1、勾股定理全章知識點總結大全例題精講中考題目集團檔案編碼：YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08勾股定理全章知識點總結大全一.基礎知識點：1:勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a：+b：=c=）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其 主要應用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在AA3C中，ZC = 90%則c =,b = yjc2 a: > a = yjc2 bz ）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題2：勾股定理的逆定理如果三

2、角形的三邊長：a、b、c,則有關系£+丫=/,那么這個三角形是直角三角 形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過 “數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c：（2）驗證c二與a斗苗是否具有相等關系,若c=£+b'則aABC是以NC為直角的 直角三角形（若cOa'+b二，則AABC是以NC為鈍角的鈍角三角形：若cRa'+b'則4ABC為銳角 三角形）。（定理中"，b,。及/+從=1只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角 形三

3、邊長a,人c滿足“2+/=從，那么以a, b, c為三邊的三角形是直角三角形， 但是b為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理：聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫 做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列

4、出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一 ：4sA + S正方形四g” = S正方彩akd » 4x</? + (b a)2 =c2 >化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為5=4、,"+百=24 +百大正方形面積為S = (a + h)2 =cr +2ah + b2 所以a2 +b2 =c2方法三：5柿形=；3+份(a+ )，S梯形=25、3 +又4寐=2；，必+ :/，化簡得證6：勾股數能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即 中，。，b, C為正整數時，稱，C為一組勾

5、股數記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3,4,5； 6.8.10： 5,12,13： 7,24,25等用含字母的代數式表示組勾股數：2L2,/ + l （22,為正整數）；2 + 1.2/+2,22+2 + 1 （為正整數）加一22mMm2+，/（ ? ， 為正整數）二、規律方法指導1 .勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。2 .勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊 邊關系的題目。3 .勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中 易犯的主要錯誤。4 .勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a,

6、b, c有下列關系：/+b'=c'，那么 這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方 法.5 .應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運 算，通過學習加深對“數形結合”的理解.我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題， 那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）勾股定理典型例題及專項訓練專題一：直接考查勾股定理及逆定理例 1 .在M5C 中，ZC = 90°.（1）已知AC = 6, 8c = 8.求AB的長 已知A5 = 17, AC = 15,求8。的長

7、分析:在AA/丸'中，NC9CP,人力一3(1) /人口30*.求 AC.C2) /八=敏求nc.AU在ABC"1. /C-90 AC2.1 cm. BC-2.8dil(1)求AABC的面樹：(2)求斜邊AAi(3)求而CD.練習：1、如圖所示，在四邊形 ABCD 中，NBAD=90°, ZDBC=90°, AD=3, AB = 4, BC二12,求 CD。2.已知等腰三角形腰長是10,底邊長是16,求這個等腰三角形的面積。3、已知：如圖，NB=ND=90° , ZA=60° , AB=4, CD=2。求：四邊形 ABCD 的面積。例2

8、：已知直角三角形的兩邊長分別為5和12,求第三邊。練習：在 ABC中，AB=13, AC=15t高AD=12,則BC的長為多少例 3： (1) .已知AABC 的三邊。、b、c滿足(a/，)？+S c)2 =0,則AABC 為 三角形(2).在AABC 中，若M=(b+c ) (b-c ),則 AABC 是 三角形，且/90°練習：1、己知卜一12| +卜十 丁一25|與z210z + 25互為相反數，試判斷以x、y、 z為三邊的三角形的形狀。2 、.若 AABC 的三邊、b、c 滿足條件a:+/+338 = 106/ + 24/2 + 26c,試判斷 ABC的形狀。3 .已知而又+

9、 2|一8| + （。-10）2 =0,則以。、b、c為邊的三角形是例4：已知如圖，在ABC中，NC=60" , AB=4耳，AC=4, AD是BC邊上的高，求BC的長。如圖，在 RtZABC 中，NACB=90° , CD_LAB 于 D,設 AB=c, AC=b, BC=a, CD=h。求證：（i）.1+4=4 “2 b2 h2（2） a + b<c + h（3）以a+> h, c +力為三邊的三角形是直角三角形經典圖形突破:E,若CD=1,則BD等于（練習L如圖， ABC中，AB=AC, ZA=45o, AC的垂直平分線分別交AB、AC J- D.A.2.

