(dòng)線性化切線法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非線性關(guān)系線性化A線性化增量增量方程為：y y =xtg切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。第二章 數(shù)學(xué)模型l 系統(tǒng)線性化微分方程的建立系統(tǒng)線性化微分方程的建立 步驟 q 確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點(diǎn)； q 列出各組成元件在工作點(diǎn)附近的增量方程； q 消除中間變量，得到以增量表示的線性化微 分方程； 第二章 數(shù)學(xué)模型 實(shí)例：液位系統(tǒng)的線性化 )()()(tqtHtHdtdAi20022000)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHH0000,ioiqHqq解解：穩(wěn)態(tài)時(shí)：)(tH非線性項(xiàng)的泰勒展開

14、為：第二章 數(shù)學(xué)模型節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)HHHHHHdHHdHH0000021)(則：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：HdtdHHdtd)(0第二章 數(shù)學(xué)模型)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫成：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：此時(shí)，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點(diǎn)的增量。第二章 數(shù)學(xué)模型l 線性化處理的注意事項(xiàng)線性化處理的注意事項(xiàng) 線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)； 線性化是有條件的，必須注意線性化方程適 用的工作范圍； 某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間 隙、

15、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不 能通過(guò)泰勒展開進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì) 系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作 為非線性問(wèn)題處理。 第二章 數(shù)學(xué)模型inout0近似特性曲線真實(shí)特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性inout0繼電器非線性inout0間隙非線性第二章 數(shù)學(xué)模型三、拉氏變換和拉氏反變換l 拉氏變換拉氏變換 設(shè)函數(shù)f(t) (t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實(shí)常數(shù)，使得：0)(limtfett則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實(shí)數(shù)）；0)()()(dtetftfLsFst第二章 數(shù)學(xué)模型0dtest稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t

16、)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。l 拉氏反變換拉氏反變換 0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjstL1為拉氏反變換的符號(hào)。第二章 數(shù)學(xué)模型l 幾種典型函數(shù)的拉氏變換幾種典型函數(shù)的拉氏變換 q 單位階躍函數(shù)1(t) 10tf(t)單位階躍函數(shù)0100)( 1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst第二章 數(shù)學(xué)模型q 指數(shù)函數(shù)atetf)(（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat第二章 數(shù)學(xué)模型q 正弦函數(shù)與余弦函數(shù) 正弦及余弦

17、函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由歐拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章 數(shù)學(xué)模型0)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj從而：22cossstL同理：第二章 數(shù)學(xué)模型q 指數(shù)函數(shù)atetf)(（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat第二章 數(shù)學(xué)模型q 正弦函數(shù)與余弦函數(shù) 正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtett

18、Lst0coscosdtettLst由歐拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章 數(shù)學(xué)模型0)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj從而：22cossstL同理：第二章 數(shù)學(xué)模型q 單位脈沖函數(shù)(t) 0tf(t)單位脈沖函數(shù)1)0(1lim)0(0)(0tttt且)1 (1lim1lim)(000sstesdtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必達(dá)法則：1lim)(0setL所以：第二章 數(shù)學(xué)模型q 單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)） 10tf(t)單位速度函數(shù)1000)(ttttf0)Re(1)(2

19、000ssdtsesetdttetfLststst第二章 數(shù)學(xué)模型q 單位加速度函數(shù)02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過(guò)一定的轉(zhuǎn)換得到。 第二章 數(shù)學(xué)模型l 拉氏變換積分下限的說(shuō)明拉氏變換積分下限的說(shuō)明 在某些情況下，函數(shù)f(t)在t0處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須明確拉氏變換的積分下限是0還是0+，并相應(yīng)記為：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst第二章 數(shù)學(xué)模型l 拉氏變換的主要定理拉氏變換的主要定理 疊加定理 q 齊次性：L

20、af(t)=aLf(t)，a為常數(shù)；q 疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。第二章 數(shù)學(xué)模型 實(shí)微分定理 0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst證明證明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：第二章 數(shù)學(xué)模型)0()()(fssFdttdfL所以：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同樣有：式中，f (0)，f (0)，為函數(shù)f(t)的各階導(dǎo)

