1、習(xí)題2.1 解釋如下的概念：應(yīng)力、應(yīng)變，幾何方程、物理方程、虛位移原理。解應(yīng)力是某截面上的應(yīng)力在該處的集度。應(yīng)變是指單元體在某一個(gè)方向上有一個(gè)AU的伸長(zhǎng)量，其相對(duì)變化量就是應(yīng)變。X 表示在x軸的方向上的正應(yīng)變，其包括正應(yīng)變和剪應(yīng)變。幾何方程是表示彈性體內(nèi)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系，其完整表示如下:uVwvuwVxyzxyyzywzzvuxy xyyzwVxzyzuwzx物理方程：表示應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的方程某一點(diǎn)應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系如下:x111213141516xxy212223242526yyz313233343536zzxy414243454546xyyz5152535455

2、56yzxz616263646566xz虛位移原理：在彈性有一虛位移情況下，由于作用在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力系，在相應(yīng)的虛位移上虛功 總和為零，即為：若彈性體在已知的面力和體力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么使彈性體產(chǎn)生虛位移， 所有作用在彈性體上的體力在虛位移上所做的工就等于彈性體所具有的虛位能。2.2 說明彈性體力學(xué)中的幾個(gè)基本假設(shè)。0連續(xù)性假設(shè)：就是假定整個(gè)物體的體積都被組成該物體的介質(zhì)所填滿，不存在任何間隙。(2完全彈性假設(shè)：就是假定物體服從虎克定律。O各向同性假設(shè)：就是假定整個(gè)物體是由同意材料組成的。0小變形和小位移假設(shè)： 就是指物體各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，并且其應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都小于1。2

3、.3 簡(jiǎn)述線應(yīng)變與剪應(yīng)變的幾何含義。線應(yīng)變：應(yīng)變和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與位移導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，剪應(yīng)變表示單元體棱邊之間夾角的變化。2.4 推到平面應(yīng)變平衡微分方程。解：對(duì)于單元體而言其平衡方程：xxyxyxyyxyxzzyxyzxzyxy在平面中有 zzx zy代入上式的2.5如題圖2.1所示，被三個(gè)表面隔離出來平面應(yīng)力狀態(tài)中的一點(diǎn),00求 和的值。解：x方向上:聯(lián)立二式得:20 40 30 cos45°20 30sin45030.220、. 2 300cos45 00sin 4502.6相對(duì)于xyz坐標(biāo)系，一點(diǎn)的應(yīng)力如下6 44 3 00 0 3某表面的外法線方向余弦值為nx ny 6/11nz 7

4、/11求該表面的法相和切向應(yīng)力O解：該平面的正應(yīng)力nx ny nzxxyxzIyxyyznyzxzyznz2nxx2ny2nz2nxnyxy2nynz yz2nznx zx1111(3)1111611全應(yīng)力nx xy n y ynz yznxzxny yznz6 611116 41111(3)115.80該平面的切應(yīng)力nTn2n2. 5.82 4.4923.682.7 一點(diǎn)的應(yīng)力如下MP求主應(yīng)力和每一個(gè)主應(yīng)力方向的方向余弦；球該店的最大剪應(yīng)力。解：設(shè)主平面方向余弦為 nxnynz，由題知x y z 20xyyx yzzyxzzx10I1x V z 20 20 20 60MPax y zI2 x

5、 y y z z x / yz2: 20 20 3 102 3 900MPaI。22223 x y z xy yz zx x yz x zx z xy20 20 20 2 10 10 10 20 102 3 4000 Pa將 ILL代入 3 Ii 2 I2 I3 0得 3 60 2 9004000 02即 401001 40MPa 23 10MPa40 10最大剪應(yīng)力max15MPa1時(shí)代入式（2.21 ）20nx 10nv 10nz xyz10nx 20nv 入y10nx 10ny10nz20nznx ny nzQnx22ny2nz1nxny nz2nx2nynz21(2)3時(shí)代入式（2.2

