1、相似三角形判定定理的證明(基礎) 【學習目標】 1.熟記三個判定定理的內容. 2.三個判定定理的證明過程. 3.學選會用適當的方法證明結論的成立性. 【要點梳理】 要點一、兩角分別相等的兩個三角形相似 已知：如圖,在ABC和ABC中，A=A，B=B.求證：ABCABC. 證明：在ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=AB,過點D作BC的平行線，交AC于點E,則 ADE=B，AED=C, ADAE?(平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例）. ABAC 過點D作AC的平行線，交BC與點F,則 ADCF?(平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例）. AB

2、CBAECF? ACCBDEBC,DFAC, 四邊形DFCE是平行四邊形. DE=CF. AE:AC=DE:CB ADAEDE?. ABACBC而ADE=B,DAE=BAC,AED=C, ADEABC. A=A,ADE=B=B,AD=AB, ADEABC. ABCABC. 要點詮釋：證明這個定理的正確性，是把它轉化為平行線分線段成比例來證明的，注意轉化時 輔助線的做法. 【典型例題】 類型一、兩角分別相等的兩個三角形相似 ，求證：ADEABCD，CEAB，垂足為E1、在ABC中，A=60°，BDAC，垂足為 斷可判AEC=ADB=90°，利用EAC=DAB路點撥】由BDAC

3、，CEAB得到【思 ，加上EAD=CAB，根據三角形相似的=，利用比例性質得AECADB，則 判定方法即可得到結論 【答案與解析】 證明：BDAC，CEAB， AEC=ADB=90°， 而EAC=DAB， AECADB， ，= ，= EAD=CAB， ADEABC有兩組有兩組角對應相等的兩三角形相似；【總結升華】考查了相似三角形的判定與性質： 對應邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等 舉一反三°，ADE=60，且在BC、AC上，點是等邊三角形D，E分別ABC【變式】如圖，CE. CD=AC?證求：BD? 【答案】證明：ABC是等邊三角形， B=C

4、=60°，AB=AC， B+BAD=ADE+CDE，B=ADE=60°， BAD=CDE， ，DCEABD ABBDCCBCD=ACBCD=AC 2、已知，RtABC中，ACB=90°，點H在AC上，且線段HDAB于D，BC的延長線與DH的延長線交于點E，求證：AHDEBD 【思路點撥】首先利用三角形的內角和定理證明：A=E，再有垂直得到90°的角，ADH=ACB=90°，從而證明：AHDEBD 【答案與解析】 證明：HDAB于D， ADH=90°， A+AHD=90°， ACB=90°， E+AHD=90

5、6;， A=E， ADH=ACB=90°， AHDEBD 【總結升華】考查了垂直定義、三角形內角和定理以及相似三角形的判定方法：兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似 要點二、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 ABAC?. CAB, A=BC中，A,求證：ABC和在已知，ABCA A'B'A'C' 的平行線，BC作D過點,BAD=A（或它的延長線）上截取AB的邊ABC證明：在 E,則交AC于點AED, C=B=ADE,). ADE(兩角分別相等的兩個三角形相似ABCACAB?. AEADACAB?, B ,AD=A '''

6、ACA'BACAB? 'A'CADACAC? 'A'CAE AE=AC A而A=. CADEAB. CABABC要點詮釋：利用了轉化的數學思想，通過添設輔助線，將未知的判定方法轉化為已知兩組角對應相等推得相似或已知平行推得相似的. 類型二、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 3、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，連接 GEF并延長交BC的延長線于點 1）求證：ABEDEF；（ 的長4，求BG（2）若正方形的邊長為 【思路點撥】（1）利用正方形的性質，可得A=D，根據已知可得，根據有兩邊對 應成比例且夾角相等三角形相似，可得ABE

7、DEF； BG的長2）根據平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得（ 【答案與解析】 為正方形，1）證明：ABCD（ AD=AB=DC=BC，A=D=90°， AE=ED， ， DF=DC， ， ， ABEDEF； （2）解：ABCD為正方形， EDBG， ， 又DF=DC，正方形的邊長為4， ED=2，CG=6， BG=BC+CG=10 【總結升華】考查了相似三角形的判定（有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應用解題的關鍵是數形結合思想的應用 舉一反三 【變式】（2015?隨州）如圖，在ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上

8、，下列條件中不能判斷ABCAED的是（ ） =DC = B AAED=B ADE=C 【答案 】D； 提示：DAE=CAB， 當AED=B或ADE=C時，ABCAED； =時，ABCAED當 D 故選 4、（2014秋?揭西縣校級期末）如圖，F為平行四邊形ABCD的邊AD的延長線上的一點，BF分別交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE ，BE=x解：設【答案與解析】EF=32，GE=8， FG=328=24， ADBC， AFECBE， =， =+1 則DGAB， DFGCBG， = 代入 +1，= 解得：x=±16（負數舍去）， 故BE=16 【總結升華】此題主要考

