1、中考第22講與圓有關的位置關系聚焦考點1 點和圓的位置關系(設d為點P到圓心的距離，r為圓的半徑)：(1)點P在圓上？ d = r;(2)點P在圓內？ d<r;點P在圓外？ d>r.2.直線和圓的位置關系 (1)設r是。的半徑，d是圓心O到直線l的距離.直線和圓的位直大系圖形公共占個八、1數圓心到直線的距離d與半徑r的關系公共點名稱直線名稱相交2d< r交占 八、割線1相切CJ1。41d= r切點切線相離20d>r無無(2)切線的性質：切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.推論1：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。推論2:經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

2、(3)切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.(4)切線長：經過圓外一點作圓的一條切線；這一點與切點之間的線段長度叫做點到圓的切線長.切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.3.三角形的外接圓和內切圓名師點睛名稱圖形內、夕卜心性質三角形的外接圓18二辿垂直平分線的交點稱為三角形的外心三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等三角形的內切圓HD三條角平分線的交點稱為三角形的內心hC三角形的內心到三角形三條邊的距離相等考點1:圓的切線的判定與性質【例題1】如圖，AB是。0的直徑,為AP的中點，延長CO交。0于點且長為1

3、0,點P是AB下方的半圓上不與點 A, B重合的一個動點，點D,連接AD,過點D作。0的切線交PB的延長線于點E,連CE.若/ADC= 30° ,求BD的長；(2)求證： DA室 AECP，一，一，一1, ，一在點P運動過程中，若 tan/DCE= 5,求AD的長.【點撥】(1)利用同弧所對圓周角與圓心角之間的關系，可求得/ DOB= 60。，利用弧長公式求前的長；(2)先證得四邊形 DCP比矩形，從而證明 DA8AECP (3)可以利用tan / DCE在RtDAC中獲得三邊的 數量關系, 在 RtAOC中建立方程求解.【解答】解：(1) ,. ZADC= 30° , O

4、A= OR . . / OAD= 30°DOB= 60° 1 BD-60 X 兀 X51805兀(2)證明：連接OP.,. AO= OR 點 C是 AP的中點，DCP= 90.DE是。0 的切線，/ CDE= 90° .AB是。0 的直徑，/ APB= 90° . .四邊形 DCPE矩形.，DC= EP.又AO CR /AC氏 /CPE= 90° , .DA8 ECP(SAS)(3)由(2)知，四邊形 DCPE矩形， DA室AECP ，/ADC= /CEP= Z DCE. . tan ZDCE= 1, . .tan ZADC= 1. 2，2 ,

5、設 AC= x,則 DC= 2x, AD-5x.在 RtAOC中，OC= 2x-5, AO=AC2+OC,.5 2=x2+(2x 5)2,解得 Xi=0(舍去)，x2=4. .AD- 4 5.歸納：1.切線的判定：在判定直線與圓相切時，若直線與圓的公共點已知，證明方法是“連半徑，證垂直”若直線與圓的公共點未知，證明方法是“作垂線，證半徑”.這兩種情況可概括為一句話：“有交點，連半徑，無交點，作垂線” .2 .求線段長度時通常在構造的直角三角形中(注意直徑所對的圓周角也可得直角三角形)利用三角函數或勾股定理求解，有時也需根據圓中相等的角得到相似三角形，根據相似三角形對應邊成比例建立等式進行求解.

6、考點2:圓的切線綜合應用【例題2】(甘肅蘭州，27, 10分)如圖，三角形 ABC是。的內接三角形，AB是。的直徑，ODL AB于點0,分另1J交 AG CF于點E、D,且DE=DC(1)求證：CF是。的切線;(2)若。的半徑為5, BC=/0,求DE的長.【提示】(1)第一步：連接 OG易知/ A=/OCA由ODLAB證得/ A+ / AEO=90 ;第二步：根據“等邊對等角”有/DECWDCE代換得/ OCE它DCE=90 ,從而證得結論；1(2)第一步：作DHL EG根據 等角的余角相等 可得/ EDHh A, EDC中根據三線合一得 EH=HC=1 EC,2于是AB=10,由勾股定理可

7、得 AC=3j10；第三步：由 AES ABC#公0 生，代入數據求得AE,進AC AB一步求出EG EH;第四步：由等角的正弦相等得sin / A= sin / EDH從而史 里，進而求得DE的AC DE長.【解答】解：(1)證明：連接 OC 則/ A=Z OCA 1-, OD±AB,AOE=90 ,/ A+ / AEO=90 ,DE =DQ./DECWDCE / AEOW DEC / AEO= / DCE，/ OCE+DCE=90 , . CF 是。O 的切線.。的半徑為 5,BC= J10 . . AB=10,AC=300 ,1 一(2)作 DHL EC,貝U/ EDHW A,