10、己知一直角三角形的斜邊長是2,周長是2+6，求這個三角形的面積.3.4ABC中，D是AB的中點，若AC=12, BC=5, CD=6.5. 求證：4ABC是直角三角 形.4 .如圖，在正方形ABCD中，F為DC的中點，E為BC上一點，旦EC二BC, 4猜想AF與EF的位置關系，并說明理由.5 .如圖用AABC, NC = 90。AC = 3.8C = 4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積6 .如圖 2T0, AABC 中，AB=AC=20, BC=32, D 是 BC 上一點，且 AD_LAC,求 BD 的長.7 .如圖 2-9, ZiABC 中，NACB=90° , AC=B

11、C, P 是AABC 內一點，滿足 PA=3, PB=b PC=2,求NBPC的度數.8 .已知AABC 中，ZACB=90° , AC=3, BC=4, (1) AD 平分NBAC,交 BC 于 D 點。求 CD 長(2) BE平分NABC,交AC于E,求CE長9 .如圖，在四邊形 ABCD 中，ZA=60 ZB=ZD=90 BC = 2, CD=3,求 AB 的10 .如圖，P 為ABC 邊 BC 上一點，PC=2PB,已知NABC=45°, ZAPC=60°,求NACB的度數。11、已知ABC 中，ZBAC = 75°, ZC = 60% BC=3

12、 + JJ,求 AB、AC 的長。12、如圖，ABC 中，AD 是高，CE 是中線，DC=BE, DG1.CE 于 G。D(1)求證：G是CE的中點；(2) ZB=2ZBCEo(3)若 AC=6,AB=8,求 DG 的長。專題二 勾股定理的證明 1、利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖.從圖中可以看到：大正方形面積=小正方形面積+四個直角三角形面積.因而2、如圖，是2002年8月北京第24屆國際數學家大會會標，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4,則直角三角形的兩條直角邊的長 分別為.3、2002年8月2028日在北京召開了第24屆

13、國際數學家大會.大會會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形拼成的（直角邊長分別為2和3）,則大正方形的面積是一4、如圖，直線，上有三個正方形a b, c,若a, c的面積分別為5a X/ 0 1和1b則。的面積為（）(A) 4(B) 6(C) 16(D) 555、一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發現了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴盒的一個側面A8CD倒下到的位置，連結CC,設AB = a,BC = b,AC = c,請利用四邊形3CCD的面積證明勾股定理:6、如圖是2002年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會會標中的圖案，其中四邊形ABCD和EF都是正方形.證：ABFgZW

14、AE 7、（2010年遼寧省丹東市）圖是一個邊長為（加+ ）的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗證的式子是（）A.+ n)2 一( 一 )2 = 4innB.(m + n)2 一 (nr + n2) = 2mn圖第7題圖C.m 一 n)2 + 2mn = m2 + n2D.(m + )(? 一 )= m2 一 n2專題三網格中的勾股定理1、如圖1,在單位正方形組成的網格圖中標有AB、CD、EF、GHE 一個直角三角形三邊的線段是（）2、如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,則網格上的三角形兒%中，邊長為無理數的邊數是（）A. 0B. 1 C. 2D. 33、（2010

15、年四川省眉山市）如圖，每個小正方形的邊長為L A氏。是小正方形的頂點，則/相。的度數為（）A. 90° B, 60° C. 45° D. 30°4、如圖，小正方形邊長為1,連接小正方形的三個得到，可得ABC,則邊AC 上的高為（）A. -V2B.C. ?遙D. -V5210555、如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點稱為格點，請以圖中的格點為頂點畫一個邊長為3、2短、石的三角 形.所畫的三角形是直角三角形嗎說明理由.6、如圖，每個小正方形的邊長是1,在圖中畫出面積為2的三個形狀不同的三角形 （要求頂點在交點處，其中至少有一個鈍角三

16、角形）專題四實際應用建模測長1、如圖（8）,水池中離岸邊D點L 5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的 長是6 5米，把蘆葦拉到岸商2、有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4. 5米的墻上，任何東西只要移至5米以內，燈就自動打開，一個身高L 5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開3、臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數十千米范圍內形成氣旋 風暴，有極強的破壞力，如圖，據氣象觀測，距沿海某城市a的正南方向220 千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米， 風力就會減弱一級，該臺風中心現正以15千米/時的速度沿北偏東30o方向往C移動，且臺風中

17、心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級，則稱為受金 風影響.（1）該城市是否會受到這交臺風的影響請說明理由.（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市持續時間有多少（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級專題五梯子問題 1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少 米第2。頸圖2、一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的 頂端距地面有多高（2）如果梯子的頂端下滑了 4米，那么梯子的底端在水平方向滑動 了幾米D.不能確定3、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC_LBC, AC=BC,當梯子的頂端A沿AC方向下滑 米時，梯足B沿CB方

