1、基礎部張守成基礎部張守成第四章 泊松過程基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27X tt( ),0, 給給定定二二階階矩矩過過程程定定n如如果果對對任任意意選選定定的的正正整整數數和和任任意意選選定定的的在互不相交的區間上在互不相交的區間上, ,狀態的增量是相狀態的增量是相 X tX ssts t( )( ), 0( , 為為隨隨機機過過程程 在在上上的的.增增量量,0210ntttt )()(,),()(),()( 11201 nntXtXtXtXtXtX,相相互互獨獨立立互獨立的，有互獨立的，有 X tt( ),0 則則稱稱為為義義隨隨機機變變量量n個個增增量量特征

2、特征: : .獨獨立立增增量量過過程程 ),(tsCX).,(min(tsDX一、齊次泊松過程一、齊次泊松過程1、獨立增量過程獨立增量過程基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27則稱則稱增量具有平穩性增量具有平穩性. .hshth0, 如如果果對對任任意意的的實實數數 和和X thX shX tX s()()( )( ), 和和具具有有相相同同的的分分布布增量增量 X(t)-X(s) 的分布函數只依賴于的分布函數只依賴于當增量具有平穩性時當增量具有平穩性時, , 是是齊次的齊次的或或時齊的時齊的. . 稱相應的獨立增量過稱相應的獨立增量過程程 特征特征: : 區間的長度

3、區間的長度t-s, , 而與它的位置無關而與它的位置無關. .基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27考慮下列隨時間的推移遲早會重復出現的事件：考慮下列隨時間的推移遲早會重復出現的事件： (1)(1)自電子管陰極發射的電子到達陽極自電子管陰極發射的電子到達陽極; ;(2)(2)意外事故或意外差錯的發生意外事故或意外差錯的發生; ;(3)(3)要求服務的顧客到達服務站要求服務的顧客到達服務站. .2、齊次泊松過程的概念齊次泊松過程的概念電子到電子到達陽極、顧客到達服務站等事件會隨達陽極、顧客到達服務站等事件會隨時間推移時間推移隨機發生在時間軸上的不同時刻隨機發生在時間軸上

4、的不同時刻.基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27N t tt( ),0(0, 用用表表示示在在時時間間間間隔隔內內發發生生的的某某種種( ),0N t t 則則稱稱為為計計數數過過程程. .事事件件的的數數目目，0,( , )( )( )stN s tN tN s 對對于于等等于于在在( , .s t時時間間間間隔隔中中發發生生的的事事件件數數一個計數過程一定滿足：一個計數過程一定滿足：(1) N(t)取非負整數值取非負整數值；(2) 如果如果st|T1=s=P在在(s, s+t內沒有事件發生內沒有事件發生| |T1=s=PN(s+t)-N(s)=0 | N(s)

5、-N(0) =1= PN(s+t) -N(s)=0 te. 故故T TFt sP Tt Ts2121()P Tt Ts211.te1 表明表明 服從均值為服從均值為1/ 的指數分布，且與的指數分布，且與T1 1獨立獨立. .T2(獨立增量過程獨立增量過程)基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27重復上面的推導，可得下面的結論：重復上面的推導，可得下面的結論：結論結論: :設設N(t), t 0是強度為是強度為 的泊松過程，則的泊松過程，則iT TT12,相相互互獨獨立立且且服服從從相相同同的的指指數數分分布布itTtftite, 0,( )1,2, 3,.0, 0. 意

6、義意義: : 表明在概率意義上過程在任何時刻重新開始，表明在概率意義上過程在任何時刻重新開始，即泊松過程是即泊松過程是無記憶的無記憶的.基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27(2) 等待時間的分布等待時間的分布由于由于nniiWT1, 利用矩母函數容易證明利用矩母函數容易證明nWn( , ), 即即Wn具有概率密度具有概率密度nntWtetftnt1(),0( )(1)!0,0 基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27二、泊松過程的推廣二、泊松過程的推廣1、非齊次泊松過程非齊次泊松過程, 0),( ttt 的的函函數數是是時時間間若若則稱泊松過