6、1nxnynznxnynznx,一 63nynz62.8已知一點(diǎn)rP的位移場(chǎng)為uyi 3yzj(4r bx)k102p（1,0,2）的應(yīng)變分量。解：p點(diǎn)沿坐標(biāo)方向的位移分量為u,v,w102,v 3yz102, w6x2102點(diǎn) p(1,0,2)處線應(yīng)變?yōu)閤x剪應(yīng)變?yōu)関xy 一xyz2.9具有平面應(yīng)力場(chǎng)的物體，材料參數(shù)為u(x, y)3 ax1 2 bxyv(x, y)yy3yE、其中,a、b、c、d是常量。解:x2- 因?yàn)閥3axby22b2y-2" x2c所以滿足相容性條件22x y22y xxy2 cxv3z y102 0102xz6 102zz12v。有如下位移場(chǎng)1 3 y

7、dyxy討論位移場(chǎng)的相容性2_2cx 3dyvxy -yu c2cxy x3 2c 2b x y2_1012002bxy有廣義胡克定律23a c x b 3dxyQ xy 又G則xyxy2.10 一具有平面應(yīng)力場(chǎng)的物體,_ _ 2_ 3u(x, y) 30x2 10x3y20?2xyv(x, y) 10x2 20xy3當(dāng) x=0.050m,y=0.020m 時(shí),解:xy13a c x2b 3d y22LEc b xy材料性質(zhì)是E=210GPa,v=0.3.并且有如下位移場(chǎng)5y2求物體的應(yīng)力和應(yīng)變。位移場(chǎng)是否相容?U22 60x 30x2y 60 0.05 30 0.052 0.02 2.998

8、5 x60xy2u20x y由廣義胡克定律xyxy2y-2x10y20 y3xy60 0.052 0.02 10 0.02 0.20122360y10x210 10921 0.329210 1091 0.3220 0.05 202.9985 0.30.3 2.9985_9210 101.02291! 1 0.3xy0.0230.20120.20128.26_260 0.02102.542.542.11對(duì)于一個(gè)沒有任何體積力的圓盤,滿足相容性條件處于平面應(yīng)力狀態(tài)。2x-2y其中2一0.051.022911052y-2xMpa105105xyMpaMpa3.2x ay bx y cxx dy32

9、2 fxy gx ya, b, c, d, e, f, g, h么？是常量。為了使應(yīng)力滿足平衡方程和相容方程，這些常量的約束條件是什解：由題意得:2bxy c3dy2 yxy2fy 2gxy 2 fxy gx2 y代入平衡方程二 2bxy y2c 2 fxy gx3d f y22gx c 0xyx 2一fy x2_2gxy 3dy 0根據(jù)廣義胡克定律:xyxyG3aydy3fxy2bxcx2gx y2 x-2y6ay 6d y2y2x2b yExy2fy2gx代入相容方程6ay6d y2b yfygx3a 3d bx 代入(1)得其中2.132 _x2 y3a 3d(2)3a 3d b 2 1

10、cg2fb f 3d f3a 3d b 2 1cg2fb f 3d3a 3d b 2 1b f 3d f根據(jù)彈性力學(xué)平面問題的幾何方程,證明應(yīng)變分量滿足下列方程,2y2x2xy并解釋該方程的意義。證明：彈性力學(xué)平面問題的幾何方程為:_ux x，_uy y,N _uxy x y ,將方程，分別對(duì)y和x求二階偏導(dǎo)并相加得:2 x-2y2 x2x3u2xy2xy2_u _v xy y xu V等式右端項(xiàng)下22x y xyx xy2x2該方程為相容方程中的第一式，其意義為彈性體內(nèi)任一點(diǎn)都有確定的位移，且同一點(diǎn)不可能有連個(gè)不同的位移，應(yīng)變分量y，xy應(yīng)滿足相容方程，否則,變形后的微元體之間有可能出現(xiàn)開裂

