1、摘要:求不定方程整數解的方法淺析第一章：引言所謂不定方程，是指未知數的個數多于獨立方程式的個數的方程或方程組.因此，要求一個不定方程的全部的解抑或是其全部整數解都是相當困難的，有時甚至是不可能的或不現實的.然而，在現實生活中，特別是一些具體的生活實例中，它的應用又是非常的廣泛的；另外， 不定方程的重要性在數學競賽中也得到了充分體現，每年世界各地的數學競賽中，不定方程問題都占有一席之地；它也是培養和考查學生數學思維的好材料，數學競賽中的不定方程問題，不僅要求選手對初等數論的一般理論、方法要有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創造性的解決相關問題.數千年來，不定方程問題一直是一些數學家甚

2、至草根階級的數學愛好者研究的熱點問題，仿佛它是一塊資源豐富的土地，每個人都能有希望在這占有自己的一席之地 .也正是由于它具有這樣一個特點，不定方程的類型，以及解各類不定方程的各種方法層出不窮，求解各類不定方程也幾乎毫無固定章法可循，而本文，只針對于不定方程整數解問題做一個初步的探索，歸納提煉出一些解這類題的常規方法和技巧，對解不定方程具有一定的指導意義；并且著重針對中學數學競賽中的不定方程整數解問題進行分析，研究其方法，思想，具有一定的教學意義；另外，還根據自己的積累，總結，發掘出一些新的方法，技巧，具有創新和學習的意 義.第二章：解決某些不規則類不定方程的常規思想方法1、不等式分析法其一般操

3、作步驟：想辦法通過構造不等式求出其中某個（某些）變量的范圍； 根據該變量的范圍求出該變量的整數解；分情況討論該變量分別取某個整數解時其他變量的取值.常見的構造不等式的技巧：注意題中的隱含條件，常見的如：1）若給出的是對稱形式的不定方程，解題是可增加一個 “不妨設xEyEzEA ”的條件.2）若題目要求是正整數解，則有“ x>1,y>1,z>1,A " 若要求是相異的正整數，則有“ x>1,y >2,z>3,A "利用基本不等式求變元范圍，常見的如“ （x + yf24xy”分離變量：可將某個變量分離出來，并通過該變量的范圍求 其他變量的范

4、圍.可利用二次方程有整數解的條件，即“ 之0”，或更強點的 為完全平方數”.常規應用：一般在某些對稱式中能用到此方法進行放縮估值；在具體的限制某個（或某些）變量的范圍時，可分離變量利用此方法對其他變量進行估值；對于方程“ux2+vx+w = 0 （其中u,v,w是常數或者是含其他變量的式子）”可利用關于x的方程有整數根的條件，即“之0”,或更強點的“ 為完全平方數”對其他變量進行估值；具體能通過變形轉化為關于某些整體的表達式，再利用常規不等式進行估值，比如”轉化為關于x+y與xy的表達式，用（x + y 2 >4xy 等“例1：求不定方程（x + y 2=x3+y3的正整數解.解：方法1

5、：由于此不定方程是對稱的，這里不妨設 x>y>1,貝！Jx3 + y3 = （x + y 2 W （2x2x2（4 - x） - y33. y -4 - x .0 xx =1,2,3.1）當x=1時，1 m y m x2（4 - x） = 1y =1經檢驗：（x, y ）= （1,1）不滿足方程；2）當x=2時,1 - y - x2（4-x） = 2y = 12經檢驗：（x,y）=（2,1）滿足方程，（x,y）=（2,2）滿足方程;3）當x=3時,2 ，1 三 y £ x (4 - x) = 3y = 1,2,3.經檢驗：(x,y)=(3,1不滿足方程，(x, y)=(3

6、,2)不滿足方程,(x, y)=(3,3)不滿足方程;綜上所述：取消不妨設，由對稱性知：不定方程的正整數解為(x, y卜(2,1) ,(1,2 ) ,(2,2).方法2:已知方程化為(x+ yf =(x + y Xx2-xy+y2 )22x x 0, y 0, x y 二 x - xy y令x+y = t, 貝Ut = x2 - xy + y2 = (x + y )2 - 3xy (即 t2 - 3xy = t)t2 -t xy =.3即1x + y = t<(t之2且為整數)t2 -t 1川小I xy = -t(t -1)33利用不等式：(x+yf之4xy 則：2 1t2 - 4 tt

7、-13 t w 4,又t為上 2的正整數.t = 2 ,3 ,4 .1)當t=2時,x + y = 22I xy =.3. 此方程無正整數解；2) 當t=3時，x + y = 3：xy = 2f x=1 x= 2i=> y= 2,1 y = 13) 當t=4時，I x y = 4| xy = 4x = 21=> y = 2綜上所述：不定方程的正整數解為(x, y )= (2,1) ,(1,2 ) ,(2,2 ).例2:求不定方程yx2 -6yx+2x + 9y-1 = 0的整數解.解：方法1：已知方程可化為：yx2 -2(3y-1)x + 9y-1=0,則此方程可看成關于x的一元二