21、數(shù)在t=0時(shí)的值。第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：第二章 數(shù)學(xué)模型當(dāng)f(t)在t=0處具有間斷點(diǎn)時(shí)，df(t)/dt在t=0處將包含一個(gè)脈沖函數(shù)。故若f(0+) f(0)，則：)0()()()0()()(fssFdttdfLfssFdttdfL第二章 數(shù)學(xué)模型 復(fù)微分定理 ), 3, 2, 1()() 1()()()()()(222ntftLsFdsdtftLsFdsdttfLsFdsdnnnn若Lf(t)=F(s)，則除了F(s)的極點(diǎn)之外，有：第二章 數(shù)學(xué)

22、模型 積分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL當(dāng)初始條件為零時(shí)：若f(0+) f(0)，則：sfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()()()1()1(第二章 數(shù)學(xué)模型證明證明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst第二章 數(shù)學(xué)模型)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同樣：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章 數(shù)學(xué)模型 延遲定理 )()(sF

23、etfLs設(shè)當(dāng)t0時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意0，有：函數(shù) f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 數(shù)學(xué)模型 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 數(shù)學(xué)模型 初值定理 證明證明：)(lim)0()(lim0ssFftfst初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。 0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即：第二章 數(shù)學(xué)模型 終值定理 )(lim)()(lim0

24、ssFftfst若sF(s)的所有極點(diǎn)位于左半s平面， 即：)(limtft存在。則：第二章 數(shù)學(xué)模型證明證明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss終值定理說(shuō)明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初值相同。)(lim)(0ssFfs第二章 數(shù)學(xué)模型)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：)0()(lim)0()(0fssFffs即： 卷積定理 )()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)(若t p=1 -12 0 25 126p = 1

25、-12 0 25 126第二章 數(shù)學(xué)模型用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項(xiàng)式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 anMATLAB提供函數(shù)residue用于實(shí)現(xiàn)部分分式展開，其句法為：r, p, k = residue(num, den)其中，r, p分別為展開后的留數(shù)及極點(diǎn)構(gòu)成的列向量、k為余項(xiàng)多項(xiàng)式行向量。第二章 數(shù)學(xué)模型若無(wú)重極點(diǎn)，MATLAB展開后的一般形式為：)()()()2() 1 () 1 () 1 ()(sKnpsnrpsrpsrsF若存在q重極點(diǎn)p(j)，展開式將包括下列各項(xiàng)：qjpsqjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2

26、第二章 數(shù)學(xué)模型例例：求的部分分式展開。2450351026523911)(234234sssssssssF num=1 11 39 52 26; den=1 10 35 50 24; r,p,k=residue(num,den)r = 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1展開式為：115 . 02335 . 241)(sssssF第二章 數(shù)學(xué)模型例例：求的部分分式展開。27956510)(23425ssssssssF num=1 0 0 10 5 6; den=1 5 9 7 2; r,p,k

27、=residue(num,den)r = -4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000k = 1 -5展開式為：5) 1(10) 1(2012024)(32ssssssF第二章 數(shù)學(xué)模型num, den = residue(r, p, k)函數(shù) residue 也可用于將部分分式合并，其句法為： r = 1 2 3 4; p = -1 -2 -3 -4; k = 0; num, den = residue(r, p, k)num = 10 70 150 96den = 1 10 35 50 24例例：24

28、503510961507010)(23423ssssssssF第二章 數(shù)學(xué)模型l 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟q 將微分方程通過(guò)拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方 程； q 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表 達(dá)式；q 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。 第二章 數(shù)學(xué)模型原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過(guò)程第二章 數(shù)學(xué)模型 實(shí)例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi (t) =1(t)，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求xo(t)。解

29、解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換： )0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL第二章 數(shù)學(xué)模型)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 數(shù)學(xué)模型stLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2從而：第二章 數(shù)學(xué)模型61065121sssA212) 3(12sssA3

30、13)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 數(shù)學(xué)模型) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章 數(shù)學(xué)模型q 應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始 條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式 中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù) 的值就可得到微分方程的

31、全解。 q 如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏 變換可以簡(jiǎn)單地用sn代替dn/dtn得到。 由上述實(shí)例可見：第二章 數(shù)學(xué)模型四、傳遞函數(shù)l 傳遞函數(shù)的概念和定義傳遞函數(shù)的概念和定義 傳遞函數(shù) 第二章 數(shù)學(xué)模型在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。 零初始條件：q t0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；q 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工 作狀態(tài)，即t 0 時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也 均為0；第二章 數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)求解示例 q 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsK

