1、2020 年高考文科數學 基本初等函數題型歸納與訓練題型歸納】12題型一 冪函數的圖像與性質 例 1 已知冪函數 y f x 的圖象過點 （ ， ），則 log2 f 2 的值為 （A. 12答案】解析】由冪函數 f x1 2 1 xa的圖象過點（21，22），得 f（21）(12)，a1，則冪函數 f x x2 ，1222 ， log 2 f2 1 . 故選 A.2易錯點】 冪函數的運算法則，以及對數的運算公式思維點撥】 熟練掌握冪函數的函數類型f x xa .例2 如果冪函數 f1 2 3ppx 2 p p 2 p Z是偶函數，且在0,上是增函數，p 的值，并寫出相應的函數 f x 的解析

2、式答案】 p 1 ， f2x.解析】 因為 f x 在0, 上是增函數，所以 12 p2 p3 0 ，所以 12p 3.又因為 f x 是偶函數且 p Z ，所以p 1 ，故 f x2x.易錯點】 易忘記 p Z 這一關鍵條件，以及冪函數在0,遞增時指數的特征 .【思維點撥】 熟練掌握冪函數的函數 f x xa 的奇偶性特征，以及冪函數在0,數的指數恒為正數 .題型二 二次函數的圖像和性質（最值）例 1 已知 f x x2 3x 5 ， x t, t 1 ，若 f x 的最小值為 h t ，寫出 h t上是單調遞增時冪函的表達式 .25t 2 5t 1(t )2 答案】 h(t)249 ( 5

3、2 t23)4 2223t 2 3t 5(t)23解析】 如圖所示，函數圖像的對稱軸為 x 3 21）當35t 1 3 ，即t時，htf t 1222）當31，即53時， h tttt2223）當t 3 時，htf tt23t5.22t2 5t 1.3 29 f24t2 5t 1 t 5 ,2綜上可得 h(t) 29 5 t 34 2 2 t2 3t 5 t 3 .2易錯點】 首先要注意二次函數的開口方向，然后才可以根據二次函數的對稱軸去進行分類討論思維點撥】 所求二次函數解析式（所以圖像也）固定 ,區間變動 , 可考慮區間在變動過程中 , 二次函數的單調性 ,從而利用二次函數的單調性求函數在

4、區間上的最值例 2 已知函數 f x2x2x2x若關于 x 的不等式 f x222 af x b2 0恰有 1個整數解，則2x實數 a 的最大值是 （A2B5D8答案】 D解析】作出的圖象如圖實線部分所222 af x b2 0 得a a2 4b2a a2 4b2，若 b 0，則 f x 0滿足不等式，即不等式有 2 個整數解，不滿足題意，所以 b0 ，所以 a f x0 ，且整數解 x 只能是 3，當 2 x 4 時，所以 8 a 3，即 a 的最大值為 8，故選 D.【易錯點】 這是二次函數的復合函數，務必理清楚和掌握函數的圖像 .【思維點撥】 根據數型結合畫出函數的圖像，然后利用方程的求

5、根公式進行解題題型三 指數函數0.8 0.8R上是增函數， 且 0 20.8 2 log24 log2 4.1 log25，所以 f 20.8f log2 4.1log2 15，即例 1 已知奇函數 f x 在 R 上是增函數 . 若 a1 f log2， b f log24.1， c f20.8 ，則 a,b,c的大小關系為() .A. a b c B. b a cC.cbaD.cab【答案】 C【解析】 因為 f(x)在 R上是奇函數，所以 af log2 1f log2 1flog2 5 ，又因為f (x) 在55c b a.故選 C【思維點撥】 本題主要考查函數的奇偶性與指數、對數的運

6、算，為基礎題。首先根據奇函數的性質和對數 運算法則， a f log25 ，再比較 log2 5,log 2 4.1,20.8比較大小 .x 1,x 01例2 設函數 f(x)2xx , 1x,x0 0 ，則滿足 f(x) f(x 21) 1的x的取值范圍是 答案】2解析】x 1 時，不等式為22x1恒成立；1當 0 x ，不等式22x當 x 0 時，不等式為11 1 恒成立；21x 1 1 ，解得 x21 ，即 1 x 0 ；441,4 思維點撥】 本題以分段函數綜上， x 的取值范圍為）含指數函數）為載體，求解不等式。考查了分類思想。解題需注意；(1)求分段函數的函數值，要先確定要求值的自

7、變量屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值，當出現 f f a 的形式時，應從內到外依次求值（2） 當 給出函數值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值， 切記要代入檢驗， 看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍題型四 對數函數例 1 已知函數 yloga(xc）（ a,c 為常數，其中 a 0,a 1）的圖象如圖，則下列結論成立的是Aa 0,c 1 a 1,0 c 0 a 1,c 1 D 0 a 1,0 c 15答案】解析】由圖象可知0a1，當 x 0 時，loga(xc) logac 0，得 0 c 1例 2 若函數 f （x）log2

