1、NANJING UNIVERSITY OF AERONAUTICS AND ASTRONAUTICSFINITE ELEMENT METHOD IN MECHANICAL ENGINEERINGFinal Examination: June 21, 2007 Time: 10:00-12:00*1. Please write 5 special terms in finite element method. (5 points)五個專用術語，可以寫很多，單元，節(jié)點，網(wǎng)格，形函數(shù)，剛度矩陣，質量矩陣等等Element, node, grid, shape function, stiffness

2、matrix, mass matrix, strain-displacement matrix 2. What are basic steps in the finite element method? (10 points)這個書上有。4-3頁6條。（lecture 2（3）18頁）1) Select element types and discretize 選擇單元對物體離散2) Select a displacement function 構造位移函數(shù)3) Define the stress/displacement and stress/strain relationships 確定應

3、力-位移和應力-應變關系4) Derive the element stiffness matrix and equations 推導單元剛度矩陣和方程5) Assemble the element equations to obtain the global or total equations and introduce boundary condition 組裝單元方程形成總方程，并引入邊界條件6) Solve for the generalized displacements 求解位移3. What are the principles of derivation of element

4、 stiffness equation? 這個在2-4頁，虛功原理（lecture 1 第31頁）If the solution of the problem ,the deflection, is perturbed by adding a virtual deformation compatible with the support conditions, then the work done by the internal stresses along the virtual strains equals the external work done by the applied for

5、ces along the virtual deformations.(如果位移的解受到滿足邊界支撐條件虛位移的擾動，則內應力在虛應變上做的內功（虛應變能）等于外力在虛位移上做的功)ijfi , uifj , ujA, ELLlength; Across-sectional area; Eelastic modulus; ui, uj nodal displacements; fi, fj nodal forcesFig. 1Derive the stiffness equation of bar element (Fig. 1). (20 points)這個也在2-4頁（lecture 2第

6、24-27頁）4. What are properties of shape functions? For the element shown in Fig. 2, determine N1 and N2 in terms of x and h. (20 points)Note: Lagrangian Interpolation:hx1234-1+1-1+108765Fig. 2（插值法見lecture5（1）20-23頁）這個給孔哥講過，找直線。（找直線法，具體見lecture5（1）24、25頁）設然后將1點坐標（-1,-1）代入，可得，設然后將2點坐標（0，-1）代入，可得， 形函數(shù)的性

7、質1.滿足：即在節(jié)點i處為1，在其他節(jié)點處為0。2. ，形函數(shù)和為13.形函數(shù)與位移函數(shù)是相同階次的多項式。2009年題6找直線法：對于N3，在節(jié)點3處為1，在其他節(jié)點處等于零，567 一條直線，方程為x187 一條直線，方程為24 一條直線，方程為這三條直線包含了除3以外其他所有節(jié)點，可令這樣對其他節(jié)點均有，為保證在節(jié)點3處，只需令，而，從而，在節(jié)點1處，將坐標（-1，-1）代入，在中心點（0,0）處，N8同理。5. Ke is the stiffness matrix of 3-noded triangular element in which there is one degree of

8、 freedom at a node. Define the elements by nodes and find system stiffness matrix of Fig. 3. (15 points)（見lecture 6 第2、3頁）Note:54213Fig. 3這個題找的是單元和總體的下標對應，在所有的單元內部，都有這里的下標都是單元內的下標。對于單元2單元下標 1,2,3對應總體下標1,2,3對于單元1，局部下標 1,2,3對應總體下標1,5,3對于單元3，局部下標 1,2,3對應總體下標4,3,2然后對號入座疊加總剛單元的標號一般以逆時針為其標號順序ElementNode 1

9、Node 2Node 3115321323234寫出每一個單元矩陣的剛度矩陣由此寫出總剛度矩陣形成總剛度矩陣，只需把三個單元里的元素一一填到總剛度矩陣里面即可，如總剛度矩陣里的由單元1和單元2里的元素組成（相加），而表示14節(jié)點不同時出現(xiàn)在某一個單元里，數(shù)值為零；剛度矩陣是對稱矩陣。6. Consider the mesh with two four-node quadrilateral elements as depicted in Fig. 4. Let the physical variable, say temperature T, to be solved be described

10、by Of course, each element in general has different .(1) Explain that the compatibility condition is not satisfied along the inter-element boundary by any method. (10 points)yx0123456(2) Explain that the above compatibility condition is satisfied if the iso-parametric formulation is used. (10 points

11、)Fig. 4在平面中，由于采用了雙線性函數(shù),矩形單元內的應力是線性變化的，與三角元相比，更好地反映了單元內實際應力的變化狀況。但矩形單元不能適應曲線邊界和非正交的直線邊界。如對任意四邊形，采用矩形單元的雙線性位移函數(shù)，則沿邊界上（單元的公共邊界）位移不再是線性變化的，這樣其位移的連續(xù)性將得不到保證。將原來的任意四邊形單元（子單元）變換為一個正方形單元（母單元）。顯然，母單元是正方形，便可以應用矩形單元的雙線性位移函數(shù)。沿其邊界也就線性化了，從而位移協(xié)調也就得到了保證。這樣，我們取子單元來自結構，它代表了真實結構的幾何特征，然后通過坐標變換轉換到母單元上去，進行一系列有限元運算。它可以保證各單