11、與重疊。2.14假設(shè)Airy應(yīng)力函數(shù)為并求這些變量間的約束關(guān)系。4axa?x ya3x y34a4xy a5y，其中廿為常數(shù)，求x, y, xy解:y2，yx2,xyx y,對(duì)該應(yīng)力函數(shù)求偏導(dǎo)得3a>x?y &xy3qy7 藪 2=3x2y45y對(duì)以上兩式的偏導(dǎo)可求得:222y v 12aix 6%xy 2%y x222x 飛 2%x 6a,xy 1205y2y22xy 個(gè)3a3x 4a3xy 3a4y4考慮相容性條件-40y,將上式代入可得各常量間的關(guān)系如下:2.15對(duì)給定的應(yīng)力矩陣,20進(jìn)行比較，8 =106al 6a5 a3 0求最大 Tresca和Von.Mises應(yīng)力。

12、將 Von Mises應(yīng)力和Tresca應(yīng)力10 10、20 10 Mpa。<10 10 20 J/ Sz T xy T xz 、解：由 Tresca 準(zhǔn)則：8 =8 y ° yz 故有 8 s=20Mpa , t max= S s/2=10Mpa<Sz J8 1= ( 8 x+ 8 y) /2=30Mpa6 2=10Mpa由 Von Mises 準(zhǔn)則：2 8 s2=6 ( ° xy2+ t yz2+ t yz2)解得 s s=30Mpa命-15 2a2.16 一點(diǎn)出的應(yīng)力狀態(tài)由應(yīng)力矩陣給出，即8=-15-2510 Mpa ,若 E=70Gpa , 丫(20 1

13、0 40=0.33,求單位體積的應(yīng)變能。解：?jiǎn)挝惑w積應(yīng)變能：U =1/2E 8 x2+ 8 y2+ 8 z2-2u( SxSy+SySz+SzS z)+2(1+U)( T xy2 + T xz2+ T yz2)u= (E-2 丫)/2 丫 丫 =0.33 帶入可得：u =420.75J 3.11如圖3.11所示的平面三角形單元，厚度 t=1cm,彈性模量E=2.0*105mpa,泊松比丫 =0.3,試求 插值函數(shù)矩陣N,應(yīng)變矩陣B,應(yīng)力矩陣S,單元?jiǎng)偠染仃?K%b1B=1/2 *0<c10b20b30C10C20C3=1/32*b1 C2 b2 C3 b解：此三角形單元可得：2A= (1

14、0-2 ) *4=32 ,故有 a1=1/32* (8U1-5U2-16U3) a2=1/32* (4u4u2) a3=1/32* (-8U1+8U3) a4=1/32* ( 56v1-8V2-16V3) a5=1/32* (-4V1+4 V2) a6=1/32* (-8V1+8v3) 而 b1=y2-y 3=-4b1 =x2-x 3=-8b1 =y3-y 1 =4b1=x3-x 1=0b1=y1 -y 2=0b1=x1-x 2=8廠-40400、0-8008r1D=E/(1- 丫 2)* 丫S=D*B=E/0.91*丫 0100 (1-丫 )/2廠 10.30.3 1 10.3 0=E/0.

15、91*0.3 1 0< 00 0.350-0.125 0 0.1250* 0-0.2500.25<00 0.35 J <-0.25 0.125 0 0.25K=BT*D*B*t* =E/36.4*-1.4 0 -1.4 -0.704 -0.6-4-1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.70.70-0.7 -4 1.3 -0.6 -10.35000.6 -1-0.60J3.7 0 0.7 -0.350qy1-84080)K=BT*D*B*t* =E/36.4* 0000.6-1-警0.350.70-0.7-0.30.71.40-1.4-0.70 4-0.6 -4-0.7

16、-1.4-0.62.41.3-0.35-1.4-41.33回5006 01 0.63.12求下圖中所示的三角形的單元插值函數(shù)矩陣及應(yīng)變矩陣,u1=2.0mm , v1=1.2mm , u2=2.4mm ,v2=1.2mm , u3=2.1mm , v3=1.4mm ,求單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力，求出主應(yīng)力及方向。若在單元jm邊作用有線性分布面載荷（x軸），求結(jié)點(diǎn)的的載荷分量。 解：如圖24=64/3 ,解得以下參數(shù)： a1=19 a2=-2 a3=6; b1=-3 b2=4 b3=-1 ; c1=-1 c2=-3 c3=4;N3=64/3*(6-x+4y)故 N= N Ni 0 Nj L0 Ni 0

