1、實際應用問題，如何面對才能巧渡難關？高考數學試題中聯系生活實際和生產實際的應用問題，其創意新穎，設問角度獨特，解題方法靈活，一般文字敘述長，數量關系分散且難以把握解決此類問題關鍵要認真審題，確切理解題意，進行科學的抽象概括，將實際問題歸納為相應的數學問題，然后利用函數、方程、不等式等有關知識解答一、以函數為背景的實際應用問題1.二次函數模型：二次函數模型為生活中最常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優、最省等問題常常是二次函數的模型用二次函數解決實際問題時，一般要借助函數圖象的開口方向和對稱軸與單調性解決，但一定要注意實際問題中函數的定義域，否則極易出錯【高考趨勢】從近

2、幾年的高考試題來看，建立函數模型解決實際問題是高考的熱點，題型主要以解答題為主，難度中等偏高，常與導數、最值交匯,主要考查建模能力，同時考查分析問題、解決問題的能力預測2012年高考仍將以函數建模為主要考點，同時考查利用導數求最值問題例1【山東省濟南市2012屆高三3月二模】濟南市“兩會”召開前，某政協委員針對自己提出的“環保提案”對某處的環境狀況進行了實地調研.據測定，該處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數為k(k0).現已知相距36 km的A，B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為正數a,b，它們連線上任意一點C處的污染指數y等于兩化工廠對該處的污染指數之

3、和.設AC=x(km).() 試將y表示為x的函數； () 若a=1時，y在x=6處取得最小值，試求b的值.解：（） 設點C受A污染源污染指數為，點C受B污染源污染指數為，其中k為比例系數，且k0. 2分從而點C處污染指數4分（） 因為a=1，所以， 5分又此時x=6，解得b=25，經驗證符合題意.所以，污染源B的污染強度b的值為2512分二、以三角形為背景的實際應用問題【常見類型】對于不可抵達的兩地之間距離的測量問題(如海上、空中兩地測量，隔著某一障礙物兩地測量等)，解決的思路是建立三角形模型，轉化為解三角形問題一般根據題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所求

4、的量，從而得到實際問題的解，解題時應認真審題，結合圖形去選擇定理【解題技巧】求距離問題一般要注意：(1)基線的選取要準確恰當(在測量上，我們根據測量需要適當確定的線段叫做基線，如例題中的CD)(2)選定或創建的三角形要確定(3)利用正弦定理還是余弦定理要確定(4)要注意仰角、俯角、方位角等名詞，并能準確地找出這些角；(5)要注意將平面幾何中的性質、定理與正、余弦定理結合起來，發現題目中的隱含條件，才能順利解決例2 【河南省鄭州市2012屆高三第二次質量預測數學】鄭州市某廣場有一塊不規則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為ABC、ABD

5、，經測量AD=BD=7米，BC=5 米，AC=8 米，.(I)求AB的長度；(II )若環境標志的底座每平方米造價為5 000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用最低（請說明理由），最低造價為多少？解：（）在中，由余弦定理得， 2分在中，由余弦定理得故選擇建造環境標志費用較低. 8分因為：=,所以是等邊三角形，D=.故，所以，總造價為：元. 12分三以導數為背景的實際應用問題 【解題技巧】實際應用中準確地確定函數解析式，確定函數定義域是關鍵例3某電視生產廠家有A、B兩種型號的電視機參加家電下鄉活動若廠家投放A、B型號電視機的價值分別為p、q萬元，農民購買兩種型號的電視機獲得的補貼分

6、別為p、mln(q1)(m>0)萬元已知廠家把總價值為10萬元的A、B兩種型號電視機投放市場，且A、B兩型號的電視機投放金額都不低于1萬元(1)當m時，請你制訂一個投放方案，使得在這次活動中農民得到的補貼最多，并求出其最大值；(2)討論農民得到的補貼隨廠家投放B型號電視機金額的變化情況(精確到0.1，參考數據：ln 41.4)【思路分析】由已知可建立農民獲得補貼的函數關系式(1)將m代入后再利用導數可求其最值(2)先對y求導，并對y0的根分段討論，得出函數單調性即可說明問題【解】設B型號電視機的價值為x萬元(1x9)，農民得到的補貼為y萬元則A型號電視機的價值為(10x)萬元，由題意得：

