1、 適用學(xué)科 適用年級(jí)高一高中數(shù)學(xué) 課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）適用區(qū)域 蘇教版區(qū)域 2課時(shí) 知識(shí)點(diǎn) 平面向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 教學(xué)目標(biāo). 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 . 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 . 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 . 4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系 . 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題5. 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題6. 教學(xué)重點(diǎn) 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 教學(xué)難點(diǎn) 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量

2、的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系 【知識(shí)導(dǎo)圖】 教學(xué)過(guò)程 一、導(dǎo)入 考情展望 1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì). 2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，主要考查運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想 二、知識(shí)講解 考點(diǎn)1 平面向量的數(shù)量積 頁(yè) 1 第?bbaa，的數(shù)量積是數(shù)，它們的夾角為1數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，則向量?cos|a|bcosb|a?b=|a|ba?0. ，記作，即規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為.|量 ?cos|aababba在的夾角，則向量；在2向量的投影：設(shè)向量為方向上的投影是與 ?cos|b.

3、 方向上的投影是 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 22 模a a·|a| xy|a|11 yxaa·b| |b|cos ya·bx數(shù)量積2211yyxxb·a2112 cos 夾角 cos 2222|b|ayy·xx21120 y ·aab的充要條件 b0yxx2211時(shí)等號(hào)a|b|b當(dāng)且僅當(dāng)|a·b與|ab|的關(guān)a(b|a·2222 |xyy·x|xxyy21121221 )成立系 ?cos|a|b|aba?ab的在的長(zhǎng)度3數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積與的方向上的投影等于 乘積 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律 考點(diǎn)2 a

4、?b?ab?；交換律： 1?b)?(?b)?(aa)?b?a(； 2數(shù)乘結(jié)合律： a(b?c)?a?b?a?c. 分配律：3 已知非零向量a(x，y)，b(x，y)，為向量a，b的夾角 2121 考點(diǎn)3 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 類型一 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 例題1 在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，BC10，則AB·AC_. (2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE·CB的值為 _；DE·DC的最大值為_ 【規(guī)范解答】(1)如圖所示，ABAMMB，ACAMMCAMMB， 三 、例題精析 頁(yè) 2 第222216. 25|MB|MB

5、)AMMB|AM|9AB·AC(AMMB)·(AM(2) 由于軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，以AB，AD所在的直線分別為x法一 如圖所示， 正方形邊長(zhǎng)為1， D(0,1)B(1,0)，C(1,1)，故 1)(t,0)(0t又E在AB邊上，故設(shè)E 1)1)，CB(0，則DE(t，1. CB故DE· (1,0)，又DC. t(t，1)·(1,0)DE·DC1. 的最大值為1，DE·DC又0t. CBABCD是正方形，DA法二 EDA|DA|cos·CBDE·DA|DEDE21. DA|DA|·|DA|DA|DE

6、|cosEDADE上的投影最大，此時(shí)DC·與點(diǎn)B重合時(shí)，DE在DC又E點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，故為點(diǎn)E21. ×2|DC|DE|cos 45°21. DC的最大值為所以DE· 【總結(jié)與反思】. 1.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式，一是依據(jù)長(zhǎng)度與夾角，二是利用坐標(biāo)來(lái)計(jì)算 MBAM 、關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例?1?中用2.要有“基底”意識(shí)，. 三種特殊情形，180°90°注意向量夾角的大小，以及夾角0°，表示AB 、AC 等. 平面向量的夾角與垂直類型二 例題1 (1)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，

7、則a與b夾角的余弦值為_ (2)已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，則實(shí)數(shù)的值為_ 【規(guī)范解答】 (1)由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|22224a·b，所以|a|4|ba·bb(a2)2.又|a|3|b|b|， 頁(yè) 3 第2|b1·ba. 所以cosa，b2 3|a|b|3|b0. BCAPBC，AP·(2) ，)(ACAB)0AC，BCACAB，(ABACAB又AP220. |cos 120°9AC40，(1)|AC|即(1)AC·ABABAB17?×&