9、查了相似三角形的判定、平行四邊形的性質，得出DFGCBG 是解題關鍵舉一反三 【變式】如圖，在4×3的正方形方格中，ABC和DEC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上 （1）填空：ABC= °，BC= ； （2）判斷ABC與DEC是否相似，并證明你的結論 BC=；）ABC=135°， 【答案】解：（1 ）相似；（2 =，；BC=EC= ；， ；又ABC=CED=135°， ABCDEC 要點三、三邊成比例的兩個三角形相似 ABBCAC?. 和ABC中，已知：在ABC A'B'B'C'A'C'. ABC求證：

10、ABC 證明：在ABC的邊AB，AC（或它們的延長線）上截取AD=AB,AE=AC,連接DE. ABAC?, CB ,AE=A，AD=A A'B'A'C'ABAC? ADAE而BAC=DAE, ABCADE(兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似). ABBC? DEADBCAB?, B又，AD= A 'C'B'A'BBCAB? 'CB'ADBCBC? ''CDEBDE=BC, ADEABC， ABCABC. 類型三、三邊成比例的兩個三角形相似 5、已知：正方形的邊長為1 （1）如圖，可以算出正方形的

11、對角線為 ，求兩個正方形并排拼成的矩形的對角線長， n個呢？ ）根據圖，求證BCEBED；2（ （3）由圖，在下列所給的三個結論中，通過合情推理選出一個正確的結論加以證明，1BEC+BDE=45°；BEC+BED=45°；BEC+DFE=45° 【思路點撥】（1）主要是根據勾股定理尋找規律，容易在數據中找到正確結論； （2）在每個三角形中，根據勾股定理易求出每條邊的長度，可利用三組邊對應成比例，兩三角形相似來判定； （3）欲證BEC+DFE=45°，在本題中等于45°的角有兩個，即AEB和BEF，所以在證明第三個結論時，需把這兩個角想法轉移到已

12、知的一個角中去，利用等腰梯形的性質求解即可 【答案與解析】 =，）由勾股定理知，在第一個圖形中，對角線長 =1解：（ ，第二個圖形中，對角線長= =，第三個圖形中，對角線長 個圖形中，對角線長=；所以第n EC=BE=，中，（2）在BCEBC=1， ，BE=BD=2，ED=在BED中， 所以，BCEBED； （3）選取， CDEF，且CE=DF， 四邊形CEFD為等腰梯形， DFE=CEF， BEC+DFE=BEC+CEF=45° 【總結升華】此題主要運用三邊對應成比例的兩個三角形相似的判定定理、勾股定理的運用、等腰梯形的性質來解決問題的. 【鞏固練習】 一、選擇題 1. 如圖，已知

13、C=E，則不一定能使ABCADE的條件是（ ） BCACABAC? C D B A BAD=CAEB=D AEADAEDE2在RtACB中，C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點上，這塊三角板繞O點旋轉，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運動過程中，OEF與ABC的關系是（ ） A一定相似 B 當E是AC中點時相似 C 不一定相似 D 無法判斷 FC=BC上，且圖中相似三角形CD的中點，點F在BC3如圖，在正方形ABCD中，E是共有（ ） A 1對 B 2對 C 3對 D 4對 4. （2015?荊州）如圖，點P在ABC的邊AC上，要

14、判斷ABPACB，添加一個條件，不正確的是（ ） = = ABP=C A B APB=ABC CD5下列4×4的正方形網格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與ABC相似的三角形所在的網格圖形是（ ） D A C B ）1有下列條件：（）與ABC中，；62；（在ABC（3）A=A；（4）C=C如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷 ） ABCABC的共有多少組（A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空題 7.（2015春?工業園區期中）如圖，在ABC中，P為AB上一點，則下列四個條件中 2 4）AB?CP=AP?CB，）AC=AP?AB；（1）ACP=B；2）APC

15、=ACB；（3 （填序號）和ACB相似的條件有 其中能滿足APC 8如圖，ABC中，ABAC，D，E兩點分別在邊AC，AB上，且DE與BC不平行請填上一個你認為合適的條件： ，使ADEABC（不再添加其他的字母和線段； 只填一個條件，多填不給分！） 9如圖，ABC與DEF的頂點均在方格紙中的小正方形方格（邊長為一個單位長）的頂點處，則ABC DEF（在橫線上方填寫“一定相似”或“不一定相似”或“一定 不相似”） 中，已知，又因為 ，在OAOB和DOC，與10如圖，ACBD相交于點 DOC可證明AOB 11如圖，ABD與AEC都是等邊三角形，ABAC，下列結論中：BE=DC；BOD=60

