1、計算方法上機實驗報告 計算方法 上機 實驗報告 班 級：xxxx 小組成員: :xxxx xxxxxx xxxxx xxxxx 任課教 師：xxx 二一八年五月二十五日 前言 通過進行多次得上機實驗,我們結合課本上得內容以及老師對我們得指導,能夠較為熟練地掌握ewton 迭代法、aci 迭代法、gaussel 迭代法、ewon 插值法、gane 插值法與as 求積公式等六種算法得原理與使用方法，并參考課本例題進行了 matab 程序得編寫。 以下為本次上機實驗報告,按照實驗內容共分為六部分. 實驗 一： 一 、實驗 名稱 及題目: : new n on 迭代法 例 2、7(p3）:應用 new

2、on 迭代法求 在 附近得數值解 ，并使其滿足 、 二、 解題 思路： 設就是得根,選取作為初始近似值，過點做曲線得切線,得方程為,求出與軸交點得橫坐標,稱為得一次近似值,過點做曲線得切線,求該切線與軸得橫坐標稱為得二次近似值，重復以上過程，得得近似值序列，把稱為得次近似值，這種求解方法就就是牛頓迭代法。 三 、b matlab 程序 代碼： f f nc ion newt n_it r r io (x ,tol ） syms z % % 定義自變量 f f rma l l n n 定義精度 = = *z z z- -z z 1; f1=diff(f ）； 求導 y=su s( ， ,x0);

3、 y1=s bs(f , , ， x0) ；% % 向函數中代值 x1=x0 y/y1; k=1 ； w w il ( ( 1 1 x0) = = ol x x =x1; y=sub （ f,z, 0) ； y1=sub ( ( 1, , , 0); x1 x0- - /y1 ； k=k+1; nd =dou le （x x ) ) 四 、 運行 結果： 實驗二: : 一 、 實驗名稱 及題目： jac b b 迭代法 例、7(p74）:試利用 jacobi 迭代公式求解方程組 要求數值解 為方程組得精確解、 二、 解題思路 ： 首先將方程組中得系數矩陣分解成三部分,即:，為對角陣,為下三角矩

4、陣,為上三角矩陣。之后確定迭代格式,（ , 即迭代次數),稱為迭代矩陣。最后選取初始迭代向量,開始逐次迭代。最后驗證精度。（迭代陣:。) 雅克比迭代法得優點明顯，計算公式簡單,每迭代一次只需計算一次矩陣與向量得乘法,且計算過程中原始矩陣 a 始終不變，比較容易并行計算.然而這種迭代方式收斂速度較慢,而且占據得存儲空間較大。 三、 b atlab 程序代碼: : functio jacob （a a ， b,x0,ep ，) ) = = diag(diag （） );% % 求得對角矩陣 l = t t l l （ a,- - 1);% %求 求 a a 得下三角矩陣 u u = - - r r

5、 ( ( , , ); 求 a a 得上三角矩陣 b = （ l+ ) ) ； f ； x = x x +f ； n = 1;% % 迭代次數 ile o o ( ( x1) =eps s x = b x+f ； n = n+1; end format lo g g n n jingdu= orm(x 1) 四 、 運行 結果： 實驗三: : 一 、 實驗 名稱及題目: : gauss seide 迭代法 例、（75）：試利用 gasseidl 迭代公式求解方程 組 ， 并 使 其 數 值 解為方程組得精確解、 二、 解題思路: : gausside迭代法與 jaobi 迭代法思路相近，首先將

6、方程組中得系數矩陣分解成三部分,即：，為對角陣,為下三角矩陣，為上三角矩陣 . 之后確定迭代格式,，( , 即迭代次數),稱為迭代矩陣。最后選取初始迭代向量,開始逐次迭代。最后驗證精度。(迭代陣:.) gaussseide迭代法與 jcobi 迭代法相比速度更快，但不全如此。有例子表明：gausseidel 迭代法收斂時,b迭代法可能不收斂;而aob迭代法收斂時,gassseidl 迭代法也可能不收斂。 三、a a l l 程序代碼： fu ctio g g uss_ e e del( ， b, 0 0 ， eps,x1 ） d = ag(d ( ( ）) ) ；% %求 求 a a 得對角矩