17、 10 1 =0 1 0biB=1/2 * C c lei-3 0 =64/3*0 -1<-1 -30 Nm 0Nj 0 Nm /0 10、1 0 1 J0 bj 0 bm 0i 0 c j 0 c m bi Cj bj Cm bm4 0-10、0-304-3 4 4 -1r 100、D=E/(1- 丫 2)*丫 10<00 (1- Y )/2 j11 丫 0單元應(yīng)力矩陣S=D*B= E/13(1- 丫 2)*丫 10<00 (1-丫)/230 4 0 -1*0-10-30 q-1 -3-3 4 4單元應(yīng)力S=S*q= E/13(1-3 -u 4 3u -1 4u丫 2)*-

18、3u -1 4u -3 -u 4l(u-1)/2 (3u-3)/2(3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/2 J04r-121.12.41.22.4J.4N1=64/3*(19-3x-y)N2=64/3*(-2-3x-3y)3.13解：二維單元在x,y坐標(biāo)平面內(nèi)平移到不同位置，單元?jiǎng)偠染仃囅嗤谄矫婢仃?180°時(shí)變化，單元作上述變化時(shí)，應(yīng)力矩陣不變化。3.14解:1,2.0e 011,1/3biG單元2.25b2C20.75(0,1)(2,1)(0,0)(2,0 )b3C2b2c3b3D0.752.250.750.50.5 0, ke0.5 0 0.5-1.125 -0

19、.751.125 00.751.0e+011* -0.375 -2.25-0.75 -0.3750.375 00 0.3752.250.75DB1.31250.75單元:0.75 -0.56252.4375 -0.375-0.5625-0.375 0.5625-0.375 -0.18750-0.75 -0.375-0.375-2.250.375-0.375 -0.75 -0.375-0.1875 -0.375-2.250.1875 0.3750.375 0.750.50.50.50.50.375*1.0e0112.2500.751.1250.751.1250S02.250.3752.250.3

20、750*1.0e0110.75 00.750.37500.3750.7500.750.37500.37502.250.3752.250.3750 ke0.75 0.3751.31250.750.56250.3750.375 2.25 0.752.43750.3750.187500.375 0.56250.37510.5625 00.375 00.3750.187500.1875一一，由ke和ke擴(kuò)充kz (總剛度陣)1.31250.750.56250.3750.750.375000.752.43750.3750.18750.3752.25000.56250.375 1.312500.7500

21、0.375kz 1.01e 011*0.3750.750.18750.37500.752.437502.2502.0625 0.750.37500.5625 0.3750.3752.2502.250.75 4.68750.3750.18750000.3750.56250.3750.5625 0000.37500.3750.187500.1875而Rekz.qeRe 其中Rx1RV1 01 021-R& RV2qe 00X1V1X2V20 0,化簡(jiǎn)得：Xi1.312500.750010.113Vi02.437502.2520.5968x 20.7502.06250.7500.1947V2

22、02.250.754.6875120.4243則，RX0.56250.3750.750.3750.11130.1481Ry00.18750.3752.250.59680.9517Rx20.750.3750.56250.3750.19470.1742RV20.37500.3750.18750.42430.0482，./_ 5 一3.15如圖所示有限元網(wǎng)格,泊松比a 4cm,單元厚度t1mm,彈性模量E 2.0 10 MPa,0.3。回答下述問題：(1)結(jié)點(diǎn)如何編號(hào)才能使結(jié)構(gòu)剛度矩陣帶寬最小？(2)如何設(shè)置位移邊界條件才能約束結(jié)構(gòu)的剛體移動(dòng)?(3)形成單元?jiǎng)偠染仃嚥⒓山Y(jié)構(gòu)剛度矩陣。(4)如果施加