32、XsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：第二章 數(shù)學(xué)模型q R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：第二章 數(shù)學(xué)模型q 幾點(diǎn)結(jié)論 傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型， 其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)， 與系統(tǒng)的輸入形式無(wú)關(guān)。 若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函 數(shù)G(s) 決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的

33、 固有動(dòng)態(tài)特性。 傳遞函數(shù)通過(guò)系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān) 系來(lái)描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的 輸入輸出特性來(lái)描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。 第二章 數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：第二章 數(shù)學(xué)模型mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasa

34、sasN1110)(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。l 特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn) 特征方程第二章 數(shù)學(xué)模型式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時(shí)： G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K 反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。 第二章 數(shù)學(xué)模型 零點(diǎn)和極點(diǎn) )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG將G(s)寫成下面的形式： N(s)=a0(s

35、-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。第二章 數(shù)學(xué)模型 零、極點(diǎn)分布圖 將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖0 12312-1-2-3-1-2j第二章 數(shù)學(xué)模型l 傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明 傳遞

36、函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常 系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函 數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)； 傳遞函數(shù)是 s 的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各 項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相 等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)； 第二章 數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零 時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于 相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能 反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律； 傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系， 無(wú)法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。 一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出 的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。 第二章 數(shù)學(xué)模型l 脈沖響應(yīng)函數(shù)脈

37、沖響應(yīng)函數(shù) 初始條件為0時(shí)，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為：)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的相同信息。第二章 數(shù)學(xué)模型注意到復(fù)數(shù)域相乘等同于時(shí)域內(nèi)卷積，因此，由：)()()(sXsGsY知線性系統(tǒng)在任意輸入作用下，其時(shí)域輸出：ttdtgxdtxgtxtgty00)()()()()()()(式中，當(dāng)t 0時(shí)，g(t) = x(t) = 0。作業(yè)：24 (2, 3) 26 210 （b, d） 第二章 數(shù)學(xué)模型l 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳

38、遞函數(shù) 環(huán)節(jié) 具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。 任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。 第二章 數(shù)學(xué)模型 環(huán)節(jié)的分類 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假設(shè)系統(tǒng)有b個(gè)實(shí)零點(diǎn)，c 對(duì)復(fù)零點(diǎn)，d 個(gè)實(shí)極點(diǎn)，e對(duì)復(fù)極點(diǎn)和v個(gè)零極點(diǎn)，由線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表達(dá)式：可見：b+2c = m v+d+2e = n第二章 數(shù)學(xué)模型iiiiiisszs1),1(1jjjjjjTsTTsps1),1(1對(duì)于實(shí)零點(diǎn)zi=i和實(shí)極點(diǎn)pj=j ，其因式可以變換成如下形式：第二章 數(shù)學(xué)模型)

39、12(12)()(2222221ssssjsjszszs對(duì)于復(fù)零點(diǎn)對(duì)z=+j和z+1= j ，其因式可以變換成如下形式：2222,1式中，第二章 數(shù)學(xué)模型對(duì)于復(fù)極點(diǎn)對(duì)pk=k+jk和pk+1=k jk ，其因式可以變換成如下形式：) 12(1 2 )()(2222221sTsTTssjsjspspskkkkkkkkkkkkk2222,1kkkkkkkT式中，第二章 數(shù)學(xué)模型ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(于是，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成：ekkdjjcbiiTTabK1211210011式中，為系統(tǒng)放大倍數(shù)。第二章 數(shù)學(xué)模

40、型121,11,1, 12, 1,2222TssTTsssssK由上式可見，傳遞函數(shù)表達(dá)式包含六種不同的因子，即：一般，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為：第二章 數(shù)學(xué)模型)()(sXesXiso實(shí)際系統(tǒng)中還存在純時(shí)間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時(shí)間，即xo(t)=xi(t-)，此時(shí)：sesG)(或：se因此，除了上述六種典型環(huán)節(jié)外，還有一類典型環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 。第二章 數(shù)學(xué)模型比例環(huán)節(jié)：K一階微分環(huán)節(jié)：s+11222ss二階微分環(huán)節(jié)：s1積分環(huán)節(jié)：11Ts慣性環(huán)節(jié)：12122TssT振蕩環(huán)節(jié)：第二章 數(shù)學(xué)模型 典型環(huán)節(jié)示例 q 比例

