1、指數模型與套利定價理論 CAPM模型有如下的缺陷：1、假定條件；2、市場組合的風險計算；3、市場風險只用一個因素表現，過于集中。 本章介紹指數模型及套利定價理論APT（Arbitrage pricing theory）單指數模型 一些投資者認為證券的回報率由某一個因素決定。年GDP的增長率（%）通貨膨脹率（%）公司I股票的收益率與rf的差（%）15.71.114.326.44.419.237.94.423.447.04.615.655.16.19.262.93.113.0單指數模型 設ri-rf=i+ iE(G)+ei 在這里，我們假定證券i的風險補償由GDP的增長率主要決定，（注意：還可考慮

2、通脹率等你認為必要的因素）。無風險利率為常量（外生變量） 這里 ri,G和ei為隨機變量。i，i為回歸系數，G對應整個市場的系統風險因素，因此ei對應企業的個體風險，其期望值為零。單指數模型 我們有： 顯然， i表示GDP的預期增長率為0時股票預期的風險補償， i表示公司i股票的預期風險補償對GDP的預期增長率的敏感度。通過線性回歸分析， i=4%， i=2，在例子中，第六年GDP的增長率為2.9%，股票的實際風險補償為13%，有3.2%（13%-（4%+2*2.9%）的股票風險補償。來自公司自身的貢獻。 GrrEiifi單指數模型 我們來看其的收益方差：由于ei與G不相關，有： 其中前面一項

3、反映了系統風險，后面一項則是非系統風險，利用統計方法可以計算出股票收益的方差為0.00272。2222eigii單指數模型 如果有另外一家公司j，它的貝塔值為j則兩家公司的風險補償的斜方差為： 這樣，當我們考慮組合的斜方差矩陣時，計算量要小的多。2Gjiij市場模型 當我們擁有風險資產的市場組合的風險補償為指數時，有： 顯然M=1，于是： 于是：ifMiifierrrr22MiMMiiM2MiMi市場模型 我們有： 與CAPM比較， i多了出來，它應是證券收益率超出市場均衡收益率的部分，當市場處于均衡狀態時，應有i=0。 fMiifirrErrE可以擊敗市場的組合 如果可以找到一項共同基金，它

4、的運作水平使A 0,這時A會位于SML的上面，我們有；A與M的組合邊界不會在M點與CML相切；同時A也不會落在有效組合邊界上。這樣A與M的組合邊界與有效組合邊界相交。如下圖：MA可以擊敗市場的組合 這時所有投資者可得到更多的效用，因此如果能找到如果能找到0的的 投資組合，就能投資組合，就能夠擊敗市場。夠擊敗市場。 因此，一個好的指數可以給我們帶因此，一個好的指數可以給我們帶來可能的擊敗市場的機會，同時作為有來可能的擊敗市場的機會，同時作為有風險市場組合的替代品，成為有風險資風險市場組合的替代品，成為有風險資產定價的基礎。產定價的基礎。多指數模型 模型假設： 方差為：iiIiGifieIGrr2

5、22222,cov2eIiIiGiiIGiGiIG套利概念的深化 套利就是投資者利用市場的暫時失衡，進行無風險的套利。 收益與風險權衡所主導的市場均衡，一旦價格失衡，就會有許多投資者構造調整自己的投資組合來重建市場均衡，但每位投資者只對自己的頭寸作有限范圍的調整。套利則不然，一旦出現套利機會，每一位套利者都會盡可能大的構造自己的套利頭寸。因此從理論上講，只需要少數的套利者就可以重建市場均衡。套利定價理論 單因素的套利定價理論APTarbitrage pricing theory,理論模型為： 這里ri、ei和F是隨機變量，為宏觀因素的實際值，它的預期值為，因此應為對實際值的偏離。 ei的預期值

6、同樣為，由于其反映的是企業風險，所以不同資產的ei不相關。在這里，系統風險與非系統風險完全分離，所以與ei也是不相關的。 iiiieFrEr 對于風險充分分散化的投資組合來說有： ppppeFrErniiip1niiipee1niiippFppeee122222222 由于是完全分散化的組合，因此 （）應該為，所以=0，因此有：222FpppppFrErAPT 在無套利條件下我們有：1、如果兩個充分分散化的投資組合的貝塔值相等，則它們的期望收益率一定相等；2、對于不同貝塔值的充分分散化的投資組合，其預期收益率的風險補償必須正比與貝塔值。APT 說明：例如：如果充分分散化的投資組合A和B，其貝塔