23、一定載荷，擬定求解步驟。(2)(3)解：1、節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖(2)所示；2、如圖(3)設(shè)置位移邊界條件才能約束結(jié)構(gòu)的剛體移動(dòng)；3、如圖(2)所示各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(以地單位)：1(0,0) , 2(0.08,0) , 3(0,0.04) , 4(0.08,0.04 ),5(0,0.08) , 6(0.08,0.08), 7(0,0.12) , 8(0.08,0.12)解：?jiǎn)蜶#123456相鄰結(jié)點(diǎn)134557225466343678對(duì)于單Tt號(hào)1 :biy2y30.04 . b2y3y10.04 .b3y1y20；c1x3 x20.08. c2x1 x30, c3x2 x10.08.? ? ?對(duì)于單元

24、號(hào) 2：b3y2y4 O.04；b2 y4y30. b4 y3y2O.04；c3 x4 x20c2x3x40.08c4x2x30.08"F; u"r； r"”；對(duì)于單元號(hào) 3 ：b4y5y30.04 . b5y3y40 .b3 y4y50.04.c4x3x50c5x4x30.08c3*5*40.08； ； ；對(duì)于單元號(hào) 4 ：b5y4y60.04. b4y6y50 .b6y5 y40.04 ；c5x6x40c4x5x60.08c6x4x50.08“、；rv”；“rv;對(duì)于單元號(hào) 5：b5y6y70.04.b6y7y50.04 .b7y5y60 .c5 X7 20.

25、08 . 06x5 x70 , c7x6 x50.08.x6 x70.08.對(duì)于單元號(hào) 6： 3 y6 y80.04. b6y8y7 0. b8 y7 y 0.04.c7x8x60 . c6 x7 x80.08 . c82平面三角形單元的面積均為1x1y1， 21x2y20.0032m1x3y3彈性矩陣均為 應(yīng)變矩陣1011 12.0 1011 V0.30100.3100.9100(1)/2000.35E2b(1)b(3)b(5)b(4)b(6)0b20b3012.5012.50000C10C20C302500025gb1C2b2C3b32512.5012.5250b30b20b4012.50

26、0012.5 00C30C20C400025025C3b3C2b2C4b4012.52502512.51212應(yīng)力矩陣s(1)s(3)1.01.0單元?jiǎng)偠染仃噆(1)1.027.472516.483527.47250016.48358.241854.94518.24180054.945119.23089.615409.615419.23080s(6) db(2)27.47250016.483527.472516.48358.24180054.94518.241854.945109.615419.2308019.23089.6154k(5) b,(1)T s(1) at1.31870.71430

27、.54950.38460.76920.32970.71432.39010.32970.19230.38462.19780.54950.32970.5495000.32970.38460.192300.19230.384600.76920.384600.38460.769200.32972.19780.3297002.1978k(6) b T s(2) A、tD1011s(5)Ks(4)108b(1)1110k(4)0.5495o00.32970.54950.329700.19230.384600.38460.19231 0 108 0。優(yōu)460.769200.76920.3846.0.3297

28、002.19780.32972.1978O.54950.38460.76920.32971.31870.71430.32970.19230.38462.19780.71432.3901結(jié)構(gòu)剛度矩陣為：1.31870.71430.54950.38460.76920.32970O.71432.39010.32970.19230.38462.197800.54950.32971.3187000.71430.76920.38460.192302.39010.714300.32970.76920.384600.71432.087901.31870.32972.19780.7143004.58790.71

29、43000.76920.32971.31870.71433.4066800K 1.0 10800.38462.19780.71432.39011.4286000000.32970.549500000.384600000000000000000000000000000000000000000000000000000.38460002.19780000.714300.384602.39010.3297001.42860.549500.76926.978000.19230.329702.41770.71431.09900.19230.71432.77470.714300.54950.32971.31

30、8700.38460.1923000.76920.3846000.32972.19780.71430000.76920000.38460000000000000000000000000.38460002.19780000.71430.76920.329700.38460.38462.19780000.71430.76922.39010.714300.32970.71431.318700.5495002.39010.38460.32970.54950.38461.31872.19780.32970.19230.714300000000000.38462.19780.32970.19230.714

