1、兩角和差正余弦公式的證明北京四中數學組皇甫力超論文摘要：本文對兩角和差的正余弦公式的推導進行了探討。在單位圓的框架下，我們得到了和角余弦公式（方法 1 1）與差角余弦公式（方法 2 2）。在三角形的框架下，我們得到了和角 正弦公式（方法 3 3 1111 ） 與差角正弦公式（方法 12,12,佝。關鍵詞：兩角和差的正余弦公式正文：兩角和差的正余弦公式是三角學中很重要的一組公式。下面我們就它們的推導證明方法進行探討。由角（1,的三角函數值表示訂 邛的正弦或余弦值,這正是兩角和差的正余弦公 式的功能。換言之，要推導兩角和差的正余弦公式，就是希望能得到一個等式或方程，將叭（7 7 吶或 6 6 口（

2、吶與，的三角函數聯系起來。根據誘導公式，由角的三角函數可以得到（丿的三角函數。 因此，由和角公式容易得到對應的差角公式，也可以由差角公式得到對應的和角公式。 又因為an（-z）=cosfl，即原角的余弦等于其余角的正弦，據此，可以實現正弦公式和余弦公式的相互推導。因此，只要解決這組公式中的一個，其余的公式將很容易得到。（一）在單位圓的框架下推導和差角余弦公式注意到單位圓比較容易表示口，和卩,而且角的終邊與單位圓的交點坐標可以用三角函數值表示,因此,我們可以用單位圓來構造聯系與&，卩的三角函數值的等式。1.1.和角余弦公式于點 C C;角 始邊為, ,終邊交 LL于點。從而點AB,B, C C

3、和 D D 的坐標分別為閱）,(cossuia) &(口+禺血(a+/0), Dfcos-an/l)由兩點間距離公式得JCJC3 3=(cos(a+QT)+in2(a+/5=(cos(a+QT)+in2(a+/5 二 2-2aK(tE+/52-2aK(tE+/5 ；BD2= (cos-ajsfl)2+(-sm-sina):= 2-2(cosCFais jff-anaaii/9注意到處RD,因此譏垃愉心0 0 如亦 nn。注記：這是教材上給出的經典證法。它借助單位圓的框架，利用平面內兩點間距離公式表達兩條相等線段，從而得到我們所要的等式。注意 ，公式中的和 卩為任意角。2.2.差角余弦公式仍然在

4、單位圓的框架下 ，用平面內兩點間距離公式和余弦定理表達同一線段，也可以得到我們希望的三角等式。這就是（方法 1 1）如圖所示,在直角坐標系以 F F 中作單位圓 0,0,并作角（1,E E 和 ”，使角的始邊為 Q Q【，交 LL于點A終邊交 LL于點 B B；角始邊為, ,終邊交 0（方法 2 2）如圖所示, ,在坐標系說也中作單位圓0,并作角C和，使角出和 的始邊均為Or,交DO于點c,角|必終邊交DO于點A角0終邊交DO于點。從而 點A,B的坐標為 加:小伍），$（皿0a灼。由兩點間距離公式得253=(a-ajs/J)3+(smsy?tstnaflii/?)。由余弦定理得出 * =0/+

5、GB3-20CDBcosZiO2缶噸0)。從而有匚喊勸 匚儲acos0 sutzan/fo注記：方法 2 2 中用到了余弦定理,它依賴于LiOB是三角形的內角。 因此,還需 要補充討論角 止和的終邊共線, ,以及乙伽大于 ff 的情形。容易驗證，公式在以上 情形中依然成立。在上邊的證明中，用余弦定理計算創f的過程也可以用勾股定理來進行。（二）在三角形的框架下推導和差角正弦公式除了在單位圓的框架下推導和差角的余弦公式，還可以在三角形中構造和角或差角來證明和差角的正弦公式。1.1.和角正弦公式（一）（方法 3 3）如圖所示，肋為化椒：的曲邊上的高,佻為M邊上的高。設XTb,上伽a,，則。從而有AE

6、=brna,CE=6mfl, ,BE 二 CEotfi 二 b 血 dEff,因此AB - AEBE -cnsa+sin( (zcot/9 ,肋二屈血a二雉05+松QE/D鈕ao=0W-2OADB注意到BD=BC 血二 h“a0/?sn(tz+/J), ,從而有(cns a+sin acot/Q ana=an tEcscanfa f/Q, ,整理可得an(a-l-/9=gnacns/l+cosa9no注記：在方法 3 3 中，用M和與底角(I,相關的三角函數，從兩個角度來表示 忙邊上高BD,從而得到所希望的等式關系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的對基于直角或銳角三角形的情形，證明過程類似

