1、全等三角形證明經典題（含答案）1. 己知：AB=4 , AC=2 , D 是 BC 中點，111749AD 是整數，求 AD解：延長AD至U E,使AD=DE v D是BC中點/ BD=DC在Zx ACD和Zx BDE中AD二DE Z BDE=Z ADC BD=DC / ACD 也 BDE / AC=BE二2v 在ABE 中AB-BE V AE VAB+BE V AB=4 即 42 V 2AD V 4+2 1V AD V 3/ AD=212. 己知：D是AB中點，N ACB=90 ,求證：CD AB2延長CD與P,使D為CP中點。連接AP, BPVDP=DC, DA=DB / ACBP為平行四

2、邊形 又N ACB=90*平行四邊形ACBP為矩形 AB=CP=1/2AB已知：BC=DE , N B二 N1 = Z 23.E, N C二N D, F是CD中點,求證：Z證明：連接BF和EFV BC=ED, CF=DF, Z BCF= Z EDF 三角形 BCF 全等于三角形 EDF （邊角邊）-BF=EF,Z CBF二 Z DEF 連接 BE在三角形 BEF 中，BF=EF - Z EBF二 Z BEFoV Z ABC二 Z AEDo - Z ABE= Z AEBo - AB=AE.在三角形 ABF 和三角形 AEF 中AB二AE, BF=EF, Z ABF= Z ABE+ Z EBF=

3、Z AEB+ Z BEF= Z AEF 三角形 ABF 和三角形AEF全等。Z BAF= Z EAF ( N 1 = N 2)。4. 己知：N 1 = N 2, CD=DE , EF/AB ,求證：EF=AC過C作CG EF交AD的延長線于點G CG/ EF,可得，Z EFD= CGD DE=DC Z FDE=Z GDC (對頂角) EFDA CGDEF= CG Z CGD=N EFD 又 EF/ AB -Z EFD=N 1N 1= N 2-Z CGD=Z 2 - AGC 為等腰三角形，AC= CG 又 EF= CG - EF = AC5. 己知:AD 平分N BAC , AC=AB+BD ,

4、求證：Z B=2 Z C證明：延長AB取點E,使AE = AC,連接DEAD 平分N BAC -N EAD =Z CAD v AE = AC , ADAD AED A ACD(SAS) -Z E二N CV AC 二AB+BD AE = AB+BD v AE = AB+BE BD = BE -Z BDE = N E vZ ABC = N E+ N BDE / ABC = 2Z E-Z ABC = 2/ C己知：AC平分N BAD ， CE 6.AB , Z B+ Z D= 180 ,求證：AE二A 證明:p廠，在AE上取F ,使EF二EB ,連接CFVCE AB N CEB =Z CEF = 9

5、0V EB = EF , CE = CE , CEBCEFZ B 二N CFE vN B +N D = 180 , Z CFE +N CFA = 180Z D = Z CFA V AC 平分N BAD -Z DAC =Z FAC V AC = AC ADC A AFC (SAS) AD = AF AE = AF + FE= AD + BE7. 如圖，四邊形ABCD中,AB / DC, BE、CE分別平分N ABC、/ BCD 證：BC = AB+DC。，且點E在AD o求在BC上截取BF=AB ,連接EFV BE 平分N ABC N ABE= Z FBE 又 V BE二BE ABE 也” FB

6、E (SAS)N A= N BFE V AB/CD / A+ N D=180o vZ BFE+ Z CFE= 180oCE平分N BCDCE=CEZ D= Z CFE 又 VZ DCE二 Z FCE /DCE 6 FCE (AAS ) CD=CF BOBF+CF = AB+CD8,已知：AB/ED , Z EAB= Z BDE , AF=CD , EF=BC，求證：N F= N CAB II ED，得：Z： EAB+ Z AED= Z BDE+ Z ABD=180 度, Z EAB= Z BDE , Z AED= Z ABD , 四邊形ABDE是平行四邊形. 得:AE=BD ,AF=CD, E