8、#215;21)×340.解得. (9 ?212 【總結(jié)與反思】. |與a·b的關(guān)系a，b的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b1.當(dāng)a，b以非坐標(biāo)形式給出時(shí)，求中常?2?xyy0.2?本例ab?a·b0?|ab|b|?x2.?1?非零向量垂直的充要條件：a2211 .，導(dǎo)致求解受阻見的錯(cuò)誤是不會(huì)借助向量減法法則把BC 表示成AC AB 平面向量的模及其應(yīng)用類型三 1例題 已知OP(cos ，sin )，OQ(1sin ，1cos )，其中0，求|PQ|的取值范圍及|PQ|取得最大值時(shí)的值 【規(guī)范解答】PQOQOP(1sin cos ，1cos sin )， 222

9、. 2sin 2cos 4sin )4sin 4|PQ|(1sin cos )(1cos 1，sin 2，0132 PQ|取得最大值即時(shí)，|in 2PQ|2，6當(dāng)s1，|PQ，2,6| 4【總結(jié)與反思】 求解向量的長(zhǎng)度問題一般可以從兩個(gè)方面考慮： ?1?利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解； 222把長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問題解|b|b±2a·± |?2利用公式|aa·a及?ab?|a決. 類型四 向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例題1 33?x，sin cos xa ，已知向量 ?22

10、頁(yè) 4 第xx?，cos ，sin ，且xb. ?4322 b|；(1)求a·b及|a (x)的最大值和最小值b|ab|，求f(2)若f(x)a·x3x3【規(guī)范解答】cos (1)a·b cos 2x，xcos sin xsin 2222x33x?22sin sin cos xcos x| |ab?2222 2|cos x|，22cos 2x?，x ，cos x>0， ?43. 2cos x|ab|21 2cos x2cos x2cosx(2)f(x)cos 2x13?2cos x2. ?221?，xx1， cos ， ?43231 ；，f(x)取得最小值當(dāng)

11、cos x時(shí) 221. 取得最大值，f(x)當(dāng)cos x1時(shí) 【總結(jié)與反思】與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型解答此類問題，還應(yīng)掌握三向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式， 角恒等變換的相關(guān)知識(shí)兩向量的平行與垂直問題類型五 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且kab的長(zhǎng)度是akb的長(zhǎng)度的3倍(k>0) 例題1 (1)求證：ab與ab垂直； (2)用k表示a·b； (3)求a·b的最小值以及此時(shí)a與b的夾角. 【規(guī)范解答】(1)由題意得，|a|b|1， 220，bab)a (ab)

12、83;(ab與ab垂直 222222ka·b1，2ka·bb b(2)|ka|kka22(3|akb|)3(1k)6ka·b. 22)6ka·b13(1k， 由條件知，k2ka·b2k1從而有，a·b(k>0) 4k2k1111(3)由(2)知a·b(k)， 4k4k21當(dāng)k時(shí)，等號(hào)成立，即k±1. kk>0，k1. 1ba·此時(shí)cos ，而0，. |a|b|231故a·b的最小值為，此時(shí). 23 頁(yè) 5 第 【總結(jié)與反思】0. yya?·b0?xx1.非零向量ab2211

13、用已知的不共線的向量表示但要注意運(yùn)算技ba、2當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把 巧，有時(shí)把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，要因題而異 、課堂運(yùn)用四 基礎(chǔ) a|2，|b|4，向量a與向量b的夾角為120°1|，則向量a在向量b方向上的投影為_ 2已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則_. 3已知向量a，b滿足a·b0，|a|1，|b|2，則|2ab|_. 答案與解析 1.【答案】-1 【解析】a在b方向上的投影是 |a|cos 2×cos 120°1. 3 2.【答案】 2【解析】(3a2b)·(ab) 22 2ba&#

14、183;ba(23)32212182b0. 3a3. 23.【答案】22. 22224×14×048，|2ab|(2ab)24|a|4a·b|b|2. 【解析】|2ab| 1給出下列結(jié)論： 鞏固 若b0，則b0；若a·bb·c，則ac；(a·b)ca(b·c)；a·b(a·a0，a·c)c(a·b)0. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是_ 2設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|b|c|，abc，則a，b_. 3若向量a與b的夾角為60°，|b|4，(a2b)·(a3b)72，則向量a