7、y(10x)mln(x1)mln(x1)x1.(1)當m時，有yln(x1)x1，y，由y0，得x3.(2)y，令y0，得x10m1.110m19，即0.2m1時，x1,10m1)，y>0；x(10m1,9，y<0.當x1,10m1)時，隨B型電視機投放金額x的增加，農民得到的補貼逐漸增加；當x(10m1,9時，隨B型電視機投放金額x的增加，農民得到的補貼逐漸減少四以排列、組合的為背景的實際應用問題【失誤防范】1解決排列、組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區分排列、組合問題主要是判斷“有序”和“無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關鍵是在計算中體現“有序”和“

8、無序”例4 【成都市2012屆高中畢業班第二次診斷性檢測】咱們“拼”了！拼車省時、省力、省心、省錢，“互助搭乘，綠色出行”.拼車主要分為：上下班拼車，過年、過節回家拼車，旅游拼車等.某高校的8名屬“老鄉”關系的同學準備拼車回家，其中大一、大二、大三、大四每個年級各兩名，分乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(乘同一輛車的4名同學不考慮位置）,其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名同學中恰有2名同學是來自于同一年級的乘坐方式共有(A)18 種 （B)24 種 （C)36 種 （D)48 種【答案】B 【解析】依題意得知，滿足題意的乘坐方式必是這兩輛車分別都是恰有2名同學是來自于同一年級，

9、滿足題意的不同乘坐方式共有種（注：表示大一的孿生姐妹從甲、乙兩輛汽車中任選一輛乘坐的方法數（假定選定的是甲車）；表示從余下的大二、大三、大四三個年級中任選定兩個年級的方法數；表示從所選定的兩個年級各有兩名學生中各任選一名學生乘坐的方法數），選B.五以線性規劃為背景的實際應用【解題技巧】解線性規劃應用問題的一般步驟是：(1)分析題意，設出未知量；(2)列出線性約束條件和目標函數；(3)作出可行域并利用數形結合求解；(4)作答解線性規劃問題的思維精髓是“數形結合”，其關鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應盡可能精確，圖上操作盡可能規范，假若圖上的最優點并不明顯易辨時，不妨將幾個有可能是最優點的坐標都求

10、出來，然后逐一檢測，以“驗明正身”【思路分析】設需要預訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x，y個單位，由題意得到線性約束條件及目標函數，進而畫出可行域及求得最優解【解】法一：設需要預訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依題意，得z2.5x4y，且x，y滿足即作出可行域如圖，則z在可行域的四個頂點A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)處的值分別是即作出可行域如圖，讓目標函數表示的直線2.5x4yz在可行域上平移，由此可知z2.5x4y在B(4,3)處取得最小值因此，應當為該兒童預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求【誤區警示】本例屬線性規劃實際

11、應用問題，解決此類問題常見的錯誤點有：(1)不能準確地理解題中條件的含義，如“不超過”、“至少”等線性約束條件出現失誤；(2)最優解的找法由于作圖不規范而不準確；(3)最大解為“整點時”不會尋找“最優整點解”處理此類問題時，一是要規范作圖，尤其是邊界實虛要分清；二是尋找最優整點解時可記住“整點在整線上”(整線：形如xk或yk，k Z)六以數列為背景的實際應用問題【解題技巧】解數列應用題，要充分運用觀察、歸納、猜想等手段，建立等差數列、等比數列、遞推數列等模型(比較典型的問題是存款的利息計算問題，通常的儲蓄問題與等差數列有關，而復利計算則與等比數列有關) (1)設n年內(本年度為第一年)總投入為

12、an萬元，旅游業總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達式(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入？【解】(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1)萬元，第n年投入為800×(1)n1萬元，所以，n年內的總投入為an800800×(1)800×(1)n14000×1()n(2)設至少經過n年，旅游業的總收入才能超過總投入，由此bnan>0，即1600×()n14000×1()n>0，令x()n，代入上式得5x27x2>0，解此不等式，得x<，或x>1(舍去)，即()n<

13、，由此得n5.至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入【誤區警示】(1)容易把這里的an與bn看作數列的通項處理；(2)解不等式2×()n5×()n7>0時，不會換元轉化；(3)求出()n<后，不會用估算法求出n的最小值【最新模擬試題精選】六安排兩人，則有種；若周六安排3人，則有種；綜上共有7種.BAC2.【2012韶關第一次調研理】為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁（如圖），要測算兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線，測得，就可以計算出兩點的距離為( )A B C D. 【答案】A【解析】在中，由正弦定理;3.【2012年西安市高三年級第一次