7、則稱泊松過注：注：從而從而非齊次泊松過程不再具有平穩增量性非齊次泊松過程不再具有平穩增量性. .( ),0( ).N ttt 是是強強度度函函數數為為的的非非齊齊次次泊泊松松過過程程稱稱 0( )( )tm ts ds 為為累積強度函數累積強度函數或或均值函數均值函數，則有則有( )( ) ( )( )N tN sm tm s 基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27 某路公交車從早晨某路公交車從早晨5時到晚上時到晚上9時有車時有車, ,乘客乘客 流量如下流量如下: :5時平均乘客為時平均乘客為200人人/ /小時小時; ;5時至時至8時時 乘客平均到達率線性增加乘客平

8、均到達率線性增加, ,8時到達率為時到達率為1400人人/ / 小時小時; ;8時至時至18時保持平均到達率不變時保持平均到達率不變; ;18時到時到21 時到達率線性下降時到達率線性下降,到到21時為時為200人人/ /小時小時, ,假定假定 乘客數在不重疊的區間內是相互獨立的乘客數在不重疊的區間內是相互獨立的, ,求求 (1) (1)7時至時至9時來站乘車人數的數學期望；時來站乘車人數的數學期望； (2) (2)12時至時至14時有時有2000人人乘車的概率乘車的概率. . t=0為早晨為早晨5時時, ,t=16為晚上為晚上9時時, ,則均值函數則均值函數200400 ,03( )1400

9、,3131400400(13),1316tttttt 基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-277時至時至9時為時為t (2,4,則由非齊次泊松過程的則由非齊次泊松過程的性質可得性質可得7時至時至9時乘車人數的數學期望為時乘車人數的數學期望為(4)(2)E NN(9)(7)2000P NN 12時至時至14時有時有2000人來站乘車的概率為人來站乘車的概率為(4)(2)mm 42( ) t dt 32(200400 ) t dt 2600 431400dt (2)20002800(2800)2000!e 基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27 設

10、設N(t), t 0是強度是強度 的泊松過程的泊松過程, ,Yk,k=1,2,是是 獨立同分布隨機變量序列獨立同分布隨機變量序列, ,且與且與N(t), t 0獨立獨立, ,令令 則稱為則稱為復合泊松過程復合泊松過程.例例 設設N(t)是在是在(0, t內來到某商店的顧客數內來到某商店的顧客數, ,Yk是是0,)()(1tYtXtNkk2、復合泊松過程復合泊松過程)(1)(tNkkYtX第第k個顧客的花費個顧客的花費, ,則則 是是 (0, t內的營業額內的營業額.基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27設設 是復合泊松過程，則是復合泊松過程，則(1) X(t), t

11、0是獨立增量過程；是獨立增量過程；(2) X(t)的特征函數的特征函數 是事件的到達率是事件的到達率, ,gY(u)是隨機變量是隨機變量Y1的特征函數；的特征函數；(3)若若 ，則，則0,)()(1tYtXtNkk)(21YEE X ttE Y 1( ) 1)(exp)()(ugtugYtX 定理：定理：D X ttE Y 21( ) 基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27.10 1nP Y，.20 4nP Y，.30 4nP Y，. .40 1nP Y 2例例2 設移民到某地的戶數是一個速率為設移民到某地的戶數是一個速率為( ),0,N tt （每周）的泊松過程（每

12、周）的泊松過程若每戶人口若每戶人口求在五周內移民到該地人口數的的期望和方差求在五周內移民到該地人口數的的期望和方差. .nY ：數為獨立同分布的隨機變量數為獨立同分布的隨機變量()2.5,nE Y 2( )(),(t)()nnE X ttE YD XtE Y(t)25,E X (t)69D X X(t)設設0 , ) t 表示表示 時間內移民到該地的人口數，時間內移民到該地的人口數， 可得五周內移民到該地人口數的的期望可得五周內移民到該地人口數的的期望解：解： 是復合泊松過程是復合泊松過程, ,( )1( )N tnnX tY2()6.9nE Y 2,5t 將將 代入代入由由Yn的分布律可得的分布律可得基礎部張守成基礎部張守成2021-12-272021-12-27100設進入到某超市的人數是一個速率設進入到某超市的人數是一