18、向滑動y米，則x與y的大小關系是（B. x > yC. x <yA. x = y專題六最短路線1、如圖，學校教學樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數同學為了避開拐角走“捷徑”，在 花鋪內走出了一條“路”.他們僅僅少走了（）步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草.A、6B、5C、4D、32、如圖，一圓柱體的底面周長為20 cm,高AB為10 cm, BC是上底面的直徑。一螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C,試求出爬行的最短路程。3、如圖，有一個圓柱體，底面周長為20 cm,高AB為10 cm,在圓柱的下底面A點處有一只蛆 蟻，它想繞圓柱體側面一周爬行到它的頂端C點處，那么它所行走的路程是

19、多少4、如圖，假如這是一個圓柱體的玻璃杯，AD是杯底直徑，C是杯口一點，其他已知條件不變， 螞蟻從外部點A處爬到杯子的內壁到達高CD的中點E處，最短該走多遠呢（杯子的 、厚度不計）r,E5、為籌備迎新生晚會，同學們設計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖，已知圓筒高108cm,其圓筒底面周長為36cm,如果在表面纏繞油紙4 圈，應裁剪多長油紙6、如圖，一只螞蟻從一個棱長為1米，且封閉的正方體盒子外部的頂點A向頂點B爬行，問這 只螞蟻爬行的最短路程為多少米7、（2004?淄博）如圖是一塊長，寬，高分別是6cm, 4cm和3cm的長方體木塊一只螞 蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，

20、沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B 處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）A> (3+2/73) cmB、8、如圖，長方體的長為15cm,寬為10cm,高 為20cm,點B到點C的距離為5cm, 一只螞蟻如 果要沿著長方體的表面從A點爬到B點，需要爬行的最短距離是多少9、如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm,假設一只螞 蟻每秒爬行2cm,則它從下地面A點沿表面爬行至右側面的B點，最少要花幾秒鐘10、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為2m、0. 3ms 0. 2m, A和 B是臺階上兩個相對的頂點，A點有一只螞蟻，想到B點

21、去吃可口的食物，問螞蟻沿著 臺階爬行到B點的最短路程是多少11、（2010福建泉州市惠安縣）如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B, / B J那么所用細線最短需要cm：如果從點A開始經過4個側面纏繞3圈到達點B,6cmA 3cm笫17題那么所用細線最短需要cm.專題七折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm, BC=8 cmo現將直角邊AC沿宜 線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長.2、如圖，小潁同學折疊一個直角三角形 的紙片，使A與B重合，折痕為DE,若已知AC=10cm, BC

22、=6cm,你能求出CE的長嗎3、三角形ABC是等腰三角形但AC=13, BC=10,將AB向AC方向對折，再將CD折疊 到CA邊上，折痕CE,求三角形ACE的面積4410.如圖,在三角形紙片ABC中,/ACB=90°,BC=3,AB=6,在AC 上取一點EM BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，點A與 加延長線上的點D重合，則CE的長度為（）.A.3B.6 -C.73D咕大班/加跖9 a出外公、專題八折疊四邊形1、折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8CM, BC=1OCM,求 （1） CF的長 （2） EC的長.2、在矩形紙片ABCD中，AD=4cm,

23、 AB=10cm,按圖所示方式折疊，使點B與點D重合, 折痕為EF,求（1） DE的長；（2） EF的長。3.（2010福建泉州市惠安縣）矩形紙片ABCD的邊長AB=4, AD=2.將矩形紙片沿EF折 疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為Dr第盞題AB=3, BC=7,重合部分AEBD的面積為.4、如圖2-3,把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在C'的位置上,5、如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點G。如果”為CD邊的中點，旦DE=6,求正方形ABCD的面積6、矩形AB

24、CD中，AB=6, BC=8,先把它對折，折痕為EF,展開后再沿BG折疊，使A落在EF上的AL求第二次折痕BG的長。7、如圖，把矩形紙片沿內尸折疊，使點石落在邊山）上的點中處，點工 落在點J處。（1）求證：B'B = BF ；（2）設壁二處 超二加 8F = c ,試猜想®瓦c之間的一種關系，并給F證明.8、如圖，ZB=90° , AB=BC=4, AD=2, CD=6（1）ZXACD是什么三角形為什么（2）把4ACD沿直線AC向下翻折，CD交AB于點E, 若重疊部分面積為4,求D'E的長。9、邊長為8和4的矩形刎的兩邊分別在直角坐標系的x軸和y軸上，若沿對角線 1折疊后，點月落在第四象限9處，設me交X軸于點。，求（D三角形血的面 積，（2）點切的坐標，（3）他所在的直線解析式.10、（2010年廣東省廣州市）如圖所示，四邊形西。是矩形，點乩。的坐標分別為 （3,