8、次方程有整數解的情況=4. =4(3y-1)2 -4y(9y-1)(1-5y)則必是一個完全平方數，這里不妨設:令(1-5k) = m2(m 之沮m= N)21 - m.k 二5由求根公式：x1 =3m-1故方程要有整數根，當且僅當m + 1 = 5或m1 = 1,5經檢驗：m = 4或m = 6符合題意14當 m=4 時，x1=2x2 =，y = 33當 m = 6 時，x1 = ? , x2 = 4 , y = -7綜上所述：原方程的整數解為(x, y)=(2,3),(4,7)方法2:已知方程化為：y(x-3)2 =1-2x分離y：1 -2x(x-3)2事實上當y=0時，x=l ,不合題意

9、，則有:2y至1 ,即二2x2之1(x-3)1 -2x 2(x-3)2(*)i)若x” 則有:1-2x _x2 -6x 9(x-2)2 + <0無解ii)若x>0,由x為整數則有x1,則(*)式化為:2x-1 -x2 -6x 9 .(x -4)2 <6/. x =2,4,5,6.當 x=2 時，y=-3;當 x = 4 時，y=-7;當x=5時，y不合題意舍去；2當x=6時，y=_11 不合題意舍去；9綜上所述：原方程的整數解為(x,y)=(2,-3),(4,7)2、同余分析法其一般操作步驟：方程兩邊同時取特殊數的模，消去部分未知數，將等式化為同余式；由同余式來估計剩下未知數

10、的取值范圍(或特征)，從而達 到解不定方程的目的.注意：實現這一過程的關鍵在于取什么數作為模，這需要較強的觀察力！常規的取模原則：能消去某些未知數時，取它的系數(或底數)作模；由費馬小定理有“ x3三x(mod 3) ”頻率較高者有模3,模4,模8.常規應用：事實上，同余理論在證明一個不定方程無整數解時有廣泛而方便的應用；一般對于某些指數不定方程，或某些系數較大的方程應用 同余理論能起到一個很好的簡化作用；具體的：它能解決“ Ax+By=C"型整數解問題.例1:求不定方程7x+19y=213的正整數解.解：方程兩邊同時mod7得：-2y 三 3(mod7)兩邊同時乘以3: -6y =

11、 2(mod7)y 三 2(mod 7), y = 7k + 2,代入原方程得：7x 19(7k 2) = 213. x= 25-19kI y = 7k 2,x= 25-19k (其中k為整數)令x>0,y>0,得 j 7k +2A 0,125-19k > 0,2 125/.- : k 二719.k=0 ,1.方程的正整數解為 x,y = 25,2 ,6,9.例2:證明：4441599X x2x14 1599無整數解.證明：1599 =1600-1 三-1 三 15(mod16)設x,x2,x3,A ,x14是方程的整數解，1)若 xi =2n ,則 x4 三 16n4 三

12、0(mod16),2)若 xi=2n+1,則 x2 三 1(mod8),故 x2=8k+1, 從而 x4 =(8k+1)2 =64k2+16k+1 三 1(mod16),二x4*x：+A +x；4 S4( mod16)與(*)式矛盾二該方程無整數解.例3:求不定方程12x-5y =7的全部正整數解.解：i)若12x-5y=7,則方程兩邊模4得：1 三 3( mod 4),矛盾；ii)若12x-5y=7,則方程兩邊模3,得：-(-1) y 三 1( mod 3),.y為奇數若x>1,方程兩邊模8得：-5y 三 -1( mod 8)即 5y 三 1( mod 8),又 52 三 1( mod

13、 8). 2 y ,這與y為奇數矛盾x = 1 ,從而 y = 1綜上所述：原方程有唯一的整數解(x,y)=(1,1).3、約數倍數分析法：此方法經常結合整除理論，是解決不定方程整數解十分有效的方法，在數學競賽中也是出現頻率高，實用性強的一類方法常規的次方法分為兩類：因式分解法：1）將含未知數的代數式置于方程一邊作因式分解；2）將方程另一邊化為常數，并對其做質因數分解；3）考慮各因數的取值，分解成若干方程（組）來求解.分離未知量法：1）將方程的某個（或某些）未知量分離出來，目的是將其他未知量轉化到某個常數的分母位置；2）將處于分子位置的常數作質因數分解；3）考慮分母的取值，分解成若干方程（組）

14、來求解部 分未知量.常規應用：多半是解決某些能進行因式分解（或部分因式分解）的整 數不定方程問題，并且，有時要求學生因式分解功底十分 扎實；具體的：它能解決“ Axy + Bx+Cy+ D =0 （A=0）”型不定方 程.例1： 一隊旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的旅客人數相等，起初每輛汽車乘了 22人，結果剩下1人未上車；如果有一輛汽車空著開走， 那么所有旅客正好能平均分乘到其他各車上，已知每輛汽車最多只能 容納32人，求起初有多少倆汽車？有多少個旅客？解：設起初有m倆汽車；開走一輛后，平均每輛汽車的人數為根據人數相等可列方程:22m+1=(m1)n (m 之 2,nM32)；整理為： mn-n-22m-1=0 (m>2, n <32)；分析： 屬于類型 “ Axy +Bx +Cy +D = 0 (A#0)”