7、F=BC , 三角形AEF全等于三角形DBC , Z F= Z CO9. 己知：AB=CD , N A= N D，求證：N B二 N C證明：設線段AB, CD所在的直線交于E,（當ADBC時，E點是射線BA, CD的交點，當ADBC時，E點是射線AB, DC的交點）。則： AED是等腰三角形。AE=DE而AB二CD BE=CE （等量加等量，或等量減等量） BEC是等腰三角形N B=Z Co10. P 是N BAC 平分線 AD 上一點,AOAB，求證：PC-PB （AC-AB在 AC 上取點 E ,使 AE 二 AB o AE = AB AP = AP N EAP =Z BAE , EAP

8、 A BAP PE = PB o PC V EC + PE - PC ( AC AE)+ PB - PC - PB V AC AB.11. 已知/ ABC=3 Z C, Z 1 = Z 2, BE AE ,求證：AC-AB=2BEg證明：在AC上取一點D ,使得角DBC二角Ct Z ABC=3 Z C / ABD= Z ABC Z DBC=3 N C N C=2 N C ;/ ADB= Z C+ Z DBC=2 Z C; AB=AD AC -AB=ACAD=CD二BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分線，*AE垂直BD I BEAE 點E 一定在直線BD ,在等腰三角形ABD中，AB

9、=AD , AE 垂直 BD 點 E 也是 BD 的中點 BD=2BE v BD=CD=AOAB - AOAB=2BE12 .已知,E 是 AB 中點，AF=BD , BD=5 ， AC=7 ，求 DCAG=BD=5 - AGFS CDF/作AG/ BD交DE延長線于GAGE全等BDE AF=AG=5 DC=CF=213 .如圖，在 ABC 中，BD=DC , N 1 = N 2 ,求證:AD BCo 解：延長AD至BC于點E,v BD=DC BDC是等腰三角形N DBC= Z DCB 又 vN 1= N 2 -Z DBC+ N 1= N DCB+ Z 2 A即Z ABC=Z ACBABC是等

10、腰三角形.AB=AC/ j在 Zx ABD 和公 ACD 中 AB=AC N 1= N 2BD=DC ABD和公ACD是全等三角形（邊角邊）CZ BAD= Z CAD - AE 是a ABC 的中垂線 AE BC AD BC14 .如圖，0M 平分N PoQ , MA OP, 1B OQ, A、B 為垂足，AB 交 OM 于點 N。求證：Z 0AB= Z OBA證明：V OM 平分N POQ N POM = Z QOM V MA OP, MB OQ -N MAO =Z MBO = 90VoM = OM AOM A BOM （AAS ） 0A = OB V ON = ON AON A BON （

11、 SAS） -Z OAB= Z OBA , Z ONA二 Z ONB vZ 0NA+ Z ONB = 180-Z ONA =N ONB = 90- OM AB15 . （5分）如圖，己知AD / BC, Z PAB的平分線與/ CBA的平分線相交于E, CE的連線交AP于D。 求證：AD +BC =AB or做BE的延長線，與AP相交于F點，v PA/BCN PAB+ Z CBA=180 0 , /一 一 7分線2 EAB+ Z EBA=90 又 V, AE , BE 均為 N PAB 和 N CBA 的角平卜:/ /在三角形ABF中，AE BF , . / AEB=90 , EAB為直角三角

12、形丫 三角形FAB為等腰三角形， 且AE為N FAB的角平分線AB=AF, BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中,Z EBC二 ZDFE,且 BE=EF , Z DEF= Z CEB ,三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC16 .如圖：DF=CE AD=BC Z D=N Co 求證： AEDA BFG證明：DF=C E - DF -EF=CE-EF ,即 DE二CF 在 Zx AED 和 Zx BFC 中，1 AD二BCN D二 N C ,DE=CFA AED BFC （ SAS17 .如圖:AE、BC交于點M, F點在AM上,BE CF,

