1、等比數列的前n項和（第一課時）一、教材分析1.從在教材中的地位與作用來看等比數列的前n項和是數列這一章中的一個重要內容，從教材的編寫順序上來看,等比數列的前n項和是第三章“數列”第五節的內容，一方面它是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續、與前面學習的函數等知識也有著密切的聯系,另一方面它又為進一步學習“數列的極限”等內容作準備。就知識的應用價值上來看,它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。就內容的人文價值上來看，等比數列的前n項和公式的探

2、究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養學生的創新思維和探索精神,是培養學生應用意識和數學能力的良好載體。2.從學生認知角度來看從學生的思維特點看， 很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、 特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導.不利因素是：本節公式的推導與等差數列前項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q =1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。3.學情分析4.重點、難點教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用.教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用.二、目標分析1.知識與技能目標：理解等比數列的前n項

3、和公式的推導方法；掌握等比數列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。2.過程與方法目標：通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合的思維能力,提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質。3.情感態度與價值觀：通過經歷對公式的探索，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美。用數學的觀點看問題,一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學的態度認識世界。三、教學方法與

4、教學手段本節課屬于新授課型，主要利用計算機和實物投影等輔助教學,采用啟發探究，合作學習，自主學習等的教學模式四、教學過程分析學生是認知的主體，也是教學活動的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律,引導學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我按照自主學習的教學模式來設計如下的教學過程，目的是在教學過程中促使學生自主學習，培養自主學習的習慣和意識,形成自主學習的能力。1.創設情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大舍罕為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥,第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是

5、前一格的兩倍，直至第 64格.國王覺得太容易了，就同意了他的要求。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚.為什么呢？大家想一下，這個國王能夠滿足宰相的要求嗎?【教師提問】同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？弓I導學生寫出麥粒總數.帶著這樣的問題,學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值,然后再求和.這時我對他們的這種思路給予肯定.2.學生探究，解決情境在肯定他們的思路后，我接著問：應歸結為什么數學問題呢？探討1:設S64 =1+ 2+ 22 + 23 +263記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯 系？（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）探討2:如果我們把每一項都

6、乘以 2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以 2則 有2s34 =2+ 22 +23 +263 + 264，記為（2）式.比較（1） （2 ）兩式，你有什么發現？1 , 2 , 22，263是什么數列？有何特征?【設計意圖】留出時間讓學生充分地比較， 等比數列前n項和的公式推導關鍵是變 “加”為“減”，在教師看來這是很顯然的事，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而培養學生的辯證思維能力.解決情境問題：經過比較、研究，學生發現：（1）、（ 2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就可以消去了，得到：S64 = 264 -1老師強調指出：這就是錯位相減法，并要

7、求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以 2呢?【設計意圖】經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了,讓學生在探索過程中， 充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心，同時也為推導一般等比數列前n項和提供了方法。3.類比聯想，解決問題這時我再順勢引導學生將結論一般化，設等比數列為taj，公比為q，如何求它的前n項和？讓學生自主完成，然后對個別學生進行指導。一般等比數列前n項和：Sn =ai+a2+a3卡 +an詔+an =?即 Sn =ai +aiq + aiq2 卡"aiqn2 +aiqn' =?方法1 :錯位相減法Sn

8、 = aiq + a2 十aiqn-2 + aiqn二qSn = aiq +aiq2 +aiq3 十一aiqn+引qn二(i q)Sn =ai aiq =i q等比數列中的公比能不能為i? q=i時是什么數列？此時 sn=?這里的q能不能等于i ?jai(iqn)Sn 斗-q!naiq工1q =1"宀一詢得i q【設計意圖】在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學在學生推導完成之后，我再問:生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。4.討論交流，延伸拓展探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道sn=ai+a iq+aiq2+ 11 +a1qn-1

