1、指數(shù)模型與套利定價(jià)理論 CAPM模型有如下的缺陷：1、假定條件；2、市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算；3、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)只用一個(gè)因素表現(xiàn)，過(guò)于集中。 本章介紹指數(shù)模型及套利定價(jià)理論APT（Arbitrage pricing theory）單指數(shù)模型 一些投資者認(rèn)為證券的回報(bào)率由某一個(gè)因素決定。年GDP的增長(zhǎng)率（%）通貨膨脹率（%）公司I股票的收益率與rf的差（%）15.71.114.326.44.419.237.94.423.447.04.615.655.16.19.262.93.113.0單指數(shù)模型 設(shè)ri-rf=i+ iE(G)+ei 在這里，我們假定證券i的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償由GDP的增長(zhǎng)率主要決定，（注意：還可考慮

2、通脹率等你認(rèn)為必要的因素）。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常量（外生變量） 這里 ri,G和ei為隨機(jī)變量。i，i為回歸系數(shù)，G對(duì)應(yīng)整個(gè)市場(chǎng)的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素，因此ei對(duì)應(yīng)企業(yè)的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)，其期望值為零。單指數(shù)模型 我們有： 顯然， i表示GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率為0時(shí)股票預(yù)期的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償， i表示公司i股票的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償對(duì)GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率的敏感度。通過(guò)線性回歸分析， i=4%， i=2，在例子中，第六年GDP的增長(zhǎng)率為2.9%，股票的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為13%，有3.2%（13%-（4%+2*2.9%）的股票風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。來(lái)自公司自身的貢獻(xiàn)。 GrrEiifi單指數(shù)模型 我們來(lái)看其的收益方差：由于ei與G不相關(guān)，有： 其中前面一項(xiàng)

3、反映了系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，后面一項(xiàng)則是非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，利用統(tǒng)計(jì)方法可以計(jì)算出股票收益的方差為0.00272。2222eigii單指數(shù)模型 如果有另外一家公司j，它的貝塔值為j則兩家公司的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男狈讲顬椋?這樣，當(dāng)我們考慮組合的斜方差矩陣時(shí)，計(jì)算量要小的多。2Gjiij市場(chǎng)模型 當(dāng)我們擁有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為指數(shù)時(shí)，有： 顯然M=1，于是： 于是：ifMiifierrrr22MiMMiiM2MiMi市場(chǎng)模型 我們有： 與CAPM比較， i多了出來(lái)，它應(yīng)是證券收益率超出市場(chǎng)均衡收益率的部分，當(dāng)市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)時(shí)，應(yīng)有i=0。 fMiifirrErrE可以擊敗市場(chǎng)的組合 如果可以找到一項(xiàng)共同基金，它

4、的運(yùn)作水平使A 0,這時(shí)A會(huì)位于SML的上面，我們有；A與M的組合邊界不會(huì)在M點(diǎn)與CML相切；同時(shí)A也不會(huì)落在有效組合邊界上。這樣A與M的組合邊界與有效組合邊界相交。如下圖：MA可以擊敗市場(chǎng)的組合 這時(shí)所有投資者可得到更多的效用，因此如果能找到如果能找到0的的 投資組合，就能投資組合，就能夠擊敗市場(chǎng)。夠擊敗市場(chǎng)。 因此，一個(gè)好的指數(shù)可以給我們帶因此，一個(gè)好的指數(shù)可以給我們帶來(lái)可能的擊敗市場(chǎng)的機(jī)會(huì)，同時(shí)作為有來(lái)可能的擊敗市場(chǎng)的機(jī)會(huì)，同時(shí)作為有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的替代品，成為有風(fēng)險(xiǎn)資風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的替代品，成為有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)的基礎(chǔ)。產(chǎn)定價(jià)的基礎(chǔ)。多指數(shù)模型 模型假設(shè)： 方差為：iiIiGifieIGrr2