16、6;；BODCOE正確的序號是 12如圖，D是ABC的邊BC上的一點，BAD=C，ABC的平分線分別與AC、AD相交于點E、F，則圖形中共有 對相似三角形（不添加任何輔助線） 三、解答題 13.（2014秋?射陽縣校級月考）如圖，在ABC中，已知BAC=90°，ADBC于D，E是AB上一點，AFCE于F，AD交CE于G點， 2 AC=CE?CF；（1）求證： 的度數（2）若B=38°，求CFD 在同一條直線上，EAC，點B，A如圖，14AB=3AC，BD=3AE，又BD CAE；1）求證：ABD（ 的長BD=a，求BC2）如果AC=BD，設AD=2BD（ 交于點MBFCE=

17、DFCD分別是邊、DA上的點，且，AE與FEABCD15已知：正方形中，、 ；ABF）求證：DAE1（ 相似的所有三角形（不添加任何輔助線）ABM）找出圖中與2（ 【答案與解析】 一、選擇題 1【答案】D； 【解析】由題意得，C=E， A、若添加BAD=CAE，則可得BAC=DAE，利用兩角法可判斷ABCADE，故本選項錯誤； B、若添加B=D，利用兩角法可判斷ABCADE，故本選項錯誤； =，利用兩邊及其夾角法可判斷ABCADE，故本選項錯誤；C 、若添加 ，不能判定ABCADE，故本選項正確； 、若添加D=故選D 2.【答案】A. 【解析】連結OC， ，C=90°，AC=BC B

18、=45°， 的中點，O為AB點 BCO=45°，OC=OB，ACO= BOF=90°，COF+EOC+COF= ，BOFEOC= BOF中，在COE和 ），BOF（ASACOE ，OE=OF 是等腰直角三角形，OEF B=45°，A=OEF=OFE= CABOEF 故選A ；【答案】C3. 3對理由如下：【解析】圖中相似三角形共有 是正方形，四邊形ABCD ，AD=DC=CBC=90°，D= FC=BC， DE=CE，DE：CF=AD：EC=2：1， ADEECF， CEF，：EC，DAE=AE：EF=AD DE，AE：EF=AD： EF，AD

19、：AE=DE：即 DAE+AED=90°， CEF+AED=90°， AEF=90°， AEF，D= AEF，ADE ECF，ADEAEF ECF，AEFECF，ADEAEF即ADE C故選D. 【答案】4. 時，又A=A，ABPACB，故此選項錯誤；【解析】A、當ABP=C 時，又A=A，ABPACB，故此選項錯誤；B、當APB=ABC 、當時，又A=A，ABPACB，故此選項錯誤；C= 、無法得到ABPACB，故此選項正確D 故選：D ；5.【答案】B =2【解析】根據勾股定理，AB= BC=，= ，AC= 的三邊之比為2所以ABC：=1：2 ：， ， 三角形

20、的三邊分別為，2A=3，三邊之比為2、： 3，故本選項錯誤；：3：= ，4B，、三角形的三邊分別為2，三邊之比為2：4：2=1：2，：=2 故本選項正確； ，故本32：C、三角形的三邊分別為2，3，=，三邊之比為 選項錯誤； ：=三邊之比為4=，D、三角形的三邊分別為：， ，故本選項錯誤4 C；6.【答案】 ，）4（）3（，）4（）2（，）2（）1（ABC的有：ABC【解析】能判斷能判斷ABCABC的共有3組 故選C 二、填空題 7.【答案】 （1）、（2）、（3）. 【解析】PAC=CAB， 當ACP=B時，ACPAPC，所以（1）正確； 當APC=ACB時，ACPAPC，所以（2）正確；

21、2 4）錯誤3）正確，當（=，即AC=AP?AB時，ACPAPC，所以（故答案為：（1），（2）（3） 或；1 【答案】C=2或B=8 9【答案】一定相似； 【解析】根據圖示知： AC=；AB=2，BC=1， DF=5，DE=2，EF= =，=ABCDEF 故答案是：一定相似 10【答案】AOB=DOC; =，AOB=DOC， 【解析】AOBDOC（兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似） 故答案為：AOB=DOC 11【答案】; 【解析】ABD、AEC都是等邊三角形， AD=AB，AE=AC，DAB=CAE=60°， DAC=BAC+60°， BAE=BAC+60

22、6;， DAC=BAE， DACBAE， BE=DC ADC=ABE， BOD+BDO+DBO=180°， BOD=180°BDODBO =180°（60°ADC）（60°+ABE）=60°， DACBAE， ADC=ABE，AEB=ACD， DBO=ABD+ABE=60°+ABE，OCE=ACE+ACO=60°+ACD， ABEACD， DBOOCE， 兩個三角形的最大角不相等，BOD不相似于COE； 故答案為： 12【答案】3 【解析】在ABC與DBA中， ABD=ABD，BAD=C， ABCDBA， 中，與CBE在AB