7、陣 l l = = ri ( ( ， ）; ; 求 a a 得下三角矩陣 u u = triu （ a,1); 求 a a 得上三角矩陣 b = (d ) ) u; f f = （d d ) ) ； = = b b x0+ ; ; n = 1;% % 迭代次數 hil norm(x1- - x)=eps x = b*x+f; n = n+1; nd format lon n n x x j j ngdu=norm(x1 x) 四、 運行 結果: : 實驗 四: : 一 、 實驗 名稱及題目: : lagra ge 插值法 例 、 1(p88): 給 定 函 數 及 插 值 節 點、試構造 lg

8、ange 插值多項式，給出其誤差估計,并由此計算 及其誤差、 二、 解題思路: : 一般來說,如果我們有個點,各互不相同。那么應用拉格朗日插值公式所得到得拉格朗日插值多項式為:,其中每個為拉格朗日基本多項式(或稱插值基函數),其表達式為:。 三、 matl b b 程序代碼: : f f nctio y y lagrange （ 0,x) n=lengt （ x0);% % 向量長度 s= ； or k=1:nk %k 從 從 1 1 到 到 n n 得循環 1 1 、 0; for j= :n if j j =k " = '不等于得意思 =p* （x x 0(j)/ （ x

9、0( ）- - x0(j); nd en 0= ( ( )*(1+cos （x x (k) ）; ; s= 0+ ; ; end format lon ch =a s( ( ( +c s(x ）) )- - s) 四、 運行結果 ： 、 五、 lagran e e插值圖像繪制 lagrang插值圖像算法 xlispace(，1002，00); s=linsae（0,100,20)； 00；i/8;pi4；3*pi/；pi/2; =length（x0); s=0; fr k1: =1、0； for j=1:n f j=k p、*(x-x（j）)/(x0(k)x0（）); end ed y0=x0

10、(k)*(+cos(x(）)）; s=py+s； lo(,s，r"); grid on; itle("lage) xla(x)，ylab("y"); axis ormal； 實驗 五: : 一 、 實驗 名稱及題目: : ne on 插值法 例 、 3 （ 96) ： 已 知 , 試 取 插 值 節 點，構造 4 次 newtn 插值多項式,由此計算 得逼近值,并指出其絕對誤差、 二、 解題思路: : 將 拉 格 朗 日 插 值 公 式 中 得 改 寫成: ) ).( ( . ) )( ( ) ( ) (1 0 1 0 2 0 1 0 - - + + -

11、 - = - + =n n nx x x x a x x x x a x x a a x n ,其中，為待 定 定 系 數 . 又 , 。 將 帶 入 可得: ) ).( )( ( ,., , . ) ( , ) ( ) (1 1 0 1 0 0 1 0 0 - - - + + - + =n nx x x x x x x x x f x x x x f x f x f . 三、 matl b b 程序代碼: : function newt _interpol tion(x ，) ) f f m m t t lo g g n n l l gt ( ( 0); syms =sq t t （ 1+c

12、 h(z ） 2); a(1) sub (f,z,x (1) ）; ; or k=1 ： y0=subs(f ，z z ，x x (k ）) ) ； 1=subs （ f, ， x0(k+ ) ) ）; ; (k,1 ） =(y1- -y y )/( 0(k 1 1 ）x x （k k ）; ; 一階差商 nd f f r r j=2: - -1 1 fo k k 1 1 ：n n j j d(k, ） =(d （ k+1 ，j j ) ) d(k, 1)/(x( ( +j ）x x ( ( ） );% % 二階差商及以上 en d d d d uble( ) ) for =2: a(j)=d

13、(1,j ); end b b （1 1 ） =1 ；c c （ 1)= (1); f f r r j=2 ：n n b b （） =(x- - （j j- - 1) ）、 *b （j j ）; ; c( )=a(j) 、 *b （ j) ； e e d d n n =dou le(su （c c ） w w cha=d bl (abs(np- - su （ ,z ，) ) ）) ) 四、運行結果: 五、newo插值 圖 像繪制 實驗 六: : 一 、 實驗 名稱及題目： gauss 求積公式 例 5、（p140)：試構造 gass 型求積公式 ， 并由此計算積分 、 二、 解題思路: : 設高斯-勒讓德求積公式就是:,依次代入，解得.利用換元公式變換原式得積分上下限，在套用高斯勒讓德求積公式求得積分. 三、b matlab 程序代碼: : u u ct o o aus （ a,b ） sy s t t f=sqrt （t t ） (1 t)2; p p - -s s rt （ 3/5) 0 sqrt( /5) ； a= 9 8/9 5 9 9 ； s= ； or i i 1:3; x=p(i) ； y=s bs （ f,t, （- - )* /2+ （b b ） /2 ）; ; s=s a( )*y; form t ong s= oub e( （a