5、22222,cov2eIiIiGiiIGiGiIG套利概念的深化 套利就是投資者利用市場(chǎng)的暫時(shí)失衡，進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利。 收益與風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡所主導(dǎo)的市場(chǎng)均衡，一旦價(jià)格失衡，就會(huì)有許多投資者構(gòu)造調(diào)整自己的投資組合來(lái)重建市場(chǎng)均衡，但每位投資者只對(duì)自己的頭寸作有限范圍的調(diào)整。套利則不然，一旦出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，每一位套利者都會(huì)盡可能大的構(gòu)造自己的套利頭寸。因此從理論上講，只需要少數(shù)的套利者就可以重建市場(chǎng)均衡。套利定價(jià)理論 單因素的套利定價(jià)理論APTarbitrage pricing theory,理論模型為： 這里ri、ei和F是隨機(jī)變量，為宏觀因素的實(shí)際值，它的預(yù)期值為，因此應(yīng)為對(duì)實(shí)際值的偏離。 ei的預(yù)期值

6、同樣為，由于其反映的是企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)，所以不同資產(chǎn)的ei不相關(guān)。在這里，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)完全分離，所以與ei也是不相關(guān)的。 iiiieFrEr 對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)充分分散化的投資組合來(lái)說(shuō)有： ppppeFrErniiip1niiipee1niiippFppeee122222222 由于是完全分散化的組合，因此 （）應(yīng)該為，所以=0，因此有：222FpppppFrErAPT 在無(wú)套利條件下我們有：1、如果兩個(gè)充分分散化的投資組合的貝塔值相等，則它們的期望收益率一定相等；2、對(duì)于不同貝塔值的充分分散化的投資組合，其預(yù)期收益率的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償必須正比與貝塔值。APT 說(shuō)明：例如：如果充分分散化的投資組合A和B，其貝塔

7、值都為1.0，A的期望收益率為10%，B的收益率為8%，我們賣空100萬(wàn)元的證券B，同時(shí)將100萬(wàn)元投資于證券A，這時(shí)到期的組合收益率為： （10%+1.0*F）*100-（8%+1.0F）100 =2萬(wàn)元，出現(xiàn)了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。APT 圖形分析： 7 6 rf=4% F 10% A D C 1.0 0.5 風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償 假定有有一充分分散化的投資組合C，其貝塔值為0.5，期望收益率為6%與宏觀因素有關(guān)的貝塔值A(chǔ)PT 如果以M的未預(yù)期到的收益的變化作為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的度量，則M的貝塔值為1，我們有： pfMfprrErrEAPT 對(duì)于任意兩個(gè)充分分散化的投資組合P和Q，有： 同時(shí)套利定價(jià)理論還證明了，對(duì)

8、于組合中的任意兩個(gè)不同的證券來(lái)說(shuō)，上面的關(guān)系幾乎也成立。 tconsrrErrEQfQpfptanAPT APT的優(yōu)越性：APT模型不需要CAPM中的各種假設(shè)；另外，CAPM中，我們必須根據(jù)有風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合才能得到CML和SML，這里M是定價(jià)的基礎(chǔ)；APT允許任何一個(gè)充分分散化的投資組合作為基準(zhǔn)。這樣任何指數(shù)化的投資組合都可以用來(lái)為證券定價(jià)。多因素的套利定價(jià)理論 在實(shí)踐中，更有用的是多因素的套利定價(jià)理論。下面我們以兩因素的APT為例來(lái)介紹該理論。這里假設(shè)： 其中F.可以是某幾個(gè)宏觀因素對(duì)其預(yù)期值的偏離，F(xiàn)1、F2、ei都不相關(guān)，ei、ej也不相關(guān)。 iiiiieFFrEr2211多因素的套利定價(jià)

9、理論 因素組合：風(fēng)險(xiǎn)完全分散化，對(duì)其中一個(gè)的貝塔值為1，對(duì)其它因素的貝塔值為0。它是定價(jià)的基準(zhǔn)。 多因素的APT指出：如何一個(gè)完全分散化的投資組合A的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)是投資者承受這兩種宏觀因素的所應(yīng)得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)暮汀６糠N宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償?shù)扔谙鄬?duì)于該因素的貝塔值乘以因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，即有： fAfArrErrE2211多因素的套利定價(jià)理論 比如，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為4%，因素組合1和2的預(yù)期收益率分別為10%和12%，A對(duì)兩個(gè)宏觀因素的貝塔值分別為0.5和0.75，這時(shí)A的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為： 0.5*（10%4%）+0.75（12%4%） =9% 于是A的預(yù)期收益率為4%+9%=13%，如果A的預(yù)期