7、。利用方法 3 3 中的圖形，我們用類似于恒等變形的方式，可以得到下面的( (方法 4)4)如圖所示，11B11B 為 MJCMJC 的必邊上的高，CECE 為屈邊上的高。設ZCW=aZCW=a，CBA=fi，則切伽=住+0 0。AE AD注意到 M M 血 D DfBD，則有區ED，即o從而有 二cos crsinfl+rnacos fl。利用正弦定理和射影定理，將得到下面這個非常簡潔的證法。注意證明利用的圖形框架與方法 3,43,4 所用的圖形框架是相同的。（方法 5 5）如圖所示,O）為 肌的邊上的高。 設M a,八則有 山偌兀 9 P）,。由正弦定理可得AC EC ARJ-二二- 二Q

8、an/? 9nZ sn（a+/7）, ,其中 d d 為M5C的外接圓直徑。由AS = ACrna +BCrnfi得d Gi（a+Q二dshi/IbasfE + ddn泌060, ,從而有血血+0）二血aciK0+aK代鈕0。2.2.和角正弦公式（二）方法 3,43,4 和 5 5 利用的圖形框架是將角（1 ,放在三角形的兩個底角上。如果將這兩個角的和作為三角形的一個內角，將會有下面的幾種證法（方法 611611）。（方法 6 6）如圖所示,作 M M 丄 BCBC 于 D,D,交外接圓于 E,E,連 EEEE 和血。設叢他（I,ZCAE二0,則MCEa,ZCSE二0,Zft4C-ff+/f設

9、 ASCASC 的外接圓直徑為 d,d,則有,E=JsnaE=JsnaBD二BEss0=d血,CE二d昴0,仞二CE化a=d血cosacosa。所以有RC - RDIC!) - d(na;/HMasin小。注意到 5C=rfsin(a5C=rfsin(a+/0+/0, ,從而 an(ff+/?)=smacDs/?+cosasii/lan(ff+/?)=smacDs/?+cosasii/l（方法 7 7）如圖所示，勸為花就的 必 邊上的高，為攜邊上的高。設ZXd,川CF 0,則Mm”。設月，則JEJE 二 AfcnAfcn（Z Z , ,SE=htaifi ,膽二駁優同，出二二畑口+血聞， 5Z

10、)=25sinJ=ajsffi5Z)=25sinJ=ajsffi = =又R!) - RC(at小-hsa.n(a 旳從而（tun（7 t-朋麗n（仕f川。整理可得 如位 仃。-nacos/f cosaan卩（方法 8 8）如圖所示，作JW丄PC于 D,D,過D作DF LOA于F,DG丄胚于 G G所以BE SGGEsin/fcosa I cos/fanci)o注意到 M M QiQQiQ，則有9n（a= an acos/?-Fcosasnp。注記：我們用兩種不同的方法計算EE,EE,得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方法來計算仙，則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得OF-ODmd-rmfi

11、rnaF=(2) -J!99nz = rgnsuia從而有皿；-防肚-“g/m如亦n/D。注意到加m呦IQ,從而可得o方法 6,76,7 和 8 8 都是用角（I,的三角函數從兩個角度表示圖形中的同一線段,從 而構造出我們所希望的等式關系。設兒血a，“。Cp,則BD = rnfi, OD=rrjosfiGE=DF=ODantE = rcns/?snaoZAOB=+acosfcsm aJte-tij(sin a cos /?+cosasin 0)空= AC2BC sin ZACB = ab.口+Q2 2sin(a+/?) = sin a cos fl+cos a sin方法 9 9 利用面積關系

12、構造三角恒等式。下面這兩個證法的思路則有所不同。（方法 9 9 ）如圖所示八皿卩，總 h, EC a,又因為 從而可得AB -d cos 0 BC = d sin 0CD d sin CL DA d cos aIBD = d sin(a+p)由托勒密定理知ACZBD = ABHD + ADZBC目卩dZd sin(ct /3)-dcos sin a +cos oCdsin /?整理即得sin(a 4- /?) = sin a cos p 4- cos a sin P( (方法 10)10)如圖所示，設 M M 為 山恥的外接圓直徑 d,d,長度為 d d。設ZCAD“, / aACy?y?,則

