1、菱形存在性冋題鞏固練習(基礎)1. 如圖，矩形 ABCD中，AB = a, BC = 6, E、F分別是AB、CD的中點(1) 求證：四邊形 AECF是平行四邊形；(2) 是否存在a的值使得四邊形 AECF為菱形，若存在求出 a的值，若不存在說明理由;2. 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數 y = x2 + bx+ c的圖象與x軸交于A、B兩點，A 點在原點的左側，拋物線的對稱軸 x= 1,與y軸交于C (0,- 3)點，點P是直線BC下方 的拋物線上一動點.(1) 求這個二次函數的解析式及 A、B點的坐標.(2) 連接PO、PC,并把 POC沿CO翻折，得到四邊形 POP C,那么是否存在

2、點 P, 使四邊形POP C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.備用圖3. 如圖，在平面直角坐標系中，點 A為二次函數y=- x2 + 4x- 1圖象的頂點，圖象與 y 軸交于點C,過點A并與AC垂直的直線記為 BD，點B、D分別為直線與y軸和x軸的交 點，點E是二次函數圖象上與點 C關于對稱軸對稱的點，將一塊三角板的直角頂點放在A點，繞點A旋轉，三角板的兩直角邊分別與線段 0D和線段0B相交于點P、Q兩點.(2) 求直線BD的表達式.(3) 在三角板旋轉過程中，平面上是否存在點R,使得以D、E、P、R為頂點的四邊形為 菱形？若存在，直接寫出 P、Q、R的坐標；若不存在

3、請說明理由.4. 如圖1，矩形OABC的邊0A、0C分別在x軸、y軸上，B點坐標是(8, 4),將厶AOC 沿對角線AC翻折得 ADC, AD與BC相交于點E.(1) 求證： CDE ABE;(2 )求E點坐標；(3) 如圖2,若將 ADC沿直線AC平移得 A D C(邊A C 始終在直線 AC 上), 是否存在四邊形 DD C C為菱形的情況？若存在， 請直接寫出點 C的坐標；若不存在， 請說明理由.5. 如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AB = 8, BC = 4,(1) 把矩形沿直線 DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F，求直線DE的解析 式；(2) 若點M在AB邊

4、上，平面內是否存在點 N,使以C、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？ 若存在，請直接寫出點 N的坐標；若不存在，請說明理由.6. 如圖，拋物線 y= ax2 + bx+ c經過點(-1, 4),與直線y=- x+ 1相交于A、B兩點, 其中點A在y軸上，過點 B作BC丄x軸，垂足為點 C (- 3, O).點M是直線 AB上方的 拋物線上一動點，過 M作MP丄x軸，垂足為點P,交直線AB于點N .設點M的橫坐標為m.(1) 求拋物線的解析式；(2) 當m為何值時，線段 MN取最大值？并求出這個最大值；(3) 是否存在點 M，使以B、C、N、M為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出所有滿足條7. 如圖

5、1已知在平面直角坐標系 xOy中，點A、B、C分別為坐標軸上的三個點，且 OA=1， OB = 3, OC= 3.(1) 求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2) 點M是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方，連接 MO、MB,并把 MOB沿BO翻折，得到四邊形 MOMB，那么是否存在點，使四邊形MOMB為菱形？若存在，請求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由；& 如圖，在 Rt ABC中，/ C= 90，AC = 9，BC= 12,動點 P從點A開始，沿邊 AC 向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點 Q從點C開始，沿邊CB向點B以每秒2個 單位長度的速度運動，過點 P作PD / BC

6、，交AB于點D，連結PQ.點P，Q分別從點A， C同時出發，當其中一點到達端點時， 另兩個點也隨之停止運動， 設運動時間為t秒(t0).(1 )直接用含t的代數式分別表示： QB=，PD =;(2) 是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為平行四邊形？若存在，求出 t的值；若不存在， 說明理由；(3) 是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改變 Q的速度(勻速運動)，使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點 Q 的速度.9. 已知Rt AOB，其中/ AOB = 90, OA= 6, OB = &將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕

7、與邊 OB交于點C，與邊AB交于點D .(1) 如圖1,若折疊后使點 B與點O重合，則點D的坐標為 ;(2) 如圖2,若折疊后使點 B與點A重合，求點C的坐標；(3) 如圖3,若折疊后點B落在邊OA上的點為B,是否存在點B使得四邊形BCB D是菱形？若存在，請說明理由并求出菱形的邊長；若不存在，請說明理由.圖7陸圖310. 如圖，平行四邊形 ABCD的兩個頂點B, D都在拋物線= - x2+ bx+ c上，且OB =3OC, AB= 5, tan/ ACB =(1) 求拋物線的解析式；(2) 在拋物線上是否存在點 E,使以A, C, D, E為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求 出點E的坐標；若