31、32.3901若施加一定載荷，求解步驟為：1、對(duì)單元編號(hào)，并列出各單元三個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)號(hào)；2、計(jì)算外載荷的等效結(jié)點(diǎn)力，列出結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)載荷列陣；3、計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚕M集結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣4、引入邊界條件，即根據(jù)約束情況修正結(jié)構(gòu)有限元方程，特別是消除整體剛度矩陣的 奇異性，得到考慮約束條件的可解的有限元方程。5、利用線性方程組的數(shù)值解法，對(duì)結(jié)構(gòu)的有限元方程進(jìn)行求解，得到所有各結(jié)點(diǎn)的位移向量。最后根據(jù)需要求解單元應(yīng)力。3.16 長(zhǎng)方形薄板如圖所示。其兩端受均勻拉伸P。板長(zhǎng)12cm,寬4cm,厚1cm。材料E 2.0 105MPa,泊松比 °.3。均勻拉力P 5Mpa。使用有限元法求解板的內(nèi)應(yīng)力

32、，并和精確解比較（提示：可利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，并用2個(gè)三角形單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散）。解:M 標(biāo)0120Y坐標(biāo)0044124單R#12相鄰結(jié)點(diǎn)1322342平面三角形單元的面積均為1“y11X2y2_20.0024 m1X3y32.1978 0.65930-一 一 一一11D 0.6593 2.1978010應(yīng)力矩陣為:000.7692單元1的應(yīng)變距陣為:16.6667B(1)0016.666702500000 252516.6667016.6667 25 0單元1的單元?jiǎng)偠染仃嚍?1.30950.71430.73260.38460.57690.32970.71431.90480.32970.2564

33、0.38461.64840.7326K0.32970.7326000.32979100.38460.258400.25640.384600.57290.384600.38460.576900.32971.64840.3297001.6484單元2的應(yīng)變距陣為:0016.6667016.66670B025025002502516.6667016.6667單元2的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?.576900.57690.384600.384601.64840.32971.64840.329700.5769K0.32971.30950.71430.73260.38461090.38461.64840.71431

34、.90480.32970.256400.32970.73260.32970.732600.384600.38460.256400.2564總剛度矩陣為：1.30950.71430.73260.38460.57690.3297000.71431.90480.32970.25640.38461.6484000.73260.32971.3095000.71430.57690.38460.38460.256401.90480.714300.32971.6484K0.57690.384600.71431.309500.73260.32970.32971.64840.7143001.90480.38460

35、.2564000.57690.32970.73260.38461.30950.7143000.38461.64840.32970.25640.71431.9048位移分量為：810，V1，U2，V2，0，V3，U4，V4載荷列陣為：R81Fx1，0，1000，0, Fx3，0，1000，0因?yàn)镽8 1 K8 881可以得 81。，0.0649，0.15,0.0369，0，0.0525，0.15，0.072610 5 m單元1的單元應(yīng)力：x 5.7000MPa2.3332MPayxy0.3245MPa單元2的單元應(yīng)力：x 4.9505MPav 0.1648MPa xv yxy0.2583MPa1

36、09長(zhǎng)方形薄板內(nèi)應(yīng)力的精確解為：拉應(yīng)力5MPa,用有限元法求解出的結(jié)果與精確解大致相等。3.17驗(yàn)證三角形單元的位移差值函數(shù)滿足Ni Xj,yjij 及 Ni Nj Nm 12A解：平面三角形形函數(shù)為:Ni 1 2A ai bix qyX1X2X3y1y2y3a1,b,c;a2,b2,c2；a3,b3,c3,分別是彳r列式2A中的第一行，第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式。行列式中，任一行的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行的元素與其它行 對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，故有：當(dāng) N x1, y1N2 X2, y2N3 X303同理也有：1 2a11 2a21 2a3匕