9、 =a i +q(ai +a iq+ I H+a iqn-2)那么我們能否利用這個關系而求出S呢?方法2:提取公比qSn =a1 +a1q + aiq"a1qn2 +a1qn' =a1 +q (a1 + ag 屮"aw""2)=ai +q (Sn aiqnJ)._n”.(1 -q)Sn =ai aiq根據等比數列的定義又有豈=色=豈=川=空=4，能否聯想到等比定理從而求出Snaia2a3an-i呢？方法3:利用等比定理a2_ _ a4 .ai a2 a3a2 +a3 +中 a nai +a2 +an4an=qan -4Sn -ai=q =(i -

10、q)Sn =ai -anqSn anSn的一個遞推式，遞推數 它源于課本，又高于課本，,從模仿到創新，有利于學【設計意圖】以疑導思，激發學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到 S1+qSni這其實就是關于列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源， 對學生的思維發展有促進作用.領悟數學應用價值，從特殊到一般 生的知識遷移和能力提高。5. 鞏固提高，深化認識(1) 口答：在公比為q的等比數列an中 若a =2,q，則S.33若 a1=15, a4 =96,11若 a3 = 1 一，S3 = 4 -22(2) 判斷是非：，右 a1 =1,

11、q =1，貝 y Si求q及S4 ,，求ai及q. 1 _2 +4-8 十"+(-2)2 1 +2 +22 + 2?卡+2n_1X(1-2n) 二 1-21X(1-2n)1-2C2 址4 +c6 +C2n2" / 2n、C 1 (C )1 -C2【設計意圖】對公式的再認識，剖析公式中的基本量及結構特征，識記公式,并加強計算能力的訓練。6例題講解，形成技能例 1 .求和 1 + a +a2 +a3 + an例2求等比數列 丄,1,1,丄,的第2 4 8 16方法1：觀察、發現：as+ae5項到第10項的和.+方法2:此等比數列的連續項從第as = 16，公比為q = 2，項數

12、為n = 6.變式1 ：求1I 21 31 4 5丄的前n項和.2 4 8'忖 32變式2：求1 2 3 45的前n項和.2'4'8'16 32+ ai0 = Eo - S4 .5項到第10項構成一個新的等比數列：首項為【設計意圖】采用變式教學設計題組， 深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形 成通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生自主學習的意識解題時，以學 生分析為主，教師適時給予點撥。7.總結歸納，加深理解以問題的形式出現，引導學生回顧公式、 推導方法，鼓勵學生積

13、極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。【設計意圖】以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。&課后作業，分層練習 數學來源于生活并應用于生活，生活中處處有數學.必做:練習3( 1)習題3.5第1題選作:思考題(1):求和 X+2X 2+3x 3+川+nxn.畫一個邊長為2cm的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，依此類推，這樣一共畫了 10個正方形，求這10個正方形的面積的和。【設計意圖】布置彈性作業以使各個層次的學生都有所發展.讓學有余力的學生有思考的空間，便于學生開展自主學習。五、評價分析本節課通過三種推導方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握了等比

14、數列前n項和公式.錯位相減：變加為減，等價轉化；遞推思想：縱橫聯系，揭示本質；等比定理：回歸定義，自然樸實.學生從中深刻地領會到推導過程中所蘊含的數學思想,培養了學生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性.同時通過精講一題，發散一串的變式教學，使學生既鞏固了知識，又形成了技能，在此基礎上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養了學生勇于探索、不斷創新的思維品質，形成學習能力。六、教學設計說明1.情境設置生活化.2.問題探究活動化.教學中本著以學生發展為本的理念，充分給學生想的時間、 說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學習、合作探究，展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果，體驗數學學習成功的喜悅.通過師生之間不斷合作和交流，發展學生的數學觀察能力和語言表達能力，培養學生思維的發散性和嚴謹性。3.辨析質疑結構化.在理解公式的基礎上，及時進行正反兩方面的“短、 平、快”填空和判斷是非練習.通過總結、辨析和反思，強化了公式的結構特征， 促進學生主動建構，有助于學生形成知識模塊,優化知識體系。4.鞏固提高梯度化.例題通過公式的正用和逆用進一步提高學生運用知識的能力;由教科書中的例題改編而成，并進行適當的變式，可以提高學生的模式識別的能力，培養學生思維的深刻性和靈活性。