1、 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）第六節(jié)第六節(jié) 反常積分反常積分一、無窮區(qū)間上的反常積分一、無窮區(qū)間上的反常積分 adxxf)( babdxxf)(lim 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）當(dāng)極限存在時(shí)，稱反常積分當(dāng)極限存在時(shí)，稱反常積分收斂收斂；當(dāng)極限不存在；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱反常積分時(shí)，稱反常積分發(fā)散發(fā)散. . bdxxf)( baadxxf)(lim類似地類似地 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） 例例1 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分 . .222xxdx021) 1(1limaadxxbbdxx021) 1(

2、1lim0) 1arctan(limaax bbx0) 1arctan(lim解解222xxdx00 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例2 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分 21sin12dxxx解解 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb1 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）4計(jì)算反常積分時(shí),可推廣N-L公式.例如 adxxf)()()(lim)(aFbFxFba )()(xfxF 其其中中 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例 3 3 證證明明反反常常積積分分 11dxxp當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)收收斂斂，當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散.

3、. 證證 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)1 p 11dxxp 11dxx 1ln x 11dxxp 111pxp 1,111,ppp當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)1 p 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）)( !0NnndxexIxnn010dxexnexxnxn1nnI0 xnndexI 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分 badxxf)( badxxf )(lim0 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） badxxf)( badxxf)(lim0)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上除點(diǎn)上除點(diǎn))(bcac 外連續(xù)，而外連續(xù)，而 在點(diǎn)在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無界，則定義的鄰域內(nèi)無界，則定義 badxxf)( cadxxf)(

4、bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）20)2)(1(xxdx22323110dxxx)1121(lim10010寫成1012lnxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例5 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分 . .)0(022 axadxa解解 2201limxaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的奇奇點(diǎn)點(diǎn) . . axadx022 axadx0220limaax0arcsin2 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例6 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分 . . 21ln xxdx解解 21ln xxdx21)ln(ln x 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散

5、. .思考思考 積分積分 的奇點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？的奇點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？ 101lndxxx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是奇點(diǎn)不是奇點(diǎn), , 101lndxxx的奇點(diǎn)是的奇點(diǎn)是. 0 x 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）注意注意 積分中有無奇點(diǎn)？積分中有無奇點(diǎn)？0 x實(shí)際上實(shí)際上是奇點(diǎn)是奇點(diǎn), ,.,110102發(fā)發(fā)散散而而 xxdx 11112021xxdx 112xdx計(jì)算計(jì)算這個(gè)解法是錯(cuò)的這個(gè)解法是錯(cuò)的, , 1122001xdxx.原原積積分分發(fā)發(fā)散散 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）01)(dxexsxs1100s)() 1(sss!) 1(nn0s)(s 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）).10