37、' ayb2X2 c2 y2 b3X3 c3y3心0, N2 X2, y2N3 X1, y10, N3 X2, y20,N2 X3，y300,N3 X3,y30,N1 X,y N2 X,yN3 X,y 1 即 Ni Nj Nm 13.18推導(dǎo)如圖所示的9節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)。解：三維桿單元的形狀函數(shù),X X2 X X3X1 X2 X1 X3 , N 5XX % X X3X2 為 X2 X3 1 2xX X1 X X2X3 X1 X3 X2在局部坐標(biāo)系中令節(jié)點(diǎn)1,5,2所對(duì)應(yīng)的X10,X2a/2,X3a帶入式得到節(jié)點(diǎn)1,5,2僅在X方向上的形函數(shù)：k x x a/2 x a 2x a x

38、 aN1x 0 a/20 a02同理可得：x 0 x ax x aN5Xa/2 0 a/2 aa 2/4由生、H ,即節(jié)點(diǎn)2,6,3 ,可得到沿著全局坐標(biāo)系y軸的形狀函數(shù)（通過變量輪換）,節(jié)點(diǎn)1的形函數(shù)即x, y方向的乘積:N1N1xN1y2x a x a 2y b y bTV由此可得:N5yy5 y9 y5 ,2y b y bb7N5xN5y4x 2x a 2b y y bTV同理可整理得:N2xN2yN3x 2x a y 2y b02b2N7a 2b2I2x a x a2y by,N64xy 2 x a y bI4a2b2a2b2n84y 2xa x ay bN916xy x a y ba

39、 2b 2a 2b2x 2x a 2y b y bN4xy x a 2 y b av3.19如圖所示為一個(gè)桁架單元，端點(diǎn)力為U1 , U2,端點(diǎn)位移為u1 , u2,設(shè)內(nèi)部任一點(diǎn)的軸向位移u是坐標(biāo)x的線性函數(shù):ua1 a2x推導(dǎo)其形函數(shù)矩陣NoUI, Lilu x解：軸向位移u是坐標(biāo)x的線性函數(shù)，u a1 a2X,寫成向量形式為a1 xa2 ,設(shè)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為“,不，代入向量形式的位移函數(shù)解 為©2得:1 a11xu,a21%uju x則由位移函數(shù)1 Xj11 xu1 x1 x：u ：j uj可得形函數(shù)為:17Ax xj x x x,N, Nj1 Xjxj x x xixj x x

40、j x,4.1 答：軸對(duì)稱三角形環(huán)單元不是常應(yīng)變單元，如果彈性體的幾何形狀、約束條件及載荷都對(duì)稱于 某一軸，則所有的位移應(yīng)變及應(yīng)力也是對(duì)稱于此軸，這樣問題稱為軸對(duì)稱。軸對(duì)稱三角形環(huán)單B=Bi4.2bi.1 fiBj Bm，其中 Bi=二20Ci0，Ci bifiaibiCiZ(i,j,m )。應(yīng)變分量rZ者B是常量,但環(huán)向應(yīng)變不是常量，它與答：軸對(duì)稱問題中，剛度自由度:環(huán)向位移,f m中的r和z有關(guān)。徑向位移，軸向位移。以三角環(huán)單元平均半徑、元與平面常應(yīng)變單元是不同的，軸對(duì)稱三角形環(huán)單元的應(yīng)變不是常數(shù)矩陣，其應(yīng)變矩陣平均高度進(jìn)行計(jì)算的單元?jiǎng)偠染仃嚕浜弦跃_積分所得的等效結(jié)點(diǎn)載荷矩陣，計(jì)算的結(jié)

41、果還是不錯(cuò)的！4.3軸對(duì)稱問題的兩個(gè)單元 a和b,設(shè)材料的彈性模量為 E,泊松比為 產(chǎn)0.15,試手算這兩個(gè)單元的 剛度矩陣。解:對(duì)于a單元,riaZialrja0Zja由題可知:rmaZmara3(riarjarma) 3l1 /、11Za二(ZiaZjaZma)二133ria單元a的截面面積為ZarjarmaZjaZmaaiabiaGaamaCmarjarmararjarja Zmarmaz jarmaZmaBjariaZiarmaZiaria ZmaZjaZmabjaZmaZaZmaZarjarmaZiaZjariarja(jarma)0riaZjarja Zia(riarja) ll2bmarmariaZa(rmara)ZjaA)0.151 0.1517A3(1