1、均 值 不 等 式 學 習 指 要高三總復習教學案例-不等式專題（1）高三數學組 劉海江算術平均數與幾何平均數之間的不等關系式稱為均值不等式（亦稱重要不等式或基本不等式），它是不等式的重要內容，也可以說是不等式中的精華。 在證明不等式及利用不等式求最值的問題中有著非常廣泛的應用。下面結合這屆學生的學情，及教學大綱的要求，對這一知識點所涉及的內容、方法進行歸納、總結。一、 基礎知識總結（重點記憶）1、 如果則（當且僅當時，取“=”）。2、 如果，都是正數，則（當且僅當時，取“=”）均值定理。定義“”叫做、的算術平均數，叫做、的幾何平均數，則上述不等式即為“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均

2、數”。3、 由“（，都大于0）”可以看出：若= s（為定值），則在時，取得最小值；若= s（為定值），則在時，取得最大值。4、 八種變式： ； ； ；若b>0,則；a>0,b>0,則；若a>0,b>0,則； 若，則。上述八個不等式中等號成立的條件都是“”。二、 均值定理的應用特點（典例剖析）1、 抓住兩邊結構進行合理轉化抓住兩邊結構進行轉化是不等式應用的重要一環，根據結論與條件，要想促使結論與條件的“溝通”，必須仔細分析結構特點，選用恰當的不等式或變式；例1、正數、 滿足 =1，求 的最大值 。思考：（1）本題是求“積”的最大值，常規是向“和”或“平方和”轉化，并

3、根據“和”或“平方和”是否是定值，做出選擇。（2）要利用=1，就必須去掉根號，因此要向“平方和”轉化，那么應用變式也就順理成章了。解： ， 當且僅當 即時取得“=”。 的最大值是 。例2、已知正數、 滿足 =1， 求 最小值；思考：將條件與結論放在一起，可以看出，要想從條件式推出結論式，必須完成從“和”向“平方和”的轉化；若從結論入手轉化，再利用條件，就必須完成從“平方和”向“和”的轉化。顯然，不管是由條件推出結論還是由結論轉化再利用條件，都離不開變式。解：， ， 當且僅當時取得“=。 最小值是 。2、 轉化中必要的“技術處理”對均值不等式的應用，除了要會從結構入手分析外，必要的“技術處理”還

4、必須掌握，如： “配系數”（將“”寫成“”或“”）；“拆項”（將“”寫成“”）；“加、減湊項”（將“”寫成“ ” ）；“升降冪” （） 等都是常用的“技術處理”方法。例3、 已知 ，求證：思考：從結構特點和字母的次數看與變式吻合，可從此式入手。解： 若b>0,則， 由 + 。（此題還有諸多證法,在此略）例4、已知 求 的最小值。思考：本題求“和”的最小值，但“積”并不是定值，故需要進行“拆項”變形等“技術處理”，注意到 ，容易找到解題的突破口解：由 ，于是=，當且僅當 即時取“=”的最小值是16。另外也可由 = = 來求得此最小值。三、 使用均值定理的注意事項（易錯提醒）1、 應用均值不

5、等式求最值方便、快捷，但必須注意條件 “一正、二定、三相等”， 即涉及的變量都是正數， 其次是和（平方和）為定值或積為定值， 然后必須注意等號可以成立。 如的最小值是5 ； 但使用均值不等式容易誤解為是4，因為不成立（不能取“=”）。2、 在使用均值不等式時，要注意它們多次使用再相加相乘的時候，等號成立的條件是否一致。如例4，要保證兩次均值不等式的取等條件相同（同時滿足）。3、 在使用均值定理求最值的時候，如果等號成立的條件不具備，應考慮用函數的單調性來解決。如求 的最小值，可利用函數的單調性來解決。 4、記憶一些常用結論： ， ， （）（四個平均數的大小關系）四、 應用舉例：循序漸進，學會變型（配套訓練）例練1 、求0 的最小值。 （ = 2 ）變形1、求 x0 的最小值。 ( = 4 )變形2、求，（0）的最大值。 （ = ）變形3、求的最小值。 （ = 3 ） 變形4、求的最小值。 （ = 2 ）變形5