13、BE=CF求證：AM是人ABC的中線。證明：BE11 CF-Z E= N CFM Z EBMZ FCM/ BE=CF-A BEMA CFMT- BM=CM AM是Zx ABC的中線.18. （10分）如圖：在Zx ABC中,BA=BC D是AC的中點。求證：BDAC0 ABD 和Zx BCD 的三條邊都相等 ABDd BCD-Z ADBZ CtZ ADB 玄 CDB=90 BD AC19. （10分）AB=AC DB=DC F是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF在Zx ABD 與Zs ACD 中 AB=AC BD=DC AD=ADA ABDA ACD*N ADB=Z ADC-Z BDF=Z

14、 FDC 在Zx BDF 與Zs FDC 中 BD=DN BDF=/ FDC DF=DF / FBDA FCD - BF=FC20. （12 分）如圖：AB=CD AE=DF CE=FB 求證:AF=DEzAB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB / ABE二 CDF vZ DCB二 Z ABF AB=DC BF=CE ABF二 CDE / AF=DE21 .公園里有一條“ Z字形道路ABCD，如圖所示，其中AB/ CD ,在AB, CD, BC三段 路旁各有一只小石凳E, F, M ,且BE二CF, M在BC的中點，試說明三只石凳E, F ,M恰好在一條直線上。證明：連接

15、 EF IAB / CDN B= N CV M是 BC中點-BM=CM 在A BEM和A CFM中 BE=CF z B= z C BM=CM BEM A CFM (SAS)CF=BE22 .已知：點A、F、E、C在同一條直線上，AF = CE , BE / DF , BE = DF 求證: ABE OA CDF oV AF=CE, FE=EF. AE=CFV DF / / BE,N AEB=Z CFD (兩直線平行，內錯角相等)V BE=DF* ABEA CDF ( SAS23.已知：如圖所示，AB = AD , BC = DC , E、F分別是DC、BC的中點，求證：AE = AF。AB連接

16、 BD ; V AB=AD BOD - Z ADB= Z ABD Z CDB二 Z ABD;兩角相加，Z ADC= Z ABC ;V BC=DC EF 是中點 DE=BF ; V AB=AD DE=BF Z ADC= Z ABC - AE=AF。24.如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，Z 1 = Z 2, N 3=N 4,求證：N 5=Z 6。證明：在Zx ADC ABC 中 I NC=NC / BAC=Z DAC Z BCA二Z DCA ADC* ABC(兩角加一邊)AB=AD BC=CD在公 DEC 與八 BEC 中 Z BCA=/ DCA CE=CE BC=CD DECW -

17、BEC (兩邊夾一角)N DEC =/ BEC25.已知 AB，DE , BC / / EF , D , C 在 AF 上，且 AD=CF,求證：AABCADEFoA DC FAD=D AC=DF/ AB/DE N A= N EDF 又 V BC/EF N F= N BCA ABCf DEF ( ASA26.己知：如圖，AB=AC, BD_AC, CE_AB,垂足分別為D、E, BD、CE相交于點F,求 證：BE二CD。證明：/ BD AC -Z BDC=90 V CE AB -Z BEC=90 -Z BDC= Z BEC=90 / AB=AC N DCB二 ZBDCEBC - BC=BC -

18、 RtA BDC 也 RtA BEC (AAS) - BE=CD 27.如圖，在a ABC 中，AD 為N BAC 的平分線, DE _LAB 于 E, DF_LAC于F。求證：DE = DF.證明：V AD 是N BAC 的平分線N EAD= Z FAD/DE AB , DF ACZ BFD= Z CFD=90 N AED 與N AFD=90 在Zx AED 與公 AFD 中Z EAD二 Z FAD AD=AD Z AED= Z AFD AED A AFD (AAS )- AE=AF 在Zx AEO 與Zx AFO 中Z EAO= Z FAO AO=AO AE=AF AEO A AFO ( SAS)Z AOE二 Z AOF=90 AD EF28 .已知：如圖，AC _ BC 于 C , DE _ AC 于 E , AD _ AB 于 A , BC =AE.若 AB = 5 ,求 AD 的長？AAD AB Z BAO Z ADE 又 t AC _L BC 于 C, DE _L AC 于 E根據三角形角度之和等于180度Z ABC=Z DAE v BC=AE , ABC人/ DAE (ASA