41、環(huán)節(jié) 輸出量不失真、無(wú)慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。其運(yùn)動(dòng)方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。第二章 數(shù)學(xué)模型KsXsXsGio)()()(比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動(dòng)副R2R1ui(t)uo(t)運(yùn)算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(第二章 數(shù)學(xué)模型q 慣性環(huán)節(jié) )()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為： T時(shí)間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和

42、 環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，K環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；第二章 數(shù)學(xué)模型)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC第二章 數(shù)學(xué)模型q 微分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的微分。dttdxtxio)()(運(yùn)動(dòng)方程為：ssXsXsGio)()()(傳遞函數(shù)為：式中，微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨(dú)立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。第二章 數(shù)學(xué)模型dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：測(cè)速發(fā)電機(jī)uo(t) i (t)測(cè) 速 發(fā) 電 機(jī)式中， Kt為電機(jī)常數(shù)。 無(wú)負(fù)載時(shí)：第二章 數(shù)學(xué)模

43、型RCui(t)uo(t)i(t)無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò) RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(顯然，無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|1時(shí)，才近似為微分環(huán)節(jié)。 第二章 數(shù)學(xué)模型) 1()()()(sKsXsXsGio除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢(shì)的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來(lái)改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。第二章 數(shù)學(xué)模型q 積分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量對(duì)時(shí)間的積分。 tiodttxTtx0

44、)(1)(運(yùn)動(dòng)方程為：TssXsXsGio1)()()(傳遞函數(shù)為：式中，T積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。第二章 數(shù)學(xué)模型AtTAdtTtxto11)(0積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)： 輸出量取決于輸入量對(duì)時(shí)間的積累過(guò)程。 且具有記憶功能； 具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來(lái)改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當(dāng)輸入量為常值 A 時(shí)，由于：輸出量須經(jīng)過(guò)時(shí)間T才能達(dá)到輸入量在t = 0時(shí)的值A(chǔ)。第二章 數(shù)學(xué)模型如：有源積分網(wǎng)絡(luò) +CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(第二章 數(shù)學(xué)模型液壓缸 Aqi(t)xo(t)dttqAtxio)(1)(AssQsXsGio1)()

45、()(第二章 數(shù)學(xué)模型q 振蕩環(huán)節(jié) 含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)方程為： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio傳遞函數(shù)：第二章 數(shù)學(xué)模型式中，T振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) 阻尼比，對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)，01 K比例系數(shù)TsssGnnnn1,2)(222振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為（K=1）：n稱為無(wú)阻尼固有頻率。第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo12/11)(222TssTKKCsmssG如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

46、mKCKmT2,式中，mkC2當(dāng)時(shí)，為振蕩環(huán)節(jié)。第二章 數(shù)學(xué)模型q 二階微分環(huán)節(jié) 式中，時(shí)間常數(shù) 阻尼比，對(duì)于二階微分環(huán)節(jié)，01 K比例系數(shù) 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio運(yùn)動(dòng)方程：12)(22ssKsG傳遞函數(shù)：第二章 數(shù)學(xué)模型q 延遲環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅 由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要 求的輸出值；)()(txtxio運(yùn)動(dòng)方程：sesG)(傳遞函數(shù)：式中，為純延遲時(shí)間。 延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時(shí)間內(nèi), 沒(méi)有輸出，但t=之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：第二章 數(shù)學(xué)模型ALvhi(t)ho(t)軋制

47、鋼板厚度測(cè)量vLththio)()(第二章 數(shù)學(xué)模型 小結(jié) q 環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的 物理裝置或元件；q 一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性 共同組成；q 同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸 出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。 第二章 數(shù)學(xué)模型五、系統(tǒng)方框圖和信號(hào)流圖l 系統(tǒng)方框圖系統(tǒng)方框圖 系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過(guò)程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。第二章 數(shù)學(xué)模型 方框圖的結(jié)構(gòu)要素 q 信號(hào)線 帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號(hào)的