7、值都為1.0，A的期望收益率為10%，B的收益率為8%，我們賣空100萬元的證券B，同時將100萬元投資于證券A，這時到期的組合收益率為： （10%+1.0*F）*100-（8%+1.0F）100 =2萬元，出現了無風險套利機會。APT 圖形分析： 7 6 rf=4% F 10% A D C 1.0 0.5 風險補償 假定有有一充分分散化的投資組合C，其貝塔值為0.5，期望收益率為6%與宏觀因素有關的貝塔值APT 如果以M的未預期到的收益的變化作為系統風險的度量，則M的貝塔值為1，我們有： pfMfprrErrEAPT 對于任意兩個充分分散化的投資組合P和Q，有： 同時套利定價理論還證明了，對

8、于組合中的任意兩個不同的證券來說，上面的關系幾乎也成立。 tconsrrErrEQfQpfptanAPT APT的優越性：APT模型不需要CAPM中的各種假設；另外，CAPM中，我們必須根據有風險市場組合才能得到CML和SML，這里M是定價的基礎；APT允許任何一個充分分散化的投資組合作為基準。這樣任何指數化的投資組合都可以用來為證券定價。多因素的套利定價理論 在實踐中，更有用的是多因素的套利定價理論。下面我們以兩因素的APT為例來介紹該理論。這里假設： 其中F.可以是某幾個宏觀因素對其預期值的偏離，F1、F2、ei都不相關，ei、ej也不相關。 iiiiieFFrEr2211多因素的套利定價

9、理論 因素組合：風險完全分散化，對其中一個的貝塔值為1，對其它因素的貝塔值為0。它是定價的基準。 多因素的APT指出：如何一個完全分散化的投資組合A的風險補償應當是投資者承受這兩種宏觀因素的所應得到的風險補償的和。而每種宏觀因素的系統風險的補償等于相對于該因素的貝塔值乘以因素組合的風險補償，即有： fAfArrErrE2211多因素的套利定價理論 比如，無風險利率為4%，因素組合1和2的預期收益率分別為10%和12%，A對兩個宏觀因素的貝塔值分別為0.5和0.75，這時A的風險補償為： 0.5*（10%4%）+0.75（12%4%） =9% 于是A的預期收益率為4%+9%=13%，如果A的預期

10、收益率為12%，這時就可無風險套利。套利頭寸可取50%的因素組合1和75%的因素組合2以及-25%的無風險證券，這個組合的預期收益率為： 0.50*10%+0.75*12%0.25*4%=13%同時組合作多頭組合A作空頭，可套取無風險利潤為： 13%+0.5*F1+0.75*F2（12%+0.5F1+0.75*F2）=1%APT和CAPM的比較CAPM是APT的特例。APT強調無套利原則，CAPM是收益與風險權衡所主導的市場均衡，因此APT不需要CAPM的有關條件。APT只需要完全分散化的投資組合APT的定價并不是對所有的證券都成立。在實際中，APT主要組合投資決策起決定作用，對于單項資產的定

11、價，更多的應使用CAPM和單指數模型。 因素的確定 有人對證券的回報率進行了研究，估計一般需要3-5個因素，緊接著，有許多人試圖確定這些因素。比如：陳羅爾和羅斯在他們的論文中，確定了下列因素： 1、工業產值增長率 2、通貨膨脹率 3、長期和短期利率的差額 4、低級和高級債券的差別因素的確定 所羅門公司所用的5個因素： 1、通貨膨脹率 2、國民生產總值 3、利率 4、石油價格變化率 5、國防開支增長率因素的確定 綜合來看，我們考慮的因素應該包括：1、總體經濟活動指標（工業產值、總銷售和國民生產總值）；2、通貨膨脹；3、一些類型的利率因素（或差額或利率本身）。這是因為考慮到，證券的價格被認為是未來

12、紅利的貼現值，通過因素來實現這個關系。未來紅利將與總體經濟活動相聯系，而貼現率將與通貨膨脹和利率有關。小結 APT與CAPM一樣是一個證券價格的均衡模型； APT與CAPM比較，APT需要較少的關于投資者偏好的假設 APT假設回報率由因素模型生成，但并不具體確定因素。 一個套利組合中包括做空和做多的證券。它的總市值必定為零，對任何因素無敏感性，且有正的預期回報率。 投資者投資于套利組合，使得做多證券的價格上升，使得做空證券的價格下跌，這到套利可能性消失小結 當所有的套利可能消失后，證券的均衡預期回報率將成為它的因素敏感性的線性函數。 APT沒有說明影響回報率的因素數量和因素本身是什么。大部分研究中，因素集中于總體經濟活動、通貨膨脹和利率指標上。作業 1、根據單因素模型，有兩個組合A和B，均衡期望收益率分別為9.8%和11.0%。如果因素敏感性分別為0.80和1.0，求無風險利率？ 2、根據單因素的APT，設無風險利率為6%，一個具有單位因素敏感性的投資組合期望收益率為8.5%。考慮具有下列特征的兩種證券的一個投資組合： 根據套利定價理論，該組合的均衡期望收益率為多少？證券因素敏