8、 . DE=DQ. EH =HCEC, 2AO AE. AES ABC；,. ae二挈 亞，EC=AC-AE3JG 尬二近, 3 10333EHDEEH=1 EC=20 , / EDHW A,sin / A= sin / EDH 即匹23ACABELiD DE=歸納：當。C與AB相切時，只有一個交點，同時要注意AB是線段，當圓的半徑 R在一定范圍內時，斜邊AB與。C相交且只有一個公共點.考點3:圓與其它知識的綜合應用【例題3】【例1】 如圖，點C是以AB為直徑的圓。上一點，直線 AC與過B點的切線相交于 D,點E是BD的中點，直線 CE交直線 AB于點F.(1)求證：CF是。0的切線；_4(2

9、)若 ED= 3, cosZF=-,求。0 的半徑.5CB OC根據圓周角定理得【分析】(1)要判斷CF是切線，根據切線的判定“有切點，連半徑”，連接ZACB= 90° ,即/ BCD= 90° ,則根據直角三角形斜邊上的中線性質得CE= BE,所以/ BCE= / CBE根據角之間的等量代換證得/ OCE= 90° ,進而證得 CF是切線；(2)由題意得CE= BE= DE= 3,在RtBFE中，一一BF.利用cos/F= EF和tan/F可計算出BF,再利用勾股定理可得 EF,由CF= CE+ EF得CF,最后在 Rt OCF中，利用正切函數可計算出OC.【解

10、析】(1)證明：如圖，連接 CB OC.BD為。0 的切線，DB±AB,，/ABD= 90° , . AB 是直徑， ./ ACB= 90° , ./ BCD= 90° , . E為BD的中點，CE= BE,/ BCE= / CBE 而/ OCB= / OBC /OBCF /CBE= Z OCB- Z BCE= 90° , OCXCF,，CF是。0 的切線;(2)解：C& BE= D& 3,在 RtBFE中，cos/F=4, tan / F= BE= 3, 5BF 4 .BF= 4,EF=加。BF2 =5, .CF= CE+ E

11、F= 8,在 RtOCF中，tan Z F = °C= 3,CF 4 .OC= 6.即。0的半徑為6能力提升一、選擇題：1 .矩形ABCD, AB= 8, BC= 3。5,點P在邊AB上，且BP= 3AP,如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的 圓，那么下列判斷正確的是 （）A.點B, C均在圓P外B.點B在圓P外、點C在圓P內C.點B在圓P內、點C在圓P外D.點B, C均在圓P內【答案】C【解析】：畫出矩形后求解出DP的長度即圓的半徑，然后求出BP, CP的長度與DP的長度作比較就可以發現答案.在 RtADP 中，DP= AD + AP =7,在 RtBCP 中，BP= 6, PC=

12、 BC2+ BP2 =9. PO DP, BPV DP, 點B在圓P內，點C在圓P外.答案：C2 .在 4ABC 中，Z C= 90° , AC= 3 cm, BC= 4 cm,若。A, OB 的半徑分別為 1 cm,4 cm ,則。A,0B 的 位置關系是（）A.外切B .內切C .相交D .外離【答案】A【解析】：如圖所示，由勾股定理可得AB=寸AC2 + BC2 =32+ 42 = 5（cm）,0A, OB的半徑分別為1 cm,4 cm ,圓心距d=R+ r, .-.OA,OB的位置關系是外切.答案：A3 . （2018 重慶市 B卷）（4.00分）如圖， ABC中，/ A=3

13、0° ,點 O是邊AB上一點，以點 O為圓心，以OB為半徑作圓，O O恰好與AC相切于點D,連接BD.若BD平分/ ABG AD=",則線段CD的長是（A. 2 B .心 C【答案】B【解答】解：連接 OD.OD是。的半徑，AC是。O的切線，點 D是切點, ODL AC在 R1AAOD43, .一/A=30° , AD=2/3,OD=OB=2 AO=4 ./ ODBh OBD 又BD平分/ ABC ./ OBDh CBD ./ ODBh CBDOD/ CB,AD _AQCD=/3.故選：B.4.（2019?黑龍江口爾濱?3分）如圖,PA.PB分別與。O相切于A.B