48、時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。X(s), x(t)信號(hào)線第二章 數(shù)學(xué)模型q 信號(hào)引出點(diǎn)（線） 表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置和傳遞方向。 同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。 引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)第二章 數(shù)學(xué)模型q 函數(shù)方框(環(huán)節(jié)) G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運(yùn)算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 傳遞函數(shù)的圖解表示。第二章 數(shù)學(xué)模型q 求和點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）信號(hào)之間代數(shù)加減運(yùn)算的圖解。用符號(hào)“ ”及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示，每個(gè)箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)。 相鄰求和點(diǎn)可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合

49、律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s)X2(s) 第二章 數(shù)學(xué)模型ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。 第二章 數(shù)學(xué)模型R1Cs1求和點(diǎn)函數(shù)方框函數(shù)方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號(hào)線、函數(shù)方框、信號(hào)引出點(diǎn)及求和點(diǎn)組成的方框圖來(lái)表示。 第二章 數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)方框圖的建立 q 步驟 建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號(hào) 的因果關(guān)系（輸入/輸出）。 對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉氏變換，繪制各部 件的方框圖。 按照信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過(guò)程，依 次將各部件的方框圖連接起來(lái)，得到系統(tǒng) 的方

50、框圖。 第二章 數(shù)學(xué)模型q 示例 RCui(t)uo(t)i(t)無(wú)源RC電路網(wǎng)絡(luò) 無(wú)源RC網(wǎng)絡(luò) )()()(tututRioidttiCtuo)(1)()(1)()()()(sICssUsUsUsRIooi拉氏變換得：)(1)()()(1)(sICssUsUsURsIooi第二章 數(shù)學(xué)模型從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。 R1Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)()(1)(sUsURsIoi(a)Cs1Uo(s)I(s)(1)(sICssUo(b)第二章 數(shù)學(xué)模型R1Cs1Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無(wú)源RC電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)方框圖 機(jī)械系統(tǒng) 第二章 數(shù)學(xué)模型m1fi(t)K1C x(

51、t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()(11tftftftxmKCi )()()(11txtxKtfoKdttdxdttdxCtfoC)()()()()()()(212tftftftxmKCKo )()(22txKtfoKm1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0 xo(t)0第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()()(1)()()()()()()()()()(1)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi第二章 數(shù)學(xué)模型211smFi(

52、s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)()()(1)(121sFsFsFsmsXKCiK1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)()()(11sXsXKsFoK)()()(sXsXCssFoC第二章 數(shù)學(xué)模型221smXo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s) (c)()()(1)(2122sFsFsFsmsXKCKoK2Xo(s)FK2(s)(d)()(22sXKsFoK第二章 數(shù)學(xué)模型211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)221smXo(s)FK2(s) K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2機(jī)械系統(tǒng)方框圖第二章 數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)方框圖的簡(jiǎn)化 q 方框圖的運(yùn)

53、算法則 串聯(lián)連接 G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s)Xi(s)Xo(s)第二章 數(shù)學(xué)模型 并聯(lián)連接 Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s)第二章 數(shù)學(xué)模型 反饋連接 G(s)H(s)Xi(s)Xo(s) B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsXoio)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsioXi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsG第二章 數(shù)學(xué)模型q 方框圖的等效

54、變換法則 求和點(diǎn)的移動(dòng) G(s)ABC求和點(diǎn)后移G(s)ABC求和點(diǎn)前移G(s)ABCG(s)G(s)ABC)(1sG第二章 數(shù)學(xué)模型 引出點(diǎn)的移動(dòng) 引出點(diǎn)前移G(s)ACC引出點(diǎn)后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA第二章 數(shù)學(xué)模型q 由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 基本思路：利用等效變換法則，移動(dòng)求和點(diǎn)和引出點(diǎn)，消去交叉回路，變換成可以運(yùn)算的簡(jiǎn)單回路。 第二章 數(shù)學(xué)模型例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A第二章 數(shù)學(xué)模型H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H

55、2(s)G3(s)解解：1、A點(diǎn)前移；第二章 數(shù)學(xué)模型2、消去H2(s)G3(s)反饋回路)()()(1)()()(232321sHsGsGsGsGsGH1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()()()()()()()(1)()()(3321232121321sHsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGXi(s)Xo(s)()()()()()(1)()()(232121321sHsGsGsHsGsGsGsGsGH3(s)Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s) 反饋回路4、消去H3(s) 反饋回路第二章 數(shù)學(xué)模型作業(yè)：28 211第二章