13、加 ad ,從而AB -d cos 5 BC dn 33CD二d sin cr, DA = d cos aBD d sin(ff + p)由托勒巒定理知ACBD = ABTCD +ADHC即dZd sin(a+) = e/cos sin a + cos/?整理即得sini/Z + /3) = sin(7 cos0 + cos tZ sin p注記：這一證明用到了托勒密定理：若必和 EDED 是圓內接四邊形的對角線，貝 U U 有業 sin(a+sin(a+購二 dois/G/dois/G/心 CE+dcosCE+dcos 血/血 0 0。則ZACS=ap。設切“，則AB 4DBD=疏tan O

14、t. + tan 0)AC = hsa =由正弦定理可得屮AB _ M _ BCsin(tz +0) sin B sin AAB_ EC即sin(a +)5)匚8 0AB_ dC+&?從而sta(a + j6)匚os/?+cosaA(tan CL + tan P) (sec Q：+sec p)即sin(ff+/?)cos/?+cosa整理即得sin(a + Q)二如(zcos/?+cosasin Q方法 ioio 和 iiii 將某一線段作為基本量，利用與角 a a, , 0 0 相關的三角函數表示其它線段，再通過聯系這些線段的幾何定理( (托勒密定理或正弦定理),),構造出我們希望的等式關系

15、。3.3.差角正弦公式( (方法 ii)ii)如圖所示仍然還是在三角形中，我們可以在三角形的內角里構造出差角來。方法 1212 和 1313 便是用這種想法來證明的。CD = bsiuQ DE = bm(a/J)DA - DE sec a =bsin(Z/?)secfl：因此有AC CD + DA h(sin Q + sin(ff p secoC)注意到BC-bcop AC = .ffCtajia = fccos/3tao a膽 0 0,記勸h,作DELIS于E,則/ARD-a”，創a,從而有從而sin 5+sin(ar-/7)sect = cos0tan asin(Z P) = sin CL

16、 cos 0 cos OLsin P（方法 1313）如圖所示,亦為化倔：的外接圓直徑,長度為 d d。設/ fAf） a ,/CAD- p,則/（出/丿$,丄as卩。從而（方法 1212）如圖所示設乙蚊 d,整理可得1TZACB=-= d cos OL. RD = d sin ex.BC = c/sin(a-j5) AC =dcQs(a-ff) VDE AD tan P = dcos a：tan pBE - 5Csec j3=dsin(a所以BD = BE+ DE = f(sin(aj5)secj5+cosQ： tan ff)注意到BD = d站哎從而sinff = sin(a- /3)se

17、c /?+ cos Ct. tan Q整理可得sin(of P) - sin a cos /?- cos sin Q方法 1212 和 1313 的基本思路仍然是用兩種不同方法計算同一線段，借此來構造等式關系。很顯然，在這十二種證法中，方法 1 1 和 2 2 更具普遍性。 換言之，這兩種方法中出現的角,是任意角。而其余方法中，角此和則有一定的限制，它們都是三角形的內角( (甚至都是銳角) )。因此，對于方法 313313，我們需要將我們的結果推廣到角出和JFR込處叱是任意角的情形。具體而言，我們要證明：如果公式對任意成立，則對任意角也成立。容易驗證，角(E(E 和 0 0 中至少有一個是軸上

18、角( (即終邊在坐標軸上的角) )，我們的公式是成立的。 下面證明，角仃和都是象限角( (即終邊在坐標系的某一象限中的角) )時，我們的公式也成立。不妨設必為第二象限角，0 0 為第三象限角，從而有a = 2用矩+蘭于空i 0a212嚴wZ；0 =(加+1)加 +0 X A W応zsin(or + #) = sin(2m + + 】)+(2料 +1)兀 + /)3=sin(2w + In +)+0J =005( +0i) = cosaxcos站+ 或口 理】sin=cos(co s ) + ( sin(X；X_ sinA)=sin a cos p +cos a sin 0同理可證, ,公式對于象限角任和的其它組合方式都成立。因此 ，我們可以將方法等式或方程；(3)(3)解決問題：利用單位圓或三角形作為聯系(I和三角函數與 門訊(7 7 * * 或(2)(2)簡化課題：四個公式只要解決一個, ,其余的都可由它推出；從而因此有sm a = cost cos a - sinsin p = sincos p = cos313313 推導的公式推廣到角是任意角的情形。兩角和差的正余弦公式是三角學中很基本的一組公式。其推導證明對指導學生進行探究性學習很有幫助。從上文中可以看到,