8、 x, x log1 (20x),x 0, 若f (a) f (a） , 則實數 a 的取值范圍是（）A1,0) U (0,1)（, 1)U (1, )C1,0) U (1, )（, 1) U (0,1)答案】解析】由分段函數的表達式知，需要對a 的正負進行分類討論 .a0a<0f(a) f( a)log2alog1a或 log1 ( a) log2( a)22a0a01或1a1或1 a 0aa2a例3 若函數 y ax （a 0,且a 1）的值域為 y|y 1 ，則函數 y loga x的圖象大致是 （ ）【答案】 B【解析】由于 y ax 的值域為 y|y 1 ， a 1，則 y l

9、oga x在 0, 上是增函數，又 函數 y loga x的圖象關于 y軸對稱.因此 y loga x的圖象應大致為選項 B.【思維點撥】 指數函數、對數函數的圖象和性質受底數a 的影響，解決與指數、對數函數特別是與單調性有關的問題時，首先要看底數 a的范圍 .題型五 函數的應用例1 某食品的保鮮時間 y （單位：小時）與儲藏溫度 x （單位： ）滿足函數關系 y ekx b（e 2.718為自 然對數的底數， k，b為常數）. 若該食品在 0 的保鮮時間是 192小時，在 22 的保鮮時間是 48小時， 則該食品在 33 的保鮮時間是 小時 .【答案】 24【解析】 由已知條件，得 192

10、eb ，22k b b 11 2又 48 e e e ， e11k 1 ，設該食品在 33 的保鮮時間是 t 小時，2 則 t e33k b 24.【思維點撥 】重點考察對指數函數應用題的理解和計算 .鞏固訓練】冪函數的圖像與性質1.函數 f x m2 m 1 xm是冪函數，且在 x 0, 上為增函數，則實數 m的值是 （ ）答案】 B解析】 由題知m2 m 1m011，解得 m 2.故選 B.112.已知 2, 1, , ,1,2,3 ，若冪函數 f (x) x 為奇函數，且在 (0, )上遞減，則221【答案】 1解析】 由題意 f ( x)為奇函數，所以 只能取 1,1,3，又 f(x)

11、 在(0, )上遞減，所以a3. 已知冪函數 f x xa 的部分對應值如下表：x112fx122則不等式 f x 2 的解集是答案】 4, 4解析】1由 f(12)12 ，故fxx 4 ，故其解集為4, 4 .1. 已知 a,b,cR ，函數 f xax2 bx c. 若 f0f4f1，則( ).A. a 0 ，4a b 0B.a0，4ab0C. a 0 ，2a b 0D.a0，2ab0【答案】 A【解析】 因為 f0 f 4 >f 1 ，所以函數圖象應開口向上，即a>0，且其對稱軸為 x 2 ，即所以 4a b 0，故選 A.2x 1x02. 已知函數 f x2，若函數 g x

12、fxm有3個零點，則實數 m 的取值范圍是二次函數的圖像和性質最值)題型x 2x2ba 2，答案】 0, 1解析】若函數 g x f x m有3個零點，即 y f x 與 y m有3個不同的交點， 作出 f x 的圖象和 y m 的圖象，可得出 m 的取值范圍是 0, 1 3. 已知對任意的1, 1 ，函數 f xC (1,2)0 ，則 x 的取值范圍是 ()A(1,3)B ( ， 1) (3 ，)D( ， 2) (3 ，)答案】解析】x 4 2a x 22 ax4x4.令 g a x 2 a2x 4x 4 ，則由題知，當a 1,1 時，0 恒成立，則須g( 1)g(1)0，0解得 x 1或

13、x 3. 故選B.題型三指數函數1. 已知 0 a 1 ，則函數 y ax 和 y(a1)x2 在同一坐標系中的圖象只可能是圖中的(A.C.D.B.答案】解析】根據題意，由1，函數ax 在 R 上為減函數，可排除選項 A、C，又 1a 1 0，則函數 y (a 1)x2 的圖象是開口向下 . 故選 D.2.已知函數 y a2 b(a 0且a 1 )的圖象如下圖所示，則 a b的值是 答案】 6解析】 由函數 yax b(a 0且 a 1)過點 (2,0),(0, 3) 代入表達式得：所以 a b 63. y 2a 與函數xa10且 a 1 的圖象有且僅有兩個公共點，則實數a 2,b 4 ，a

14、的取值范圍是答案】0,12解析】a 0且 a1 的圖象由 y ax 的圖象向下平移一個單位，題型四1. 若點A答案】x 軸上方得到， 分 a1和 0 a需要 0 2a1 ，即 0 a時，對數函數1 兩種情況分別作圖， 如圖所示，再將 x 軸下方的圖象翻折到 a 1 時不合題意； 0 a 1，故答案為 0,1 .2(a,b) 在 y圖像上，lgx)則下列點也在此圖像上的是(1( ,b)aD (10a,1 b) C(10,b 1)a(a2,2b)11解析】 當 x2a 時， y22lga2 2lg a 2b ，所以點 (a2,2b) 在函數 ylg x 圖象上2. 如果 log 1 x2log 1 y20, 那么( )Ayx1x答案】解析】根據對數函數的性質得 x y 1 3.當0x1時， 4x loga x，則 a的取值范圍是2A(0, 22),1)(1, 2) ( 2,2)答案】0a解析】由指數函數與對數函數的圖像知loga 121 ，解得42故選 B.4 已知 ab 1，若 log a b log b aba，則 a=，b=答案】42解析】設 log b a t ，則 t 1 ，因為t1tt 2 a b2 ，2b