1、第三章 扭 轉(zhuǎn)§3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例§3.2 外力偶矩的計(jì)算，扭矩和扭矩圖§3.3 純剪切§3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力§3.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形§3.6 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形§3.7 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念§3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例1實(shí)例如：車床的光桿 反應(yīng)釜的攪拌軸 汽車轉(zhuǎn)向軸2扭轉(zhuǎn)：在桿件的兩端作用等值，反向且作用面垂直于桿件軸線的一對(duì)力偶時(shí)，桿的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。§3.2 外力偶矩的計(jì)算，扭矩和扭矩圖1Me、m、 P之間的關(guān)系 Me外力偶矩（Nm）

2、 n轉(zhuǎn)速（r/min） P功率（kW）（1kW=1000Nm/s）（馬力）（1馬力=735.5W）每秒鐘內(nèi)完成的功力 或 2扭矩和扭矩圖（1）截面法、平衡方程 Mx=0T-Me=0T=Me（2）扭矩符號(hào)規(guī)定：為無論用部分I或部分II求出的同一截面上的扭矩不但數(shù)值相同且符號(hào)相同、扭矩用右手螺旋定則確定正負(fù)號(hào)。（3）扭矩圖例1 主動(dòng)輪A輸入功率PA=50kW，從動(dòng)輪輸出功率PB=PC=15kW，PD=20kW，n=300r/min，試求扭矩圖.解：（1）（2）求TMx=0 T1+MeB=0 T1=-MeB=-477 T2-MeA+MeB=0 T 2=1115NT3-MeD=0 T3=Med=63T

3、例2 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪布置合理性的討論主動(dòng)輪一般應(yīng)放在兩個(gè)從動(dòng)輪的中間，這樣會(huì)使整個(gè)軸的扭矩圖分布比較均勻。這與主動(dòng)輪放在從動(dòng)輪的一邊相比，整個(gè)軸的最大扭矩值會(huì)降低。如左圖a：Tmax=50N·m 右圖b：Tmax=25N·m二者比較圖b安置合理。§3.3 純剪切在討論扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形之前，對(duì)于切應(yīng)力和切應(yīng)變的規(guī)律以及二者關(guān)系的研究非常重要。1薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力連接件的剪切面上非但有切應(yīng)力，而且有正應(yīng)力，剪切面附近變形十分復(fù)雜。純剪切是指截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力。純剪切的典型例子薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)。（1）觀察變形及分析變形前縱線與圓周線形成方格。變形后方格左右兩邊

4、相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，距離保持不變，圓周半徑長度保持不變，這表示橫截面上無正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。由于切應(yīng)變發(fā)生在縱截面，故橫截面上的切應(yīng)力與半徑正交。對(duì)薄壁圓筒而言，切應(yīng)力沿壁厚不變化。（2）力矩平衡Mx=0 2切應(yīng)力互等定理取出單元體如左圖Fx=0=Mz=0=在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相等，其方向都垂直于兩平面交線，或共同指向或共同背離兩平面交線。這就是切應(yīng)力互等定理，也稱為切應(yīng)力雙生定理。3切應(yīng)變剪切胡克定律上述單元體，屬于純剪切狀態(tài)胡克定律：試驗(yàn)表明，當(dāng)切應(yīng)力不超過比例極限時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。= GG比例常數(shù)，材料的切變模量。單位GPa4三個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系對(duì)各向同性材

5、料 5剪切應(yīng)變能 對(duì)圖示純剪切單元體。右側(cè)面上的剪力為dydz。由于剪切變形，右側(cè)面向下錯(cuò)動(dòng)位移為rdx。若切應(yīng)力有一個(gè)增量d，切應(yīng)變的相應(yīng)增量為d，右側(cè)面向下位移增量為ddx。剪力dydz在位移ddx上完成的功力dydz·ddx。在切應(yīng)力從零開始逐漸增加的過程中（如達(dá)到可，則相應(yīng)的切應(yīng)變達(dá)到r1）右側(cè)面上的剪力dydz總共完成的功力。單元體內(nèi)儲(chǔ)存的剪切應(yīng)變能力式中：dv=dxdydz，則剪切應(yīng)變能密度為v=r曲線下的面積。（d為陰影條面積）當(dāng)切應(yīng)力不超過剪切比例極限的情況下。與的關(guān)系為斜直線（為線彈性情況）剪切胡克定律：=G，則§3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力1應(yīng)力分布規(guī)律：

6、幾何學(xué)方面物理學(xué)方面靜力學(xué)方面（1）變形幾何關(guān)系觀察試驗(yàn)（在小變形前提下）a.圓周線大小、形狀及相鄰二圓周線之間的距離保持不變，僅繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度。b.在小變形前提下縱線仍為直線僅傾斜一微小角度，變形前表面的矩形方格，變形后錯(cuò)動(dòng)成菱形。平面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的平面橫截面變形后仍保持平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線；且相鄰二截面間的距離保持不變。結(jié)論：橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力。取dx一段軸討論：（a）討論：a. 為扭轉(zhuǎn)角沿軸線x的變化率對(duì)給定截面上的各點(diǎn)而言，（即x相同）它是常量。b. 橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)變P與該點(diǎn)到圓心的距離P成正比。（任意半徑圓周處的切應(yīng)變均相等）。（2）