8、不存在，請說明理由.菱形存在性冋題鞏固練習(基礎)1. 如圖，矩形 ABCD中，AB = a, BC = 6, E、F分別是AB、CD的中點(1) 求證：四邊形 AECF是平行四邊形；(2) 是否存在a的值使得四邊形 AECF為菱形，若存在求出 a的值，若不存在說明理由;【解答】(1)見解析；(2)不存在 【解析】(1)證明：四邊形 ABCD是矩形， AB = CD , AD / BC,又 E、F分別是邊 AB、CD的中點， AE = CF,四邊形AECF是平行四邊形；(2 )不存在，由(1)知：四邊形 AECF是平行四邊形；當AE = AF時，四邊形 AECF為菱形，四邊形ABCD是矩形，/

9、 D = 90,1 1TAD = BC = 6, DF = CD = a, ,方程無解，故不存在這樣的 a ；2. 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y = x2+ bx+ c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，拋物線的對稱軸x= 1,與y軸交于C (0,- 3)點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.(1) 求這個二次函數的解析式及 A、B點的坐標.(2) 連接PO、PC,并把 POC沿CO翻折，得到四邊形 POP C,那么是否存在點 P,使四邊形POP C為菱形？若存在，請求出此時點 P的坐標；若不存在，請說明理由.17【解答】(1)y= x2- 2x- 3,點 A (- 1 ,

10、0)、B(3,0);(2)PJ +孥I 22丿【解析】(1)函數的對稱軸為：x=- = 1,解得：b=- 2,故拋物線的表達式為：y= x2- 2x- 3,令 y= 0，則 x=- 1 或 3,故點A、B的坐標分別為：(-1, 0)、(3, 0);(2)存在，理由:即戸x2-2x-3=-,解得=1二（舍去負值），故點P 3. 如圖，在平面直角坐標系中，點 A為二次函數y=- x2 + 4x- 1圖象的頂點，圖象與 y 軸交于點C,過點A并與AC垂直的直線記為 BD，點B、D分別為直線與y軸和x軸的交點，點E是二次函數圖象上與點C關于對稱軸對稱的點，將一塊三角板的直角頂點放在A求直線BD的表達式

11、.(2)P、Q兩點.(3)在三角板旋轉過程中，平面上是否存在點R,使得以D、E、P、R為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出 P、Q、R的坐標;若不存在請說明理由.【解答】(1 ) A ( 2 ,3 )、C (0 ,- 1 ) ；( 2 )； = - +1 ；( 3 )/?j(4 一如-1)鬥DM嘀【解析】（1） y=- x2 + 4x- 1圖象的頂點：占4,4ae 貳r=_2=y=T點A的坐標為（2, 3）,血 X (-1) X (-1)1 X (-1)當x= 0時，y=- 1，點C的坐標為（0,1);(2) 直線AC的解析式是y= 2x- 1,過點A并與AC垂直的直線記為 BD ,=.；直

12、線BD的表達式為=;門:八江 J 一,-匸.；菱形DREP時,(3) 存在.菱形DERP時,4. 如圖1，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，B點坐標是(8, 4),將厶AOC沿對角線AC翻折得 ADC, AD與BC相交于點E.(1) 求證： CDE ABE;(2 )求E點坐標；(3) 如圖2,若將 ADC沿直線AC平移得 A D C(邊A C 始終在直線 AC 上), 是否存在四邊形 DD C C為菱形的情況？若存在， 請直接寫出點 C的坐標；若不存在，請說明理由.【解答】(1)見解析;(2)E( 5,4);(3 )C的坐標為【解析】(1)證明：四邊形 OABC為矩形，.AB =

13、OC,Z B=Z AOC = 90,CD = OC = AB,/ D =Z AOC = Z B,又/ CED = / ABE,. CDE ABE ( AAS),.CE = AE;(2) T B ( 8, 4),即 AB= 4, BC= 8.設 CE= AE = n,貝V BE = 8-n,可得(8 - n) 2 + 42= n2,解得：n= 5,. E (5, 4);個單位,則點C 坐標為(-m,(3) 設點C在水平方向上向左移動 m個單位，則在垂直方向上向上移動了則四邊形DD C C為菱形， CC 2=(-m) 2+( m) 2=m2= CD2= 16,解得：故點C 的坐標為或5. 如圖，平

14、面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AB = 8, BC = 4,(1)把矩形沿直線 DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F，求直線DE的解析式;(2)若點M在AB邊上，平面內是否存在點 N,使以C、D、M、N為頂點的四邊形是菱形?若存在，請直接寫出點 N的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】(1)v四邊形 OABC是矩形,(11, 4)或(0, 4)或(5.5, 4) AO = BC = 4, OC = AB = 8, A ( 0, 4), C ( 8, 0), 設直線AC的解析式為：y= kx+ b,直線AC的解析式為.，二, 矩形沿直線DE對折使點C落在點A處, .DE 丄 AC