15、的模為_ 答案與解析 1.【答案】 【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量a、b垂直時(shí)，a·b0，故不正確； 當(dāng)a0，bc時(shí)，a·bb·c0，但不能得出ac，故不正確；向量(a·b)c與c共線，a(b·c)與a共線，故不正確； 正確，a·b(a·c)c(a·b) (a·b)(a·c)(a·c)(a·b)0. 2.【答案】120° 2222. b2a·|ab|ab，【解析】 abc|c|2， b，|2a·b又|a|b|c2. |ba2|b|cosa，b即1cos

16、a，b， 2 頁(yè) 6 第. 120°a，b6 【答案】3. ，|a|·|b|·cos 60°2|a|【解析】a·b22 a|6|b|a·b(a2b)·(a3b)|272. 2|a|96|a6. |a| 拔高 1. 已知|a|1，|b|1，a，b的夾角為120°，計(jì)算向量2ab在向量ab方向上的投影 答案與解析 3?【答案】 1.(1，3)1，?3，a與b夾角為如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B位于B和B時(shí)，(1,1)【解析】已知OA，即A(1,1) 2112 ，BOx即AOBAOB，此時(shí)，BOx 211236412124123? 與

17、b夾角不為零，B(1，3)，又故Ba，121?33? ，a的范圍是3)(1故a1，由圖易知1，?3 課程小結(jié) 五 、課堂小結(jié) 1一些常見的錯(cuò)誤結(jié)論： 22，則ab；(3)若ab，bc，則ac；ba|b|，則a；(2)若a(4)b若a·b0，(1)若|則a0或b0；(5)|a·b|a|·|b|；(6)(a·b)ca(b·c)；(7)若a·ba·c，則bc.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的，應(yīng)用時(shí)要注意 2平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較： 已知a(x，y)，b(x，y)，是向量a與b的夾角. 2112 向量表示 坐標(biāo)表示 向量a的模2 a

18、a|a·a|22yx |a|11 a與b的數(shù)量積 a·b|a|b|cos a·bxxyy 2211共線的充要條件a與b 0)?ab Ab(bb?xyxya0 1212垂直的充要條件，非零向量ab abb?a·0 b?xxyya0 2112 a的夾角與b向量ba· cos |a|b|xxyy2211 cos 22y x1122yx223.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有： 22或|AB|可轉(zhuǎn)化證明，AB|CDCD|. AB（1）要證=CD?CD0，使等式ABAB2）要證兩線段只要證存在唯一實(shí)數(shù)，CD成立即可 （3）要證兩線段ABCD

19、，只需證AB·CD0. 頁(yè) 7 第 、課后作業(yè) 六 基礎(chǔ) _. b，|1，則|a2b1平面向量a與|b的夾角為60°，a(2,0) b(4,7)，則a在b方向上的投影為_2若a(2,3)， b(3,18)，則a，b夾角的余弦值為_3a，b為平面向量，已知a(4,3)，2a 答案與解析3. 1.【答案】2 ，|1(2,0)，|ba【解析】 1. ×cos 60°b2×12|a|，a·223. b4b|a2b|a24×a·65. 【答案】2.5 ，a、b的夾角為【解析】 設(shè)7×4?32×?5 ，則c

20、os 522227423? 方向上的投影為在b故a655. |a|cos 13×55ba· b方向上的投影或直接根據(jù)計(jì)算a在 |b16 3.【答案】. 65 (3,18)，(8,6)又2ab【解析】a(4,3)，2a16. 36·b20，b(5,12)a b|13，又|a|5|1616. cosa，b 65135× _的夾角若，2a1已知(，1)b(，1)，a與b為鈍角，則的取值范圍為鞏固 10. 已知2a與ba·b，同向，b(1,2) 的坐標(biāo)；求(1)a. )b·(c及)cb(a·a1)(2c(2)若，求 D(3,2)，A3已知三個(gè)點(diǎn)(2,1)B，(，1,4) AB求證：(1)；AD兩對(duì)角線所成的銳角的余ABCD要使四邊形(2)ABCD的坐標(biāo)并求矩形C為矩形，求點(diǎn) 頁(yè) 8 第 弦值 答案與解析1?2，【答案】1.(2，) ?212ba· ，【解析】由題意cos |a|b215· <0，<<180°，1<cos 90°12 1<，<0215· ，1<02? 2?，51>5