14、質檢文】已知甲、乙兩車由同一起點同時出發，并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為V甲和V乙(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1,，下列判斷中一定正確的是A.在t1時刻，甲車在乙車前面B.t1時刻后，甲車在乙車后面C.在t0時刻，兩車的位置相同D.T0時刻后，乙車在甲車前面 【答案】A【解析】本題主要考查函數的應用問題，物理知識和數學的交匯. 屬于基礎知識、基本思維的考查.甲車、乙車的速度曲線分別為V甲和V乙，路程分別為S甲和S乙，由圖知，在t0到t1時刻，甲比乙快得多。到t0時刻，兩車行駛的路程相同。曲邊多邊形的面積表示路程，由圖知曲邊多邊形DCBE面積<曲邊多

15、邊形DCAE面積，S乙< S甲, 又沿同一直線路線行使，于是甲車在乙車前面。4.【2012海南嘉積中學期末理11】某企業準備投資A、B兩個項目建設，資金來源主要靠企業自籌和銀行貸款兩份資金構成，具體情況如下表。投資A項目資金不超過160萬元，B項目不超過200萬元，預計建成后，自籌資金每份獲利12萬元，銀行貸款每份獲利10萬元，為獲得總利潤最大，那么兩份資金分別投入的份數是（ ） 單位：萬元 項目自籌每份資金銀行貸款每份資金A2030B4030A、自籌資金4份，銀行貸款2份 B、自籌資金3份，銀行貸款3份C、自籌資金2份，銀行貸款4份 D、自籌資金2份，銀行貸款2份【答案】C，請你根據這

16、一發現，求：（1）函數對稱中心為 ；（2）計算= 。【答案】（,1）； 2010 【解析】本題主要考查閱讀理解能力和類比推理能力. 屬于基礎知識、基本運算、基本能力的考查.，函數對稱中心為（,1）6.【2012武昌區高三年級元月調研文】某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為，其中為銷售量（單位：輛）若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為 萬元【答案】 456 【解析】本題主要考查函數的應用問題及二次函數的最值. 屬于基礎知識、基本運算的考查.設甲地銷量為輛，則乙地銷量為15輛，總利潤為y（單位：萬元），則，即 二次函數對稱軸為，故輛時y最大，最大值為456萬元

17、。7.【山東省德州市2012屆高三上學期期末考試數學試題】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過點C,已知AB=3米，AD=2米。（）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長應在什么范圍內？（）當DN 的長度為多少時，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值。解：（）設DN的長為米，則米,由得又得解得：即DN的長取值范圍是（）矩形花壇的面積為當且僅當時，矩形花壇的面積最小24平方米解析說明：根據三角形的相似可得，從而將AM與AN都用DN表示，得到AMPN 的面積表達式，解不等式即可.利用均值不等式求最值.ACB&#

18、183;·8.【2012吉林市期末質檢文】在某海岸A處，發現北偏東方向，距離A處n mile的B處有一艘走私船在A處北偏西的方向，距離A處n mile的C處的緝私船奉命以n mile/h的速度追截走私船. 此時，走私船正以5 n mile/h的速度從B處按照北偏東方向逃竄，問緝私船至少經過多長時間可以追上走私船，并指出緝私船航行方向. 【解析】設緝私船至少經過t h 可以在D點追上走私船，則， （1分）在ABC中，由余弦定理得，, （3分）ACB··D由正弦定理得， （5分）點B在C的正東方向上， （7分） 又在DBC中，由正弦定理得 , ， （9分），即， （11分）又故緝私船至少經過h可以追上走私船，緝私船的航行方向為北偏東. （12分） ，即12分 解：（） 3分由基本不等式得 當時, 11分答：生產件產品時，總利潤最高，最高總利潤為元 12分（2）省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？【解】（1）當時，t0； 1分當時，（當時取等號），在上單調遞減，在上單調遞增，且故. 10分當且僅當時，. 故當時不超標，當時超標 13分（）如果你是一名闖關者，為了得到更多的慧幣，你應如何選擇獎勵方案？【解析】本題主要考查等差數列、等比數列及不等式等基礎知識