12、元公共邊界上的位移連續(xù)性（這一條是有限元收斂于真實結果的最重要條件）。從而保證了計算結果的正確性。對于四結點平面等參元，由于相鄰單元的交界線，可由線上的兩個結點坐標唯一確定，因此交界線上的形函數(shù)是相同的，而且交界線上的位移只與該線上的結點位移有關，而與其它結點位移無關，因此，交界線上的位移可由該線上的結點位移唯一確定，即單元的協(xié)調性得到滿足。（1）矩形單元不能適應曲線邊界和非正交的直線邊界。如對任意四邊形，采用矩形單元的雙線性位移函數(shù)，則沿邊界上（單元的公共邊界）位移不再是線性變化的，這樣其位移的連續(xù)性將得不到保證。公共邊方程為y=kx+b,將y=kx+b代入，為二次函數(shù)，非線性，兩個點無法確

13、定位移，因此不相容或不協(xié)調。（二次曲線必須由三個點確定，若此時為舉行單元，則有，y=b或x=a,即其中一個量為常數(shù)，代入雙線性函數(shù)后仍為一次函數(shù)，可由兩個邊界點來確定位移。） （2）采用坐標變換法，將任意四邊形進行等參變換。（等參變換后化為正方形，邊界線的方程變?yōu)椋τ谒慕Y點平面等參元，由于相鄰單元的交界線，可由線上的兩個結點坐標唯一確定，因此交界線上的形函數(shù)是相同的，而且交界線上的位移只與該線上的結點位移有關，而與其它結點位移無關，因此，交界線上的位移可由該線上的結點位移唯一確定，即單元的協(xié)調性得到滿足。（等參變換是一一映射，既然等參單元里的邊界位移可確定，則對應的原單元邊界也可確定）7.

14、Finite element methods are a powerful numerical technique for obtaining approximate solutions for various problems in engineering and science. The numerical errors involving in the methods arise from some aspects. Write two of them? With regards to these two aspects, how do we do in order to enhance

15、 the accuracy? (10 points)我認為，引起數(shù)值誤差的原因，有這樣一些方面1. 有限元本身就是一個近似解，并不是域內每一點，都滿足平衡方程。而是在域內積分后滿足。所以，肯定會帶來誤差，并且會累積。這就需要應用一套評價標準，來進行模型驗證，看看網(wǎng)格粗細，對結果的影響，如何盡量減小誤差。2. 有限元工程建模，對人的工程經(jīng)驗要求較高，沒有工程經(jīng)驗的話，畫的網(wǎng)格基本是不能用的，人為因素，帶來的誤差，是非常重要的。這需要接受專門的工作培訓，以及經(jīng)驗的累積。3. 很多非線性問題，比較復雜，用有限元模擬也非常難。比如材料的切削加工過程，包含接觸非線性，塑性大變形，斷裂分離等諸多過程，需要

16、用顯式積分，中心差分法來算，耗時巨大，在分離過程中，網(wǎng)格還經(jīng)常會出現(xiàn)扭曲，變形。可采用自適應網(wǎng)格劃分技術，來實時修改網(wǎng)格，提高精度。最后說明，有限元計算，并不是孤立的，需要和實驗相結合，利用大量的實驗數(shù)據(jù)來修正計算模型，美國的福特，波音，在這方面做得非常好，很多工程問題，已經(jīng)修得很準，不需要重復做實驗了，省了很多錢。Find the equivalent nodal loads at node 4 for the boundary load as shown in the figure. Three elements are congruent triangles(全等三角形).2qq1253

17、4我的思路是：將邊界載荷分為兩部分，分別對單元2，單元3做等效節(jié)點載荷，再將其累加。求等效節(jié)點力見lecture3（1）31-36頁對單元22q3q/22342342343q/2q/2(a)(b)(c)將載荷分為（b）(c)兩種情況，套用書上的結果同理對單元33q/2q245245245qq/2Draw a mesh that can be used to accurately analyze the part as shown in Fig 5.以上純屬個人瞎畫，僅供參考。State the four requirements generally satisfied in the choic

18、e of element displacement function.（Lecture 3(1) 第5頁）1 Ensures compatibility between elements 能滿足單元之間的協(xié)調性。Edge displacements are the same for adjacent elements if nodal displacements are equal.2 Displacements vary linearly along any line 沿任一直線位移是線性變化的3 Displacements vary linearly between nodes 兩節(jié)點之間的位移是線性變化的 What is the advantage of isoparametric elements?借助等參單元可以對任意的幾何形狀的工程問題和物理問題方便的進行有限離散。等參單元的提出為有限元成為現(xiàn)代工程領域最有效的數(shù)值分析方法邁出了重要一步。How is the