15、, AF = CF ,.F (4, 2),設直線DE的解析式為：y= 2x+ n, 2 = 2 X 4+ n.n = 6,直線DE的解析式為：y= 2x 6;（2）存在.將 y= 0 代入 y= 2x 6 得：2x 6 = 0,解得：x= 3 點D的坐標為（3, 0）.DC = OC OD = 8 3 = 5. 如圖所示：/ C、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，MD = MN = 5.過點 D 作 DG 丄 AB，貝U GD = OA = 4, OD = MiG.當點M位于點Mi處時，在Rt MiDG中，=； =: 點Mi的坐標為（0, 4）,-MiNi = 5,點 Ni的坐標為（5, 4）;

16、當點 M位于點 M2處時，在 Rt M2DG中，=、.=乂點 M2的坐標為（6, 4）, M2N2= 5,點N2的坐標為（11, 4）.當點N與M交換時，也滿足條件，此時N （ 0, 4）或（5.5, 4）綜上所述，當點 N的坐標為（5，4）或（11，4）或（0，4）或（5.5，4）時，能夠使的四 邊形C、D、M、N為菱形.6. 如圖，拋物線 y= ax2 + bx+ c經過點（-1, 4）,與直線y=- x+ 1相交于A、B兩點, 其中點A在y軸上，過點 B作BC丄x軸，垂足為點 C （- 3, O）.點M是直線 AB上方的 拋物線上一動點，過 M作MP丄x軸，垂足為點P,交直線AB于點N

17、.設點M的橫坐標為m.（1）求拋物線的解析式；（2）當m為何值時，線段 MN取最大值？并求出這個最大值；（3）是否存在點 M，使以B、C、N、M為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出所有滿足條 件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.X3g【解答】(1) y=- x2- 4x+ 1 ; ( 2)當時，MN最大值=;(3)不存在【解析】(1 )當 x=- 3 時，y=-( - 3)+ 1 = 4,即卩 B (- 3, 4),當 x = 0 時，y= 1,即卩 A (0, 1),將(-1, 4) (- 3, 4) (0, 1)代入 y= ax2 + bx+ c,得a /? + c = 4a = - I:

18、詁 + c = 4，解得 0) （1 ）直接用含t的代數式分別表示： QB=, PD =;（2） 是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為平行四邊形？若存在，求出 t的值；若不存在， 說明理由；（3） 是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改變 Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度.416【解答】(1) QB = 12-2t,.= ； (2) t= 3.6; (3) v=d1 rj【解析】(1) QB = 12 -2t,- PD / BC,APPD t4則，解得二賞；（2）T PD / BC,當PD = BQ時

19、四邊形PDBQ為平行四邊形,【一=,解得：t = 3.6 （秒）， 則存在t的值，使四邊形 PDBQ為平行四邊形；4(3) T t = 3.6 秒時，BQ= PD = = 4.8,5 由厶 ABCADP，得到 AD = 6, BD = 15 -6 = 9, BD豐PD，不存在t使四邊形PDBQ為菱形;設點Q的速度為每秒v個單位長度，小4則 BQ= 12 - vt, PD =, BD = 15 - t,要使四邊形PDBQ為菱形，則 PD = BD = BQ,當 PD = BD 時，即=15 - t,解得：t= 5 （秒），當 PD = BQ, t= 5 秒時，即X 5= 12 - 5v,解得：v

20、=,315當點Q的速度為每秒二 個單位長度時，經過 5秒，四邊形PDBQ是菱形. la9. 已知Rt AOB，其中/ AOB = 90, OA= 6, OB = &將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊0B交于點C,與邊AB交于點D .(1) 如圖1,若折疊后使點 B與點0重合，則點D的坐標為 ;(2) 如圖2,若折疊后使點 B與點A重合，求點C的坐標；(3) 如圖3,若折疊后點B落在邊0A上的點為B,是否存在點B ,使得四邊形BCB D是菱形？若存在，請說明理由并求出菱形的邊長；若不存在，請說明理由.圖】圖署圖3740【解答】(1) D (3, 4); (2) C (0,亓)；

21、(3) 【解析】(1)v OA = 6, OB= 8, A的坐標是(6, 0) , B的坐標是(0, 8),D是AB的中點，則坐標是：(3 , 4);(2) 設 C ( 0, m) , (m0),則 CO=m ,BC = AC=( 8 - m),在 Rt AOC 中，有(8 - m) 2- m2= 36 ,整理得，16m= 28 , ,7C (0,);(3) 存在，當 BC / AB (或BD / BO)時，四邊形 BCBD是菱形,/AOB = 90 , OA = 6 , OB= 8, AB = 10 ,/ BC/ AB , OBCsOAB , 設 BC= BC= x,則解得二/ BC/ AB,/ CBD + Z BCB= 180,又/ CBD = Z CB