10、收益率為12%，這時(shí)就可無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利。套利頭寸可取50%的因素組合1和75%的因素組合2以及-25%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，這個(gè)組合的預(yù)期收益率為： 0.50*10%+0.75*12%0.25*4%=13%同時(shí)組合作多頭組合A作空頭，可套取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)為： 13%+0.5*F1+0.75*F2（12%+0.5F1+0.75*F2）=1%APT和CAPM的比較CAPM是APT的特例。APT強(qiáng)調(diào)無(wú)套利原則，CAPM是收益與風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡所主導(dǎo)的市場(chǎng)均衡，因此APT不需要CAPM的有關(guān)條件。APT只需要完全分散化的投資組合APT的定價(jià)并不是對(duì)所有的證券都成立。在實(shí)際中，APT主要組合投資決策起決定作用，對(duì)于單項(xiàng)資產(chǎn)的定

11、價(jià)，更多的應(yīng)使用CAPM和單指數(shù)模型。 因素的確定 有人對(duì)證券的回報(bào)率進(jìn)行了研究，估計(jì)一般需要3-5個(gè)因素，緊接著，有許多人試圖確定這些因素。比如：陳羅爾和羅斯在他們的論文中，確定了下列因素： 1、工業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率 2、通貨膨脹率 3、長(zhǎng)期和短期利率的差額 4、低級(jí)和高級(jí)債券的差別因素的確定 所羅門(mén)公司所用的5個(gè)因素： 1、通貨膨脹率 2、國(guó)民生產(chǎn)總值 3、利率 4、石油價(jià)格變化率 5、國(guó)防開(kāi)支增長(zhǎng)率因素的確定 綜合來(lái)看，我們考慮的因素應(yīng)該包括：1、總體經(jīng)濟(jì)活動(dòng)指標(biāo)（工業(yè)產(chǎn)值、總銷售和國(guó)民生產(chǎn)總值）；2、通貨膨脹；3、一些類型的利率因素（或差額或利率本身）。這是因?yàn)榭紤]到，證券的價(jià)格被認(rèn)為是未來(lái)

12、紅利的貼現(xiàn)值，通過(guò)因素來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系。未來(lái)紅利將與總體經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相聯(lián)系，而貼現(xiàn)率將與通貨膨脹和利率有關(guān)。小結(jié) APT與CAPM一樣是一個(gè)證券價(jià)格的均衡模型； APT與CAPM比較，APT需要較少的關(guān)于投資者偏好的假設(shè) APT假設(shè)回報(bào)率由因素模型生成，但并不具體確定因素。 一個(gè)套利組合中包括做空和做多的證券。它的總市值必定為零，對(duì)任何因素?zé)o敏感性，且有正的預(yù)期回報(bào)率。 投資者投資于套利組合，使得做多證券的價(jià)格上升，使得做空證券的價(jià)格下跌，這到套利可能性消失小結(jié) 當(dāng)所有的套利可能消失后，證券的均衡預(yù)期回報(bào)率將成為它的因素敏感性的線性函數(shù)。 APT沒(méi)有說(shuō)明影響回報(bào)率的因素?cái)?shù)量和因素本身是什么。大部分研究中，因素集中于總體經(jīng)濟(jì)活動(dòng)、通貨膨脹和利率指標(biāo)上。作業(yè) 1、根據(jù)單因素模型，有兩個(gè)組合A和B，均衡期望收益率分別為9.8%和11.0%。如果因素敏感性分別為0.80和1.0，求無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率？ 2、根據(jù)單因素的APT，設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為6%，一個(gè)具有單位因素敏感性的投資組合期望收益率為8.5%。考慮具有下列特征的兩種證券的一個(gè)投資組合： 根據(jù)套利定價(jià)理論，該組合的均衡期望收益率為多少？證券因素敏