1、1第三十五講中位線及其應用中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行 線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用.例 1 如圖 2-53 所示. ABC 中，ADL BC 于 D, E, F,3G分別是 AB, BD,査 C 的中點.EG = -EF, += 厘米，求匚ABC 的面積.分析 由條件知，EF, EG 分別是三角形 ABD 和三角形 ABC 的中位線利用中位線的性質及條件中所給出的數量關系，不難求出ABC 的高 AD 及底邊 BC 的長.解 由已知，E, F 分別是 AB BD 的中點，所以，EF 是厶 ABD 的一條中位線，所 以apAD

2、 = 2EF.2由條件 AD+EF=12 俚米）得EF=4（厘米）,從而 AD=8（厘米），33EG = -EF= X4 = 6厘米）.22由于 E, G 分別是 AB, AC 的中點，所以6 是厶 ABC 的一條中位線，所以BC=2EG=Z6=12（厘米），顯然，AD 是 BC 上的高，所以=|BC-AD = jxi2X8=48 （平方厘米）.2例 2 如圖 2-54 所示. ABC 中，/ B,ZC 的平分線 BE, CF 相交于 0, AGL BE 于 G AH丄 CF 于 H.B NN圖254(1) 求證：GH/ BC;(2) 若 AB=9 厘米，AC=14 厘米，BC=18 厘米，求

3、 GH分析若延長 AG 設延長線交 BC 于 M.由角平分線的對稱性可以證明厶 ABAMBG 從而 G是 AM 的中點；同樣，延長 AH 交 BC 于 N H 是 AN 的中點，從而 GH 就是 AMN 的中位線，所以 GH/ BC 進而，利用 ABC 的三邊長可求出 GH 的長度.(1)證 分別延長 AG AH 交 BC 于 M, N 在厶 ABM 中,由已知，BG 平分/ ABM BGL AM,所以ABGAMBG（ASA）從而，G 是 AM 的中點.同理可證ACHANCH(ASA)從而，H 是 AN 的中點.所以 GH AMN 的中位線，從而， HGI MN 即HG/ BC.(2)解 由(

4、1)知，ABGAMBGAACHANCH 所以AB=BM=91 米，AC=CN=14!米.又 BC=18 厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4 厘米）,MC=BC-BM=18-9=9 厘米）.從而3MN=18-4-9=5（厘米）,4所以GH = MN = j （厘米）*W&說明（1）在本題證明過程中，我們事實上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一（即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線）性質定理的逆定理：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線，則這條平分線也是對邊的中線，這個三 角形是等腰三角形”.（2）“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個角的平

5、分線也是該角對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對邊” 同學們不妨自己證明.（3）從本題的證明過程中， 我們得到啟發：若將條件“/B,/ C 的平分線”改為“/ B（或/ C）及/ C（或/ B）的外角平分線”（如圖 2-55 所示），或改為“/ B,ZC 的外角平分線”（如圖 2-56 所示）,其余條件不變，那么，結論 GH/ BC 仍然成立.同 學們也不妨試證.團2555例 3 如圖 2-57 所示.P 是矩形 ABCD 內的一點，四邊形 BCPC 是平行四邊形，A, B,C, D分別是AP,PB BQQA 的中點.求證：A C=BD.分析由于 A, B, C, D分別是

6、四邊形 APBQ 的四條邊 AP, PB, BQ QA 的中點，有經驗的同學知道AB CD是平行四邊形，AC與 BD則是它的對角線，從而四邊形 A B C D應該是矩形利用 ABCD 是矩形的條件，不難證 明這一點.圖2576證連接 A B, B C,C D,D A,這四條線段依次是 APB BPQ AQB APQ的中位線.從而A B/ AB B C/ PQC D/1AB D A/ PQ所以，A B C D是平行四邊形由于 ABCD 是矩形，PCB（是平行四邊形， 所以AB 丄 BC BC/ PQ從而AB 丄 PQ所以 A B丄 B C,所以四邊形 A B C D是矩形，所以A C =B D.

7、說明在解題過程中，人們的經驗?？善鸬揭l聯想、開拓思路、擴大已知的作 用如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊形”這個經驗，對尋 求思路起了不小的作用因此注意歸納總結，積累經驗，對提高分析問題和解決問 題的能力是很有益處的.例 4 如圖 2-58 所示.在四邊形 ABCD 中, CDAB, E, F 分別是 AC BD 的中點.求 證：（CD-JVB）.2分析 在多邊形的不等關系中，容易引發人們聯想三角形中的邊的不等關系.為了產生 fCD 及的線段，應考慮在含 CD, AB 的三角-形中構造中位線，為此，取 AD 中點.7證取 AD 中點 G 連接 EG FG 在厶 ACD 中，E

8、G 是它的中位線（已知 E 是 AC 的 中點），所以BG=CD.同理，由 F, G 分別是 BD 和 AD 的中點，從而，卩6 是厶 ABD 的中位線，所以PG=1AB.在厶 EFG 中,EF EG-FG 由，EF丄（CD-JVB）.2例 5 如圖 2-59 所示.梯形 ABCD 中, AB/ CD E 為 BC 的中點， AD=DC+AB 求證: DEI AEE_ D圖259分析 本題等價于證明厶 AED 是直角三角形，其中/ AED=90 .在 E 點（即直角三角形的直角頂點）是梯形一腰中點的啟發下，添梯形的中位線 作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形 AED 的斜邊（即梯形另一腰

9、）的一半, 則問題獲解.證 取梯形另一腰 AD 的中點 F,連接 EF,則 EF 是梯形 ABCD 勺中位線，所以EF（AB4-CD）*2因為 AD=AB+CD 所以8BF= 1AD=AP=DF.2從而/ 仁/2，/ 3=/4,所以/ 2+/ 3=/ 1 + / 4=90 （ ADE 的內角和等于 180 ）.從而/ AED/2+/3=90,所以 DE 丄 AE.例 6 如圖 2-60 所示. ABC 外一條直線 I , D, E, F 分別是三邊的中點，AA,FFi, DD, EE 都垂直 I 于 Ai，Fi, D，Ei.求證：AA+EE=FFi+DD.分析 顯然 ADEF 是平行四邊形，對

10、角線的交點 O 平分這兩條對角線，OO 恰是兩 個梯形的公共中位線利用中位線定理可證.證連接 EF, EA ED 由中位線定理知， EF/ AD, DE/ AF,所以 ADEF 是平行四 邊形，它的對角線 AE, DF 互相平分，設它們交于 O,作 OO 丄 I 于 O,則 OO 是梯形 AAEE 及 FFiDD 的公共中位線，所以j (AAi + EEj(FFL+DDJ =OOP即 AAi+EE=FFi+DD.練習十四i .已知 ABC 中，D 為 AB 的中點，E 為 AC 上一點，AE=2CE CD BE 交于 O 點, OE=2厘米.求 BO 的長.92 .已知 ABC 中，BD, CE 分別是/ ABC, / ACB 的平分線，AFUBD 于 H, AF 丄 CE于 F.若 AB=14 厘米，AC=8 厘米，BC=18 厘米，求 FH 的長.3.已知在 ABC 中， AB AC, AD 丄 BC 于 D, E, F, G 分別是 AB, BC, AC 的中點.求 證：/ BFE=/ EGD4 .如圖 2-61 所示.在四邊形 ABCD 中, AD=BC E, F 分別是 CD AB 的中點， 延長 AD,BC,分別交 FE 的延長線于 H G.求證：/ AHF=/ BGF5.在 ABC 中，AHL BC 于 H D E , F 分別是 BC, CA AB 的中點