7、物理關(guān)系剪切胡克定律（b）結(jié)論a. 距圓心等距的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均相等。P與半徑垂直（即各點(diǎn)處的圓周切線方向）。b. 切應(yīng)力沿半徑直線分布。（3）靜力關(guān)系內(nèi)力為分布力系的合力令 （截面對(duì)圓心O的板慣性矩）于是： （c）式（c）代入式（b）得 （d）討論 （e）引入 （抗扭截面系數(shù)）則 （f）2IP、Wt計(jì)算公式（1）實(shí)心圓截面dA=dd（2）空心圓截面式中=d/D3強(qiáng)度條件（1）強(qiáng)度計(jì)算校核設(shè)計(jì)截面 確定許用載荷TmaxWt（2）討論：對(duì)變截面桿、如階梯桿、圓錐形桿，Wt不是常量，max并不一定發(fā)生在扭矩為Tmax的截面上，這要綜合考慮T和Wt尋求最大值。4強(qiáng)度計(jì)算舉例Example1圖示

8、傳動(dòng)軸Given Me1=895N·m Me2=538N·m Me3=2866N·m Me4=1075N·m Me5=358N·m=20MPaFind 設(shè)計(jì)階梯軸各段的直徑DProcedure：（序號(hào)）solution（1）求各段軸的扭矩，作出扭矩圖（2）求各段軸的直徑DD2371.5mm D3471.5mm D4545mmExample2圖示傳動(dòng)軸外力偶矩某度為mGiven M=500N·m/m D=30mm l=1000mmFind maxsolution Mx=0 T(x)=mx扭矩沿軸線線性變化當(dāng)x=0時(shí)，T=0當(dāng)x=l時(shí)，T

9、max=ml=500N·mMpa§3.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形1扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算討論：（1）若兩截面之間T=const，GIP=const，則GIP圓軸的抗扭剛度（2）階梯軸2剛度條件消除軸的長度l的影響（rad/m）：單位長度的扭轉(zhuǎn)角等直圓軸：剛度條件（rad/m）按照設(shè)計(jì)規(guī)范和習(xí)慣許用值的單位為，可從相應(yīng)手冊中查到。 （ º）/m3剛度計(jì)算 剛度校核 設(shè)計(jì)截面： 確定許用載荷Tmax注意：由剛度條件 G切變模量或 式中需用牛頓米代入因?yàn)閱挝粸椋?º）/mExample1圖示鋼軸Given Me1=800N·mMe2=1200N·m Me3

10、=400N·ml1=0.3m l2=0.7m G=82GPa =50MPa=0.25(º)/mFind Dsolution（1）求扭矩，作出扭矩圖（2）強(qiáng)度條件Tmax=800 N·m（m） （3）剛度條件（m）取：D=70mm注意：用牛頓米統(tǒng)一單位方便，不易出錯(cuò)。§3.6 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形1實(shí)例（1）車輛輪軸彈簧：緩沖減振（2）凸輪機(jī)構(gòu)的壓緊彈簧，內(nèi)燃機(jī)的氣閥彈簧（控制機(jī)械運(yùn)動(dòng)）。（3）彈簧秤（4）美國世貿(mào)中心大廈為“筒中筒”結(jié)構(gòu)，110層雙子樓主樓417m，次樓415mm。為了抵御大西洋的狂風(fēng)，頂部風(fēng)壓為4kPa，允許位移90cm，實(shí)測

11、fmax=28cm，內(nèi)外筒之間用桁架承擔(dān)樓面載荷，在第7層一107層桁架下面放置減震器，吸收風(fēng)力作用下大樓的變形能減震。2密螺彈簧的兩個(gè)條件（1）螺旋角<5°（密圈）（2）d<<D（小曲率桿）近似認(rèn)為簧絲橫截面與彈簧軸線位于同一平面內(nèi)略去曲率影響，采用直桿扭轉(zhuǎn)公式.3彈簧絲橫截面上的應(yīng)力Fy=0FS=FM0=0內(nèi)側(cè)A點(diǎn)：若則<<1與1相比可省略。這相當(dāng)于只考慮扭轉(zhuǎn)，不計(jì)剪切。（近似公式）考慮到切應(yīng)力的非均勻分布及曲率的影響對(duì)上式修正。式中 曲度系數(shù)彈簧指數(shù)4簧絲的強(qiáng)度條件5彈簧的變形 （1）試驗(yàn)表明：在彈性范圍內(nèi)，靜載壓力F與成正比（線彈性關(guān)系）。當(dāng)外力

12、從零增加到最終值時(shí)，它作的功等于斜直線下的面積即：（2）簧絲的扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能簧絲橫截面上距圓心為r處的切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)單位體積內(nèi)的應(yīng)變能（應(yīng)變能密度）彈簧的應(yīng)變能為V彈簧體積dA簧絲橫截面的微分面積dS_沿簧絲軸的微分長度，n為有效圈數(shù))根據(jù)功能原理，即W=V式中：是彈簧圈的平均半徑。引入記號(hào)：則：C越大，則越小，所示C代表彈簧抵抗變形的能力，稱為彈簧剛度。C的單位為N/m或F=C6彈簧變形的簡單推導(dǎo)方法Example1 安全氣閥閥盤的直徑Do=60mm當(dāng)蒸汽壓力p=0.8MPa時(shí)，閥門行程為h=10mm，彈簧材料為60Mn鋼，=400MPa，G=80GPa，簧圈平均直徑D=50mm。Find：簧絲直徑d和彈簧圈數(shù)nSolution：（1）彈簧受壓力：(N)（2）簧絲直徑d：由于曲度系數(shù)k未知，故應(yīng)用試算法。先用近似公式估算。由公式(mm)考慮到修正，取d=9.8mm，然后校核：代入修正公式求故取 d=9.8mm（3）彈簧圈數(shù)：由§3.7 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念一、實(shí)例農(nóng)業(yè)機(jī)械中有時(shí)采用方軸為傳動(dòng)軸車床上的光桿有時(shí)采用方截面曲軸的曲柄為矩形截面，承受扭矩二、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)與圓軸扭轉(zhuǎn)的差別觀察試驗(yàn)：非圓截面桿扭轉(zhuǎn)變形后，截