56、數(shù)學(xué)模型l 系統(tǒng)信號(hào)流圖和梅遜公式系統(tǒng)信號(hào)流圖和梅遜公式 信號(hào)流圖起源于梅遜（S. J. MASON）利用圖示法來(lái)描述一個(gè)和一組線性代數(shù)方程，是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。 信號(hào)流圖及其術(shù)語(yǔ) q 節(jié)點(diǎn) 表示變量或信號(hào)，其值等于所有進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和。節(jié)點(diǎn)用“”表示。第二章 數(shù)學(xué)模型q 支路 連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段，用支路增益（傳遞函數(shù)）表示方程式中兩個(gè)變量的因果關(guān)系。支路相當(dāng)于乘法器。信號(hào)在支路上沿箭頭單向傳遞。例：542534423312gxcxdxxbxxfxaxxexxxx1x2x3x4x5x51eafbdc1g第二章 數(shù)學(xué)模型q 輸入節(jié)點(diǎn)（源節(jié)點(diǎn)） 只有輸出的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的

57、輸入變量。q 輸出節(jié)點(diǎn)（阱節(jié)點(diǎn)、匯點(diǎn)） 只有輸入的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸出變量。 源節(jié)點(diǎn)匯點(diǎn)x1x2x3x4x5x51eafbdc1g第二章 數(shù)學(xué)模型q 混合節(jié)點(diǎn) 既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)。若從混合節(jié)點(diǎn)引出一條具有單位增益的支路，可將混合節(jié)點(diǎn)變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g第二章 數(shù)學(xué)模型q 通路 沿支路箭頭方向穿過(guò)各相連支路的路徑。 q 前向通路 從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g第二章 數(shù)學(xué)模型q 回路 起點(diǎn)與終點(diǎn)重合且通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉

58、合通路。回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益，用La表示。 x1x2x3x4x5x51eafbdc1gq 不接觸回路 相互間沒(méi)有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路。 第二章 數(shù)學(xué)模型 信號(hào)流圖的繪制 由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖根據(jù)微分方程繪制信號(hào)流圖的步驟與繪制方框圖的步驟類似。 由系統(tǒng)方框圖繪制信號(hào)流圖兩種方法：第二章 數(shù)學(xué)模型例1：根據(jù)微分方程繪制信號(hào)流圖R1R2C1C2i1(t)u1(t)uo(t)i2(t)uA(t)二級(jí)RC電路網(wǎng)絡(luò)dttiCtuRtututidttitiCtuRtututiooAAAi)(1)()()()()()(1)()()()(222221111第二章 數(shù)學(xué)模型)(1)()()(

59、)()()(1)()()()(222221111sIsCsURsUsUsIsIsIsCsURsUsUsIooAAAi取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作為信號(hào)流圖的節(jié)點(diǎn)，其中，Ui(s)、Uo(s)分別為輸入及輸出節(jié)點(diǎn)。按上述方程繪制出各部分的信號(hào)流圖，再綜合后即得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖。 第二章 數(shù)學(xué)模型11)()()(RsUsUsIAia)I1(s)UA(s)I2(s)sC11-11Ui(s)I1(s)UA(s)11 R-11)()(1)(211sIsIsCsUAb)第二章 數(shù)學(xué)模型22)()()(RsUsUsIoAc)UA(s)I2(s)21 R1-1Uo(s)(1

60、)(22sIsCsUod)Uo(s)I2(s)sC21第二章 數(shù)學(xué)模型Ui(s)I1(s)UA(s)11 R-11I2(s)sC11-1121 R1-1Uo(s)sC211Ui(s)I1(s)I2(s)UA(s)11 R-11I2(s)sC11-121 R1-1Uo(s)sC211第二章 數(shù)學(xué)模型例2：根據(jù)方框圖繪制信號(hào)流圖G(s)H(s)Xi(s)Xo(s) E(s)系統(tǒng)方框圖信號(hào)流圖Xi(s)Xo(s)G(s)E(s)Xo(s)11-H(s)第二章 數(shù)學(xué)模型G1(s)G4(s)G3(s)G2(s) E1E2E3G1-G2G4G3E3G1(s)G4(s)G3(s)G2(s) E1E2E3G1