14、兩點，點C為。上一點，連接 AC.BC,若/ P= 50° ,則/ ACB的度數為()C. 70°A. 60°B. 75°D. 65°【解答】解：連接 OA.OB,.PA.PB分別與。O相切于A.B兩點，OA! PA, OBL PB, ./ OAP= / OBP= 90° ,，/AOB= 180° -Z P= 180° -50° =130° , ./ACB=/ AOB=-1-X 130° =65。.故選：D.5. （2019湖北仙桃）（3分）如圖，AB為。0的直徑，BC為。0的切線，弦

15、 AD/ OC直線CD交BA的延長線于點E,連接BD.下列結論：CD是。0的切線；COL DR EDM EBDED?BC= BO?BE其中正確結論的個數有（）A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個【答案】A【解答】解：連結 DQ.AB為。0的直徑，BC為。0的切線，/CBQ= 90° , . AD/ QC/ DAQ= / CQB / ADQ= / CQD又,.QA= QD/ DAQ= / ADQ .ZCQD= /CQBico-DO在 CQD 和 CQB 中，OD-O8 .CQ牽ACQB( SAS,，/CDQ= /CBQ= 90° .又點D在。0上， .CD是。0的切線；故

16、正確， .CQ牽 ACQB .CD= CB,.QD= QR CQ垂直平分DB,即CQL DB，故正確；.AB為。0的直徑，DC為。0的切線， /EDG /AD樂 90° , /EDA廿AD©= /BDO+ADG90° , ./ADE= / BDO,.OD= OR .ZODB= Z OBD ./ EDA= / DBE,一/ E= / E, .EDAAEBtD 故正確； . /EDO= /EBG= 90° ,/ E= / E, .EOm AECB.ED _ OD灰一病,.OD= OBED?B& BO?BE 故正確；故選：A.6.（2019酊蘇蘇州？3

17、分）如圖,若 ABO 36°,貝U ADC的度數為、填空題:AB為。的切線，切點為 A,連接AO、BO, BO與。O交于點C,延長BO與OO交于點D ,連接AD ,【答案】27°(3, 4),點P是。M上的任意一點，O對稱，則AB的最小值為.【解答】切線性質得到BAO 90oAOB 90o 36o 54oQOD OAOAD ODAQ AOB OAD ODAADC ADO 27o7. (2018 山東泰安 3分)如圖，OM 的半徑為2,圓心M的坐標為 PAL PB,且PA、PB與x軸分別交于 A B兩點，若點 A、點B關于原點【答案】6【解答】解：: PAL PB,./APB

18、=90 ,.AO=BO.AB=2PO若要使AB取得最小值，則 PW1取得最小值，連接OM交。M于點P',當點P位于P'位置時，OP取得最小值,過點M作MQLx軸于點Q,則 OQ=3 MQ=4.OM=5X / MP =2, .OP =3,.AB=2OP =6,D, OE是ACD勺內切圓，連接 AE,8.（2018 山東威海 3分）如圖，在扇形 CAB中，CDLAB,垂足為BE,則/ AEB的度數為 .【答案】135°【解答】解：如圖，連接 EC. E>A ADC勺內心,/ AEC=90ZADC=135 ,在 AEC和 AEB中,AE=AEZEAOZEASAC=A&

19、amp; . EAC EAB / AEB玄 AEC=135 ,故答案為135° .9.（2018年江蘇省泰州市？3分）如圖， ABC中，Z ACB=90 ,sinA= , AC=12,將 ABC繞點 C 順時 .L Q針旋轉90°得到 A'B'C , P為線段A' B'上的動點，以點 P為圓心，PA'長為半徑作。 巳 當O PAABC的邊相切時，O P的半徑為1S61O2或【解答】解：如圖1中，當。P與直線AC相切于點Q時，連接PQ設 PQ=PA =r,. PQ/ CA , r=156如圖2中，當。P與AB相切于點T時，易證A'

20、;、B'、T共線,綜上所述，O P的半徑為嶗或一.三、解答題：10.在RtABC中，/ C= 90° , AC= 3, BC= 4,若以C為圓心，R為半徑的圓與斜邊 AB只有一個公共點,求R的值.CB_2ii解：當。0 與 AB 相切時，AB= 3+4 = 5, .$ ab> 2AB CD= -AC- BG一如圖，當OC與斜邊AB相交時，點A在圓內部，點B在圓上或圓外時，此時八12案為：3< FK4或F 5AC- BC 3X4 12CD= AB - 5 - 5，AC< R< BC,即 3V R< 4.故答11.如圖，AB是。0的直徑，/ BAC=

21、 60° , 過點C的切線CD交PQ于點D,連接OC.(1)求證：4CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQPACOB 求 BP： PO的值.(【解析】：(1)證明：.AB是。0的直徑，/ACB= 90° . PQLAB,，/APQ= 90° .又. /BAa 60° , OA= OC.OAC是等邊三角形，/ ABC= /Q= 30° .P是OB上一點，過點 P作AB的垂線與AC的延長線交于點 Q./ACG= 60° .，/DCQ= 180° -90° -60° =30° ./DC年 Z Q.CDQ

22、是等腰三角形.(2)設。0 的半徑為 x,則 AB= 2x, AG= x, BG=黃x.1 . CDQPACOB，CQ= BG= 3x.AQ= AC+ CQ= (1 +3)x.，A1AQ=1+'x.BP AB-AP 3-2v3x, PO= AP AO= ；3 1 x.2 .BP： PO= 3.OE為半徑12. (2018 揚州)如圖，在 ABC中，AB= AC, AQL BC于點 O, OaAB于點E,以點 O為圓心,作半圓，交AO于點F.(1)求證：AC是。0的切線；(2)若點F是OA的中點，OE= 3,求圖中陰影部分的面積； 在(2)的條件下，點P是BC邊上的動點，當PE+ PF取

23、最小值時，直接寫出 BP的長.【解析】：(1)證明：作O也AC于點H. . AB= AC, AOL BG AO平分/ BAC.又. OEL AR OHL AG .OH= OE，即OH為。0的半徑. .AC是。的切線.(2)二點F是OA的中點, .OA= 2OF= 2OE= 6.X.OE= 3, ./OAE= 30° , /AOE= 60°S 陰影=SAOE S 扇形 EOF1二2乂 3X3260x 兀 X3 23609 33 兀=2作F點關于BC的對稱點F',連接 EF'交BC于點P,此時PE+ PF最小.OF = O已 OE，/F' = / OEF

24、. Z AOE= / F' + / OEF =60° ,.F' =30° . . ./ F' =/ EAF .EF' = E、3，3,即 PE+ PF最小值為 33.在 RtAOPF 中，OP= tan30 ° - OF = J3 ,在 RtABO中，OB= tan30 ° - OA= 2V3,BP= 23-3=3.13.(2018 聊城)如圖，在 RtABC中，/ C= 90° , BE平分/ ABC交AC于點E,彳EDL EB交AB于點D,00是ABED的外接圓.(1)求證：AC是。0的切線；(2)已知。0的

25、半徑為2.5 , BE= 4,求BC, AD的長.【點撥】(1)證AC是。0的切線，可轉化為證 OEL AQ (2)求BC, AD的長可通過證明 BD曰 BEC和 AO® AABC.【解答】解：（1）證明：連接OE.1 . OB= OE .OBE= Z OEB. BE 平分/ABCOBE= Z CBE.2 .ZOEB= Z CBE.1.OE/ BC.又.U 90° ,AEO= 90° ,即 OELAC.又OE是。0的半徑，AC為。0的切線.(2) 1. EDL BE ，/BED= /上 90°BD BE 5416又一/DB2/EBC .BD曰ABEC.

26、-Be=玩，即十 BCbc= T . /AEO= /C= 90° , /A= /A, .AOHAABC.AO OEAD+ 2.5 2.5 .45 AB= Bd 艮p ad+ 5 =16-.' AD= T 514. (2019?四川省涼山州？ 8分)如圖，點 D是以AB為直徑的。O上一點，過點 B作。的切線，交 AD的 延長線于點C, E是BC的中點，連接 DE并延長與AB的延長線交于點F.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 OB= BF, EF= 4,求 AD的長.【分析】(1)連接OD由AB為。O的直徑得/ BDC= 90° ,根據 BE= EC知/ 1 = /

27、 3、由OD= OB知/ 2=/ 4,根據BC是。的切線得/ 3+74=90° ,即/ 1 + 72 = 90° ,得證；(2)根據直角三角形的性質得到/F=30° , BE= 4-EF= 2,求得DE= BE= 2,得到DF= 6,根據三角形的內角和得到OD= OA求彳導/ A= Z ADO=-L/BOD= 30° ,根據等腰三角形的性質即可得到結論.【解答】解：(1)如圖，連接 OD BD,AB為。的直徑, ./ ADB= / BDC= 90° ,在 RtBDC中， BE= EC,DE= EC= BE,Z 1 = Z 3, BC是。的切線，. / 3+Z4= 90° ,. / 1 + /4= 90° ,又.一/ 2=/ 4,1 + /2= 90° ,DF為。的切線;(2) OB= BF,OF= 2OD ./ F= 30° , / FB已 90° ,BE= _LEF= 2,2d DE= BE= 2,DF= 6, . / F= 30° , / ODF= 90° , ./ FOD= 60°